PROPAGATION DE I \ CHALEUR DANS ON SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

BXPOSITIOM DE l. v QUESTION.

L( - questions relatives à la propagation uniforme ou au mouvement varié de la chaleur dans l'intérieur des solides sont réduites, par ce qui précède, à des problèmes d'Analyse pure, et les progrès de cette partie de la Physique dépendront désormais de ceux que fera la science du calcul. Les équations différentielles que nous avons démontrées contiennent les résultats principaux de la théorie; elles expriment, de la manière la plus générale et la plus concise, les rapports nécessaires de l'analyse numérique avec une classe très étendue de phénomènes, et réunissent pour toujours aux sciences mathématiques une des branches les plus importantes de la Philosophie naturelle. Il nous reste maintenant à découvrir l'usage que l'on doit faire de ces équations pour en déduire des solutions complètes el 'l'une application facile. La question suivante offre le premier exemple de l'analyse qui conduit à ces solutions; elle nous a pain plus propre qu'aucune autre à fane connaître les éléments de la méthode que nous avons suivie.

Nous supposons qu'une niasse solide homogène est contenue entre deux plans verticaux B et C parallèles et infinis, el qu'on la divise en

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THÉORIE DE I. \ Cil \I.KI R.

deux paitics par un plan A perpendiculaire aux deux autres fig. 7); nous allons considérer les températures de la masse BAC comprise entre les (rois plans infinis A, B, C. On suppose que l'autre partie B'AC du solide infini est une source constante de chaleur, c'est-à-dire que tous ses points sont retenus à la température 1, qui ne peul jamais devenir moindre ni plus grande. Quant aux deux solides latéraux compris, l'un entre le plan C et le plan A prolongé, l'autre entre

Fig.

le plan B et le plan A prolongé, tous leurs points ont une température constante o, et une cause extérieure leur conserve toujours cette même température; enfin, les molécules du solide compris entre A, B et C ont la température initiale o. La chaleur passera successivement du foyer A dans le solide BAC; elle s'y propagera dans le sens de la longueur qui est infinie, et en même temps elle se détournera vers les masses froides B et C qui en absorberont une grande partie. Les tempera! mes du solide BAC s'élèveront de plus en plus; mais elles ne pourront outre-passer ni même atteindre un maximum de température, qui esl différent pour les différents points de la masse. II s'agil de connaître l'état final et constant dont l'état variable s'approche de plus en plus. Si cet état final était connu et qu'on le formât d'abord, il subsisterail de lui-même, el c'est cette propriété qui le distingue de tous les autres. Aussi la question actuelle consiste à déterminer les températures permanentes d'un solide rectangulaire infini, compris entre deux masses de glace B et C et une masse d'eau bouillante A; la considération des questions simples et primordiales est un des moyens les plus

I II \ ri ri; I. III. SOLIDE RECTANGl laire infini. \v.\

certains de découvrir les lois des phénomènes naturels, el nous voyons, par l'histoire des Sciences, que toutes les théories se sonl formées suivant cette méthode.

Pour exprimer plus brièvement la même question, on suppose qu'une lame rectangulaire M \C. d'une longueur infinie, est échauffée par son extrémité A et conserve dans tous les point» de cette base une température constante i . tandis que chacune des deux arêtes infinies II et C, perpendiculaires à la première, est aussi assujettie dans tous ses points à une température constante o; il s'agit de déterminer quelles doivent être les températures stationnaires de chaque point de la laine.

On suppose qu'il ne se fait à la superficie aucune déperdition de chaleur ou, ce qui est la même chose, on considère un solide formé par la superposition d'une infinité de lames pareilles à la précédente; on prend pour l'axe îles x la droite ox qui partage la lame en deux moitiés, el les coordonnées de chaque point m sont x et y, en lin on représente la largeur A de la lame par 2I ou, peur abréger le calcul, par -. valeur de la demi-circonférence.

Concevons qu'un point m de la lame solide BAC, qui a pour coordonnées x et y, ail la température actuelle v, et que les quantités v qui répondent aux différents point» soient telles qu'il ne puisse survenir aucun changement dans les températures, pourvu que celle de chaque point <!r la base A soit toujours 1, el que les côtés B et C conservent dans tous leurs point» la température <>.

Si l'on élevait en chaque point /// une coordonnée verticale égale à la température 1 . on formerail une surface courbe qui s'étendrait audessus de la lame el se prolongerait à l'infini. Nous chercherons à connaître la nature de cette surface, qui passe par une ligne parallèle élevée au-dessus de l'axe des y à une distance égale à l'unité, el qui coupe le plan horizontal suivant les deux arêtes infinies parallèles aux