CHAPITRE III. soi. IDF. RECTANGULAIRE INFINI

avoir, el l'on démontrera que la question proposée ne peu! admettre aucune autre solution.

Les Ponctions de deux variables se réduisenl souvent à une expression moins composée lorsqu'on attribue à l'une des variables ou à toutes les deux une valeur infinie; c'esl ce que l'on remarque dans les fonctions algébriques qui, dans ce cas, équivalenl au produit d'une Fonction de c par une fonction de y. Nous examinerons d'abord si la valeur de v peul être représentée par un pareil produit; car celle fonction v doil représenter l'étal de la laine dans toute son étendue, cl par conséquent celui des points dont la coordonnée x est infinie. On

écrira donc

P-Fl i |/i | i!

substituant dans l'équation <t et désignant- '".' parF"(a?)et- ;'

pai' /' v . mi aura

1 ' Hll-n.

on pourra donc supposer

^=m« et #2?=— .",

//> étant une constante quelconque; et, comme on se propose seulement de trouver une valeur particulière de r, on déduira des équations précédentes

F(.r) = <?-'"•<•, ) = cos//m\

On ne pourrait point supposer que m est un nombre négatif, el l'on doit nécessairement exclure toutes les valeurs particulières de v où il entrerail des termes tels que '"". m étant un nombre positif, parce que la température v ne peul point devenir infinie loi -que x est infiniment grande. En effet, la chaleur n'étant fournie que par la source constante A, il m' pont en parvenir qu'une portion extrêmement petite dans les ponts do l'espace qui -oui très éloignés du foyer. Le reste ^<

m THÉORIE DE LA CHALET R.

détourne de plus en plus vers les arêtes infinies B et Cet se perd dans

les masses froides qu'elles terminent.

L'exposant m qui entre dans la fonction e— cosmy n'est pas déterminé, et l'on peut choisir pour cet exposant un nombre positif quelconque; mais, pour que 9 devienne nulle en faisant y =- \ ou y = + r-, quelle que soit x, on prendra pour m un des termes de la suite 1, 3, 5, 7, ..-; par ce moyen la seconde condition sera rempli.-.

On formera facilement une valeur plus générale de 9 en ajoutant plusieurs termes semblables aux précédents, et l'on aura (6) r„ae-cos7 + ^-^cos3v + c(?-^cos5j + ^-^cos7r + ....

Il est évident que cette fonction 9, désignée par o{x,y), satisfait à

l'équation

~dxï + dyl ~ ° et à la condition

Il reste à remplir une troisième condition, qui est exprimée ainsi

et il est nécessaire de remarquer que ce résultat doit avoir lieu lorsqu'on met pour y une valeur quelconque, comprise entre \ et 4-ï. On ne peut en rien inférer pour les valeurs que prendrait la fonction 9(0, y) si l'on mettait au lieu de y une quantité non comprise entre les limites - \ et + \ L'équation (b) doit donc être assujettie à la condition suivante :

1 — acos/-h&cos3/4-ccos5/4-</cos7!y-+-

C'est au moyen de cette équation que Ton déterminera les coefficients a, b, c, d, . .., dont le nombre est infini.