REMARQUES SIR CBS SERIES

Ou peut envisager ces mêmes équations sous un autre point de vue et démontrer immédiatement l'équation

- = C0S;r — 77 CO&àa: -+- -coso.r COS7 x H — cosq.r — . . . .

Le cas où x est nulle se vérifie par la série de Leibnitz

Ensuite on supposera que le nombre des termes de la série

- cos ci x -+- - cos 5 x

cos.a? — 7ï cos3x ■+- - cos5jt - -0057.2?

au lieu d'être infini, est déterminé et égal à m. On considérera la valeur de cette suite finie comme une fonction de x et de m. On réduira la valeur de la fonction en une série ordonnée suivant les puissances négatives de m: et l'on reconnaîtra que cette valeur approche d'autant plus d'être constante et indépendante de -r, que m est un plus grand nombre (').

1 i (i.i remarquera que, dans cette étude de quelques séries particulières, Fourier suil précisément la méthode qui a permis plus tard à Dirichlet d'obtenir pour la première fois une théorie eomplètemenl rigoureuse des séries trigonométriques. Cette méthode consiste, comme on le voit, à exprimer par une intégrale définie la somme des //; premiers termes de la série, puis ù chercher la limite de cette intégrale. G. D.

CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 159 Soil ) la fonction cherchée qui esl donnée par l'équation

Yz=. COS COS 3 . COSI 'ni —\).r,

le nombre m des termes riant suppose pair. Cette équation, différentiée par rapport à r, donne

dy

p- = sinx— -ni' -m.) /— m - r ...

-m \m — 3)a? — sin(am— n a :

en multipliant par 2 sin i.r, on a

dy . ...

— • -m • • '-111/-111'/ isino .•■ hii ' • '-nii^-iii'/ 1-. . .

1 sin (2 m 3 1 1 -in ' ■■ t sin (2 m — i)a:sin2.r.

Chaque terme du second membre riant remplacé par la différence de doux cosinus, on en conclura

• ■ -in>.r = cos( — x) — cos > ' eu

— cos a- + cos 5 r -+- cos3.r — cos 7 i

— eu- '1 / cos -+- cos 7 X — COS 1 1

-+-cos(?//> 5 C -COS(2//i — I — COS (2/» — 3)x -+- cos (2m -+- l).r.

Le second membre se réduit a cos im \ v cos(2jw — i x ou

— 2 -111 2/w l -111 / : dune

1 Ç sin

On intégrera le second membre par partir-, en distinguant dans rintégrale le facteur sin ±m r <L< , qui doit être intégré successivement,

160 THÉORIE DE L \ Cil \LKI II.

cl le l'acteur ou sécr que l'on doit <li Ile rentier successivement: dési-

gnanl les résultats de ces différen dations par séc'a?, séc"a:-, séc'".r, . . .,

ou aura

2 y = const. C0S2 ma: secr