ni

S1112 w.r sec\r H — ; — -cos2m.r sec x

ainsi la valeur de y, ou

cos.r — - COSO.Z- -f- ^ COSo.2? cos- x -h . . ,-\ COs(?.n> — i)r,

3 3 7 ' im — i v '

qui est une fonction de x et m, se trouve exprimée par une série infinie; et il est manifeste que, plus le nombre m augmente, plus la valeur de y approche de celle de la constante. C'est pourquoi, lorsque le nombre m est infini, la fonction y a une valeur déterminée qui est toujours la même, quelle que soit la valeur positive de oc, moindre que

-• Or, si l'on suppose l'arc a? nul, on a

qui équivaut à -. • Donc on aura généralement

lu) -7 = cos.r — » cos3.r + ttCoso^- cos7*r H — cosoj?

£i dans cette équation on suppose .r = ~, on trouvera

2 \JÏ

En donnant à l'arc x d'autres valeurs particulières, on trouvera d'autres séries qu'il est inutile de rapporter, el dont plusieurs onl déjà été publiées dans les Ouvrages d'Euler. Si l'on multiplie l'équa-

CHAPITRE III SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. Kil lion b par dx el que l'on intègre, on aura

sin X -m. >.r -in-.r -+-.

En faisan) dans cette dernière équation x -, on trouve

série déjà connue. On pourrait énumérer à l'infini ces cas particuliers; mais il convient mieux à l'objet de cet Ouvrage de déterminer, en suivant le même procédé, les valeurs de diverses séries formées de sinus mi de cosinus d'arcs multiples.

Soit

y = sinj — sinaj . -in .. a ■ -- , -m \x -\- J I

sin {/» — i)x — - sinmx,

/// étant un nombre pair quelconque. On tire de celte équation

-j-t — <■<<> V — COS ' ' cos3j cos \x -h. . .-!- cos(/« — l)x — cosmx;

multipliant par a -in r el remplaçant chaque terme du second membre par la différence de deux sinus, <mi aura

-III I : ■ ill / X)

— si

H- sin ■ -sin(3j

-hs\\i\<ni i a? -h a?] — sin [(m — i)a? — x]

-in m i i -\\i(mx — x)

et, en réduisant,

dJ

2 si n / - -in / ■ -m/// / —sin (ma: H- a;);

la quantité

OU

équivaut à on a donc

sin m.r — s\n{f)>.r -•■- ./■ i

2 sin -cos( mx-\- -

dy

sin -

:os(

mx

dx

sm.r

dy

cos

(mx->r

dx

on en conclut

cos m^? H

2 cos-

Si l'on intègre par parties, en distinguant le facteur ou

sec

cos -

qui doit être successivement différentié et le facteur eos|///.r + que l'on intégrera plusieurs fois de suite, on formera une série dans laquelle les puissances de m + \ entrent aux dénominateurs. Quant à la constante, elle est nulle parce que la valeur de y commence avec celle de oc. Il suit de la que la valeur de la suite finie

s-mx __ 1 sinaaJ + I8in dx - | sin5* -+- ± sin7a? -. . .- - sin m r

diffère extrêmement peu de |, lorsque le nombre des termes est très grand; et, si ce nombre est infini, on a l'équation déjà connue

- = sinx - - sin2x- + ^ sinSx - t sin4.* + ^ sin5.r - . . . .

« HAPITRE III. SOLIDE RECTANGt LAIRE INFINI. 163 < Mi pourrait aussi déduire de cette dernière série celle que non» avons

donnée plus haut pour la valeur de

S.. il maintenant

i cosa - . im- , ;

- im — a)a; cos >///.>.

/// étant un nombre pair. Différentiant, multipliant par 2sin2#, sub-

Stituant les différences de eo>iiiiis et réduisant, itn aura

f/i -ill : I m + \).r

— — tanç.r -+tir cos

on

■ î <• — / tang ' '/' -+- I -

'Ir.

l'ii-.r

Intégrant par parties le dernier terme du second membre et supposant

m infini, on a

I C H lOg eu-

m. dans l'équation

y — ,,,,./—- COS Ji- 4- 7t COS<> COSOd? 4-. . . ,

on suppose x nulle, on trouve

donc

y — - log2 4- - I"- COS ' .

On parvient ainsi a la série donnée par Euler

log(a cos- x ) = cosx cos 2 cos3a?— Tcos '( /

164 THÉORIE DE L\ Cil \Li:i R.

En appliquant le même procédé à l'équation

y = sin.r -+- ~ sin3*r -+- -=s'm5x -{ — sin7.r +. . .,

on trouvera la série suivante, qui n'avait pas été remarquée :

- =: sin.r + ■- sin )./■ + F sino.r H — sin 7 x -t- - sinox 4-. . . . 4 3 5 7 9

Il faut observer, à l'égard de toutes ces séries, que les équations qui en sont formées n'ont lieu que lorsque la variable x est comprise entre certaines limites. C'est ainsi que la fonction

cos.r — -k cos3.f -+- -= cos.k/- COS7 x ■+- . . .

n'est équivalente à -. que si la variable x est contenue entre les limites que nous avons assignées. Il en est de même de la série

sin x sin 2 x -+- 7r siiio.r — T sin !±x -+- ■=■ sin 5 x — ....

Celte suite infinie, qui est toujours convergente, donne la valeur toutes les fois que l'arc x est plus grand que o et moindre que -. Mais elle n'équivaut plus à - si l'arc surpasse -; elle a, au contraire, des

valeurs très différentes de -; car il est évident que, dans l'intervalle

de x — tz à x = 27C, la fonction reprend avec le signe contraire (mites les valeurs qu'elle avait eues dans l'intervalle précédent, depuis x = o jusqu'il .r --: -. ('.cite série est connue depuis longtemps; mais l'analyse qui a servi à la découvrir n'indique pas pourquoi le résultai cesse d'avoir lieu lorsque la variable surpasse -.

Il faut donc examiner attentivement la méthode que non- venons