CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

d'employer el j chercher l'origine de cette limitation à laquelle les séries Irigonométriques sonl assujetties.

Pour) parvenir, il suffit de considérer que les valeurs exprimées par les suites infinies ne sonl connues avec une entière certitude que dans les cas "ii l'on peul assigner les limites de la somme des termes qui 1rs complètent; il faut donc supposer qu'on emploie les premiers termes seulemenl de ces suites, el trouver lc> limites entre lesquelles le reste esl compris.

Nous appliquerons cette remarque à l'équation

I COS ' '/' i i '

•in .! ». /// — i

le nombre des termes esl pair ci représenté par ///; on en déduil cette équation

dy -in > m r

J r ru- /

d'un l'on peul tirer la valeur de v. en intégrant par parties. Or l'intégrale fuvdx peul l'ire résolue en une -cric composée d'autanl de termes qu'on le voudra, // el v étanl de- fonctions de r. On peul écrire,

par exemple.

fdxfdxfvdx -f [>!''',".. ï>l>.f<h-)\-.l, |.

équation qui se vérifie d'elle-même par la différentiation. En désignant sin 2/tj i par v >•! séc c par //. un trouvera

• i — c secr coszmx h — se< tsxnzma

• m nv

1 / »sé(

- > m i i cos • '" ' d

',!■ ! >in-

THEORIE DE L\ Cil LLE1 li

Il s'agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est comprise l'intégrale

f C0S2mx d m '■(■' i

qui complète la suite. Pour former cette intégrale, il faudrait donner à l'arc x une infinité de valeurs, depuis o, terme où l'intégrale commence, jusqu'à x qui est la valeur finale de l'arc, déterminer pour chacune des valeurs de a? celle de la différentielle c/séc".r et celle du facteur cos2ra.r, et ajouter tous les produits partiels; or le facteur variable cos2m,r est nécessairement une fraction positive ou négative : par conséquent, l'intégrale se compose de la somme des valeurs variables de la différentielle dséc"x, multipliées respectivement par des fractions. La valeur totale de cette intégrale est donc moindre que la somme des différentielles ds,éc"x, prises depuis x = o jusqu'à x, et elle est plus grande que cette même somme prise négativement; car, dans le premier cas, on remplace le facteur variable cos2w.r par la quantité constante i, et, dans le second cas, on remplace ce facteur par — i. Or cette somme des différentielles dsëc"x, ou, ce qui est la même chose, l'intégrale fdséc"x, prise depuis x = o, esl séc"^r — séc"o; séc"a? est une certaine fonction de x, et séc"o est la valeur de cette fonction, prise en supposant l'arc x nul ('). L'intégrale cherchée est donc comprise entre

+ (séc".r — séc"o) e1 — (séc"a; — séc'o); c'est-à-dire que, en représentant par /• une fraction inconnue positive

(') Fourier néglige il énoncer ici une des conditions qui sont nécessaires pour l'e\aciitude du raisonnement, à savoir que tous les éléments de l'intégrale

</i -vc"x)

soient de même signe. Cette condition esl d'ailleurs satisfaite, comme on s'en assurera aisément . G. I).

CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 167 ou négative, on aura toujours

fcos sé< k{ séc

On parvient ainsi à l'équation

• « séc i os \mx -h —

"•'+-T7-;(sôc".r-

dans laquelle la quantité séc c séc o) exprime exactement la

somme de tous les derniers termes de la série infinie.

S| I on eût cherché deux termes seulement, on aurait eu l'équation

'' = r — :, ~ -■////-- -m -T— -(scc'j; — séc'o).

'm ■>- m ■ 'in

Il résulte de là que l'on peut développer la valeur de y en autant de termes que l'on voudra et exprimer exactement le reste de la série; on trouve ainsi cette suite d'équations

> =c éc ' cos '.m r -\ (séc.r — séco),

' > -c— -^-sécj?cos2/«,r-t-— i-;séc'.rsin2/M.i- -f- ~, '- fséc'.c — séc'o), ■ ut 2* /// - 2" ni

'i - -• -secj?cos2mj - , — ;séc'.rsin2/n

h -= — r ( séc" x — séc'o).

Le nombre I; qui entre dans ces équations n'est pas le même puni toutes, et il représente dans chacune une certaine quantité qui est toujours comprise entre i et —\\m est égal au nombre des termes de li suite

- ; . Ecos5x — ... ,..

dont la somme est e parj'.

His THÉORIE DE LA Cil VLE1 It.

On ferail usage de ces équations si le nombre /// étail donné, <i, quelque grand que fût ce nombre, on pourrai! déterminer, aussi exactement qu'on le voudrait, la partie variable de la valeur de y. Si le nombre /// est infini, comme on le suppose, on considérera la première équation seulement ; et il est manifeste que les deux termes qui suivent la constante deviennent de plus en plus petits; en suite que 2J a dans ce cas pour valeur exacte la constante c; on détermine cette constante en supposant x = o clans la valeur de y, et l'on en conclut

y — COS./' — .7 COS3J -+- -=■ C0SD.T C0S7.Z | COSQJ* — ....

Il est facile de voir maintenant que le résultat a nécessairement lieu si l'arc x est moindre que -• En elïet, attribuant à cet arc une valeur déterminée X aussi voisine de - qu'on voudra le supposer, on pourra toujours donner à /// une valeur si grande que le terme

- — (sec x — seco)

qui complète la série devienne moindre qu'une quantité quelconque; mais l'exactitude de cette conclusion est fondée sur ce que le terme sécr n'acquiert point une valeur qui excède toutes les limites possibles, d'où il suit que le raisonnement ne peut s'appliquer au cas où

l'arc x n'est pas moindre que ■

On fera usage de la même analyse pour les séries qui expriment les

valeurs de '-■> logcos.r, et l'on pourra distinguer par ce moyen les

limites entre lesquelles la variable doit être comprise pour que le résultat du calcul soit exempt de toute incertitude; au reste, ces mêmes questions seront traitées ailleurs par une méthode fondée sur d'autres principes.