TC, I

~Y=— 3e"° cos3/,

— — - = e~aX cos j y,

La première de celles-ci se confond avec la surface générale lorsque x est infinie, et elles ont une nappe asympto tique commune.

Si la différence v — vK de leurs ordonnées est considérée comme l'ordonnée d'une surface courbe, cette surface se confondra, lorsque .r est infinie, avec celle dont l'équation est

cos3j.

Tous les autres termes de la série donnent une conclusion semblable. On trouverait encore les mêmes résultats si la section, à l'origine, au lieu d'être terminée, comme dans l'hypothèse actuelle, par une droite parallèle à l'axe des y, avait une figure quelconque formée de deux parties symétriques. On voit donc que les valeurs particulières

ae~x cosy, be~Sx cos3 y, ce~sx cosSy,

prennent leur origine dans la question physique elle-même et ont une relation nécessaire avec les phénomènes de la chaleur. Chacune d'elles exprime un mode simple suivant lequel la chaleur s'établit et se propage dans une lame rectangulaire, dont les côtes infinis conservent une température constante. Le système gênerai dv> températures se compose toujours d'une multitude de systèmes simples, et l'expression de leur somme n'a d'arbitraire que les coefficients a, l>,

On peut employer l'équation (a) pour déterminer tontes les circonstances du mouvement permanent de la chaleur dans une lame rec-

I H APURE III. - SOLIDE RECTANGl LA IRE INFINI. 173

(angulaire échauflféi à son origine. Si l'on demande, par exemple, quelle est la dépense de la source de chaleur, c'est-à-dire quelle esl la quantité qui, pendant un temps donné, pénètre à travers la base \ et remplace celle qui s'écoule dans les masses froides 15 et C, il Paul considérer que le lln\ perpendiculaire à l'axe des y a pour expression

K : la quantité qui, pendant l'instant <li, s'écoule à travers une

particule <A 'le l'axe, esl donc

■ àv . .

— k , d) dt:

et, comme les températures sont permanentes, le produit du l)u\ pendant l'unité de temps esl

— K , dy.

dx ■

On intégrera cette expression entre les limites y = - -et y = -f--> afin de connaître la quantité totale qui traverse la base ou, ce qui esl la même chose, on intégrera depuis y = o jusqu'il v= -j et l'on

prendra le double de la somme. La quantité ' ' esl une fonction de a et y, dans laquelle on doit faire c = o, afin que le calcul se rapporte à la base A, qui coïncide avec l'axe des y. La dépense de la source de chaleur a donc pour expression

L'intégrale doil être prise depuis y <> jusqu'à y= '-; si, dans la

fonction ' ■ on ne suppose point x o, mais c v, l'intégrale sera

une fonction de t qui fera connaître combien il s'écoule de chaleur pendant l'unité de temps, à travers nue arête transversale placée à la

distance x de I origine

Si l'on veut connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, peu. ire au delà d'une ligne tracée mu- la lame parallèlement

J7V THÉORIE DE LA <:il \I.KI R.

;ui\ arêtes li et C, on se servira de l'expression — K-^* et, la multipliant par l'élément (ii- de la ligne tracée, on intégrera par rapport a x entre les termes donnes de la ligne; ainsi l'intégrale

-fjL1-

dv

fera connaître combien il s'écoule de chaleur à travers toute l'étendue de la ligne; et si, avant ou après l'intégration, on fait y— -> on connaîtra la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, sort de la laine en traversant l'arête infinie C. On pourra ensuite comparer cette dernière quantité à la dépense de la source de chaleur; car il est nécessaire que le foyer supplée continuellement la chaleur qui s'écoule dans les masses B et C. Si cette compensation n'avait pas lieu à chaque instant, le système des températures serait variable.

L'équation (a) donne

— k - - = — (e~x cosj — e~3x cos3j- + e~ix cos5y — e~lx co%^y -+-...); multipliant par dv, intégrant depuis y = o, on a

- — ( e~x sin y — -, e~ix sin3 y -+- ?r3j: sin5 y c-'x sin- \ • + .

Si l'on l'ait y = - et si l'on double l'intégrale, on trouvera

— le-x+ ^e-3*-h le~3x-h - e-'x ■+- . . . ) 77 V 3 5 7 J

pour l'expression de la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, traverse une ligne parallèle à la base et dont la dislance à celle base est ce.

On déduit aussi de l'équation (a)

K-r- = — (e x sin y — e~3x sin3y + e -sx sin5 y — e-7* sin 7 >•-+-...); Oy 77 ' J

■ Il \l'l NiF. III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 1T i

donc l'intégrale

prise depuis r o, esl

il — '- *) sinj : i - mu m i . (sin5j -(i e 7x)sin7j

Si l'on retranche cette quantité de la valeur qu'elle prend lorsqu'on y l'ait x infini, on trouvera

SÎni , - ■ ■ -in '• i . < -in '> i . . . ),

et, en faisant y=-, on aura l'expression de la quantité totale de

chaleur qui traverse l'arête infinie C, depuis le poinl dont la distance à L'origine esl a; jusqu'à l'extrémité de la lame: celle quantité est

- — le -. l/+rt'-5r+-rTx+... ;

on voil qu'elle équivaut à la moitié de celle <|iii pénètre pendant le même temps au delà <lc la ligne transversale tracée sur la lame à la distance x <lc l'origine. Nous avons déjà remarqué que ce résultat est une conséquence nécessaire des conditions de la question; s*il n'avait pas lieu, la partie de la lame qui esl placée au delà de la ligne transversale ci se prolonge à l'infini ne recevrait point par ses bases une quantité de chaleur égale à celle qu'elle perd par se- deux arêtes; elle ne punirait donc poinl conserver son état, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Quanl à la dépense de la source de chaleur, on la trouve en supposant a; = o dans l'expression précédente; elle acquiert par lit une valeur infinie, el l'on en connaîtra la rai-un si l'on remarque «pie, d'après l'hypothi se, tous les points de la ligne A ont el conservenl la température i : les lignes parallèles qui sonl très voisines de cette base ont aussi une température extrêmement peu différente de l'unité;

ITii THEORIE DE LA Cil ILE1 R.

donc les extrémités de toutes ces lignes qui sont contiguës aux masses froides 15 et C leur communiquent une quantité de chaleur incomparablement plus grande que si le décroissemenl de la température était continu et insensible. Il existe dans cette première partie de la lame, aux extrémités voisines de R ou de C, une cataracte de chaleur ou un flux infini. Ce résultat cesse d'avoir lieu lorsque la distance x reçoit une valeur appréciable.

On a désigné par - la longueur de la base. Si on lui attribue une valeur quelconque il, il faudra écrire, au lieu de y, -~'-,\ et, multipliant aussi les valeurs de x par — >> on écrira -- -j au lieu de r. Dési-

gnant par A la température constante de la base, on remplacera v par 1 • Ces substitutions étant faites dans l'équation (a), on a

71 r .TZ.V

f>= [e 2/cos-^t -„ e -'coso-^r

7Î \ 2/3 il

f +7« "cosb^r e -' cos7 ^-t- -h. . . )

o il 7 il I

Cette équation représente exactement le système des températures permanentes dans un prisme rectangulaire infini, compris entre deux masses de glace R et C et une source de chaleur constante.

Il est facile de voir, soit au moyen de cette équation, soit d'après l'article 171, que la chaleur se propage dans ce solide en s'éloignant de plus en plus de l'origine, en même temps qu'elle se dirige vers les faces infinies R et C. Chaque section parallèle à celle de la base est traversée par une onde de chaleur qui se renouvelle à chaque instant et conserve la même intensité; cette intensité est d'autant moindre que la section est plus distante de l'origine. Il s'opère un mouvement semblable, par rapport à un plan quelconque parallèle aux faces infi-

I HAP1TRE III. SOLIDE RECTANGl LAIRE INFINI. 177

nies; chacun de ces plans esl traversé par une onde constante <|iii porte sa chaleur aux masses latérales.

Nous aurions regardé comme inutiles les développements contenus «la us les articles précédents, si nous n'avions point à exposer une théorie entièrement nouvelle, dont il est nécessaire de fixer 1rs principes. C'est dans cette même vue que nous ajouterons 1rs remarques suivantes.

Chacun des termes de l'équation y. correspond à un seul système particulier de températures, qui pourrai! subsister dans une lame rectangulaire échauffée par son extrémité et dont les arêtes infinies sont retenues à une température constante. Ainsi l'équation v — e J'co>\représente le^ températures permanentes, lorsque les points de la base A sont assujettis à une température fixe, désignée par cosy. On [Huit concevoir maintenant que la lame échauffée fait partie du plan qui se prolonge à l'infini dans tous les sens; en désignant par x et y les coordonnées d'un point quelconque de ce plan el par v la température du même point, on appliquera au plan tout entier l'équation

<• = e~xcos i ;

par ce moyen, les arêtes H et C auront la température constante o;

mais il n'en sera pas <le même des parties eontiguës; elles recevront

et conserveront une température moindre. La base A aura dans tous

points la température permanente désignée par cosy, et les parties

COntigUëS auront Une température plus élevée.

Si l'on construit la surface courbe donl l'ordonnée verticale équivaut ;i la température permanente de chaque point du plan, el si on la coupe par un plan vertical pass int par la ligne A ou parallèle à cette

ligne, la figure de la section sera celle d'une ligne trigt métrique

dont l'ordonnée représente la suite infinie el périodique des cosinus. Si l'on coupe cette même surface courbe par un plan vertical parallèle a 1 axe des r, la figure de la section sera dans toute son étendue celle d'une courbe logarithmique.

1TS THÉORIE DE L \ CHALEI It.

On voit par là de quelle manière le calcul satisfait aux deux conditions de l'hypothèse, qui assujettissent la ligne à une température égale à cosj, et les deux côtés Iî et C à la température o. Lorsqu'on exprime ces deux conditions, on résout en effet la question suivante : Si la lame échauffée faisait partie d'un plan infini, quelles déviaient être les températures de tous les points de ce plan pour que le système fût de lui-même permanent, et que les températures fixes des roi es du rectangle infini fussent celles qui sont données par l'hypothèse?

Nous avons supposé précédemment que des causes extérieures quelconques retenaient les faces du solide rectangulaire infini, l'une à la température i, et les deux autres à la température o. On peut se représenter cet effet de différentes manières; mais l'hypothèse propre au calcul consiste à regarder le prisme comme une partie d'un solide dont toutes les dimensions sont infinies et à déterminer les températurcs de la masse qui l'environne, en sorte que les conditions relatives à la surface soient toujours observées.

Pour connaître le système des températures permanentes dans une lame rectangulaire dont l'extrémité A est entretenue à la température i , et les deux arêtes infinies à la température o, on pourrait considérer les changements que subissent les températures, depuis l'étal initial qui est donné jusqu'à l'état fixe qui est l'objet de la question. On déterminerait ainsi l'état variable du solide pour toutes les valeurs du temps, et l'on supposerait ensuite cette valeur infinie.

La méthode que nous avons suivie est différente el conduit plus immédiatement à l'expression de l'étal final, parce qu'elle est fondée sur une propriété distinctive de cet état. On va prouver maintenant que la question n'admet aucune autre solution (pie celle que nous ayons rapportée. Cette démonstration résulte des propositions suivantes