CHAPITRE III SOLIDE RECTANG1 LAIRE INFINI. 18J

le coefficienl c désignant la capacité spécifique rapportée au volume.

I .1 variation de la température du même point, dans le premier solide, sera ., <//. el elle sera .. di dans le second, les lettres <l el I) repré-

sentant la quantité de chaleur positive «mi négative que la molécule acquiert en vertu de l'action de tontes les molécules voisines. Or il est facile de reconnaître que A équivaut à <l h D. Pour s'en convaincre, il suffît de considérer la quantité de chaleur <|ne le point /// reçoit d'un antre punit ///, appartenant à l'intérieur de la lame ou aux arêtes qui la limitent.

Le point ///,. dont la température initiale est désignée par /,, transmettra ii la molécule m, pendant l'instant <lt. une quantité de chaleur exprimée par q /', f dt, le facteur y, représentant une certaine Ponction de la distance des deux molécules. Ainsi la quantité totale de chaleur acquise par m sera -y, /, — f <U, le signe — exprimant la somme de tous les termes que l'on trouverait en considérant les antres points ma ,/w,, mt, ... <pii agissent sur m, c'est-à-dire en mettant (/,. /',, ou y,. y ''.. ou y,../., ainsi de suite, à la place de y,../'|. On trouvera de même — y, F, — F dt pour l'expression de la quantité totale de chaleur acquise par le même point /// du second solide; et le facteur q,

est le même que dans |e tenue — y, /', - /' dt , puisque h' s deux solides sont formés de la même matière, el que la situation des points es| la

même; on a doue

d = 1qi(fx-f)dt,

D = 2ql(Yl — F)dt.

< )n trouvera par la même raison

donc

II s n ii de la que chaque molécule m du trois unie solide acquerra, pendant l'instant dt, un accroissement de température égal à la somme

des deux accroissements qui auront lieu pour le même point dans les deux premiers solides. Donc, à la fin du premier instant, l'hypothèse primitive subsistera encore, pisqiriï'une molécule quelconque du troisième solideaura nue température égalekla somme de celles qu'elle a dans les deux autres. Donc cette même relation aura lieu au commencement de chaque instant; c'est-à-dire que l'état variable du troisième solide sera toujours représenté par l'équation

La proposition précédente s'applique à toutes les questions relatives au mouvement uniforme ou varié de la chaleur. Elle fait voir que ce mouvement peut toujours être décomposé en plusieurs autres dont chacun s'accomplit séparément comme s'il avait lieu seul. Cette superposition des effets simples est un des éléments fondamentaux de la théorie de la chaleur. Elle est exprimée dans le calcul par la nature même des équations générales et tire son origine du principe de la communication de la chaleur.

Soit maintenant

l'équation (a), qui exprime l'état permanent de la lame solide BAC, échauffée par son extrémité A, et dont les arêtes B et C conservent la température ?; l'état initial de cette lame est tel, d'après l'hypothèse, que tous ses points ont une température nulle, excepte ceux de la base A, dont la température est r. Cet état initial pourra donc être considéré comme formé de deux autres, savoir : un premier, pour lequel les températures initiales seraient --y{x,y), les trois arêtes étant maintenues à la température o; et un second état, pour lequel les températures initiales sont + <?(x,y), les deux arêtes B et C conservant la température o, et la base A la température i ; la superposition de ces deux états produit l'état initial qui résulte de l'hypothèse. Il ne reste donc qu'à examiner le mouvement de la chaleur dans

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chacun des deux états partiels. Or, pour le second, le système des températures ne peut subir aucun changement; et, pour le premier, il a été remarqué, dans l'article 201, que les températures varienl continuellement el finissenl toutes par être nulles. Donc l'étal final proprement dil est celui que représente l'équation x) ou

Si cel étal étail formé d'abord, il subsisterait de lui-même, et c'est cette propriété qui nous a servi à le déterminer. Si l'on suppose la lame solide dans un autre étal initial, la différence entre ce dernier état et l'état fixe forme un étal partiel qui disparait insensiblement. Après un temps considérable, cette différence est presque évanouie, et le système des températures ti\es n'a subi aucun changement. C'est ainsi que les températures variables convergent de plus en pin- vers un état final, indépendant de réchauffement primitif.

On reconnaît par là que cel état final est unique; car, si l'on en concevait un second, la différence entre le second el le premier formerait un état partiel, qui devrai! subsister de lui-même, quoique les arêtes A. B, C fussent entretenues à la température o; or ce dernier effet ne peut avoir lieu. Il n'en serait pas de même si l'on supposait une autre source de chaleur indépendamment de celle qui s'écoule à l'origine \: au reste, cette hypothèse n'est point celle de la question que nous avons traitée, et pour laquelle les températures initiales sont nulles. Il est manifeste que le> partie- très éloignées de l'origine ne p >uvenl ac [u irir qu'une température extrêmement petite.

Puisque l'état final qu'il fallait déterminer esl unique, il s'ensuit

• pu- la question proposée n'admet aucune autre soluti pie celle qui

résulte de l'équati m % . On peut donner une autre forme à ce même li.it : mais <>n ne peut ni étendre, ni restreindre la solution, sans la rendre inexacte.

La méthode que nous avons exposée dans ce Chapitre consiste a for-

is, THÉORIE DE LA CHALEl R.

mer d'abord des valeurs particulières très simples, qui conviennent à la question, cl à rendre la solution plus générale, jusqu'à ce que la fonction v ou o(x,y) satisfasse à trois conditions, savoir :

à2 v à2 v du-2 oy

11 est visible que l'on pourrait suivre une marche contraire, et la solution que l'on obtiendrait serait nécessairement la même que la précédente. Nous ne nous arrêterons point à ces détails, qu'il est facile de suppléer dès qu'une fois la solution est connue. Nous donnerons seulement, dans la Section suivante, une expression remarquable de la fonction y[x,y) dont la valeur est développée en série convergente dans l'équation (a).