CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

nentielles imaginaires, du obtienl ainsi ces mêmes valeurs de '.' ci ', que nous venons de rapporter.

La question que l'on vient de traiter est la première que nous ayons résolue dans la théorie de la chaleur, ou plutôt dans la partie de cette théorie qui exige l'emploi do l'Analyse. Elle fournil Av^ applications numériques très faciles, soit que l'on lasso usage des Tables trigonométriques ou do séries convergentes, ci elle représente exactement toutes les circonstances du mouvement do la chaleur. Nous passerons maintenant à des considérations plus générales.

■ i LOPPBXI M ni M PONCTIO> ARBITRAIRE l\ SERIES rRIGONOMÉTRIQUES.

I.a question de la propagation de la chaleur dans un solide rectangulaire a conduil ;'i l'équation

dx* dj "''

et, >i l'on suppose que tous les points de l'une des (aces du solide ont une température commune, il faut déterminer les coefficients a, b, c, '/. • . ... de la série

ai'i'- . h cos3.r -+- ccosô x -+- d cosyx +. . .,

sorte que la valeur ^r cette fonction soit égale à une constante toutes les fois une l'arc x est compris entre : et -\ — • On vient

d'assigner la valeur di loefficients; mais on n'a traité qu'un seul

d'un problème plus général, <|ui consiste à développer une fonction quelconque en une suite infinie >\'~ sinus ou de cosinus d'arcs multiple». Cette question est liée a la théorie des équations aux différend partielles el a été agitée dès l'origine de cette analyse. Il était néi

188 THEORIE DE LA CH M. Kl R.

saire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur; nous allons en exposer la solution. On examinera, en premier lieu, le cas où il s'agil de réduire en une

série de sinus d'airs multiples une fonction dont le développemenl ne contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une telle fonction par <p(#), on posera l'équation

y (x) ii sin a •-+- b si n 2^- 4- csin3# + <-/ si n \x -4-, . . .

et il s'agit de déterminer la valeur des coefficients a, b, c, d On

écrira d'abord l'équation

,)=X9'(0) + ^0"(0)+^?"'(0)+£' ( p«T(o) + «L?T(o) + itM

dans laquelle <p'(o), cp"(o), <p'"(o), cpIV(o), . . . désignent les valeurs que prennent les coefficients

dy(x) d2y(x) d3y{x) rf*<p(a dx dx- dx3 '/ '•

lorsqu'on y suppose x = o. Ainsi, en représentant le développemenl selon les puissances de x par l'équation

cp (x) — Ax — B —. 5 -t-C —5— —K — D ■' + E ■

on aura

<p,v(o) = o, 9v(o) = C, <pv,(o) = o, 9vl,(o)=-D,

Si maintenant on compare l'équation précédente à celle-ci

y(x) = a sin x -+- bsin2x + csin3# H ds'm^x -t-. . en développant le second membre par rapport aux puissances der, on