CHAPITRE III. S0L1 DE REC l'\Mil L URE IM'IM
Connaissanl les valeurs de a, l>, c, d, e, /. .... on les substituera dans l'équation propos»
r sinj b -in ' / 'I -\i\ \ 1 e -\w i / ... :
«■i mettant aussi au lieu des quantités \. B, C, D, K. ... leur- valeurs
202 THÉORIE DE LA Cil VI. Kl li.
tp'(o . y <> , <p' <> , ipT"(o), tp" o), . .., on aura l'équation générale
vu/ ■,( "'' ' ~' '
vu/ s/ ~r' ' "' ' ~J ' i
+ ? (o) (i.34.5.6.; ~ 2~ ^ÎXï + y ^3 ~ • - + ? (o) U.3.4.5.6.7 ~ 3i ^374-5 + 3^ O ~ 3 > -
^»(rrf
On peut se servir de la série précédente pour réduire en série de sinus d'arcs multiples une fonction proposée, dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable.
Le cas qui se présente le premier est celui où l'on aurait
on trouve alors
<p'(o) = i, <pw(o) = o, 9v(o)-—o,
ainsi du reste. On aura donc la série
-=Sin.T Mil 2 X -•- r, Slllo.r , Slll.i r - . . .,
qui a été donnée par Euler
CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 303 Si I on suppose que la Ponction proposée soil a \ on aura
pV"i oï - o, ....
ce i|in donne l'équation
On parviendrait à ce même résultai en partant de l'équation précédente
-in •'• -m -III \X -Ml ... ....
En effet, en multipliant chaque membre par dx el intégrant, on aura
1 — " .. <■<>->> COS i ■■■ . . .;
la valeur de la constante C esl
■ dont on sait que la somme est -+- • Multipliant par dx 1rs
deux membres de l'équation
— rz^cos.r— C0S2J , ,.,-;.,-— ... ■ '..à i 2* 3-
ii intégrant, on aura
r. =^ SinJT ;SU12.r -I- , -SI II .)/—... .
- maintenant on mel au lieu de c sa valeur tirée de l'équation
-m sinîj . -m . / , -m , /■ -+- . . . ,
on obtiendra la même équation <]ti<' ci-d< ssus, savoir
:V2T3"7Vs,nj MM"
iiu3.i |sin4
204 THÉORIE DE LA Cil M. Kl R.
On pan Iendrail de la même manière ;i développer en séries de sinus multiples les puissances a?5, x1 , .<■'', ... et, en général, toute fonction doni le développement ne contiendrai! que il»'- puissances impaires de la variable.
L'équation (A) (art. 215) peut être mise sous une forme plus simple que nous allons faire connaître. On remarque d'abord qu'une partie du coefficient de sina?est la série
qui représente la quantité -^[~ . En effet, on a, en général,
1(.r) = o(o)4-.rç/(o)4-— o"(o)+ —g f
Or la fonction y {oc) ne contenanl, par hypothèse, que des puissances impaires, on doit avoir
<p(0) = 0, ©"(0)=:0, :pIV(o)=0,
et ainsi de suite. Donc
y{x)=xy\o) + ^3?"r(°)+ 27JP7 5?v(o)+----
Une seconde partie du coefficient de sin.r se trouve en multipliant par
; la série
dont la valeur est --J' ;-). On déterminera de cette manière les différentes parties du coefficient de sin.r et celles qui composent les coef-
