CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

Nous .i\ ins supposé jusqu'ici que la fonction donl on demande le développemenl en séries de sinus d'arcs multiples peul être déve loppée en une séi ie ordonnée suivanl les puissances de la variable a . et qu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires. On peul étendre les mêmes conséquences à des Ponctions quelconques, même à celles qui seraienl discontinues »•! entièrement arbitraires. Pour établir clairement la vérité de cette proposition, il est nécessairi de poursuivre l'analyse qui fournit l'équation précédente 15 et d'examiner quelle est la nature des coefficients qui multiplient sin oc, >\w >.>■.

sin3j?, sin \x En désignant par - la quantité qui multiplie dans

cette équation - sinnx si n est impair, et s'innx si // csi pair, on

;iui;i

Considérant s comme une fonction de -, différentiant deux Cois et comparant les résultats, on trouve

équation ;i laquelle la valeur précédente de s doit satisfaire. Or l'équation

d;nis laquelle s est considérée c imme une fonction de >\ ;i pont- intégrale

/< -m '/ / ■ nsiana j i c i cos n i dx

n COS nx j <p ' i sin a t 'li :

n étant un nombre entier <'t h valeur de x étant égale ;i -, on a

I f i sin/iJ 'I'

208 THÉORIE DE LA CH VLEl R.

Le signe - doil être choisi lorsque n est impair, el le signe lorsque ce nombre esl pair. On doil supposer x égal à la demi-circonférence ic, après l'intégration indiquée; ce résultat se vérifie lorsqu'on développe,

;1„ „10yen de l'intégration par parties, le terme

/ -.>(>■) si n// vdx,

en remarquant que la fonction ?(.r) ne contient que des puissances impaires de la variable et en prenant l'intégrale depuis x= o jusqu'à

On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à

±[?(io -/(*)£ +*"<*)£ rw^+^oi — ■]■

S. Ton substitue cette valeur de £ dans l'équation (B , en prenant le signe -H lorsque le terme de cette équation est de rang impair, et le signe lorsque n est pair, on aura, en général,

/ y(x) sin/î

rd.r

pour le coefficient de sin».r; on parvient de cette manièreà un résultat très remarquable exprimé par l'équation suivante

i Ti o{x) = sin.r fsin ./ '<?! ■< -i//.r-Hsin2.rJ sin - Ac

} | t sin3^rsin3*«p(ar)rfa?+...+ siil«a?ysin*J?<pl c)dr+...;

le second membre donnera toujours le développement cherché de la fonction <p(») si l'on effectue les intégrations depuis ..■.-.«> jusqu'à

,r == Tt.

m C'est ici que Fourier entre dans la voie qui lui a permis d'obtenir desn ;t'onsf.^

eteon »etes sut la nature des séries trigonométriques *«^*J*T££*

d'une question célèbre qui avait occupe au vmt s.ècle Bâter, d Uembe 1 . B m

Lagrange. La détermination . Qts de la séné par des intégrales défi «j.mtf

«servent un sens, même lorsque la fonction est d.scontmue, est du« tout