CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

On \<>n par là que les coefficients </. b, c, <l, e, /'. .... qui entrent dans l'équation

■ /< sin >./■ -i- <• sin • ■■ / -m i / —

el que nous avons trouvés précédemment par la voie des éliminations successives, sonl des valeurs intégrales définies exprimées par le terme général

I sin i </' .

/ tiaiii le numéro du terme donl on cherche le coefficient. Cette remarque esl importante, en ce qu'elle fait connaître commenl les fonctions entièrement arbitraires peuvent aussi être développées en . *• de sinus d'arcs multiples. En effet, si la fonction a c esl représentée par l'ordonnée variable d'une courbe quelconque, dont l'ab- - ss s'étend depuis x=o jusqu'à x tc, et si l'on construit sur cette même partie il" l'axe la courbe trig métrique connue dont l'ordonnée est y = sinx, il sera facile de se représenter la valeur d'un terme intégral. Il faut concevoir que, pour chaque abscisse va laquelle rép ind une valeur de a c el une valeur de sin c, on multiplie cette dernière valeur par la première, et qu'au même point de l'axe on élève une ordonnée proportionnelle au produit a x) sine. On formera, par cette opération continuelle, une troisième courbe dont les ordonnées sonl celles de la courbe trigonométrique, réduites proportionnellement aux ordonnées de la courbe arbitraire qui représente a c . Cela

taux que lui doil celle ihéoi i i \ onduil par la formule i I) i, el qui suivant, n'ont ; - par lui d'une

mme, un au moins

d'une - quelque hési

: pour

la pr la Tlirnr fialcur, présenté à I

posé, l'aire de la courbe réduite, étanl prix- depuis x = o jusqu'à x = ir, donnera la valeur exacte du coefficient de sin.r; et, quelle que puisse être la courbe donnée qui répond à cp(.r), soil qu'on puisse lui assigner une équation analytique, soit qu'elle ne dépende d'aucune loi régulière, il est évident qu'elle servira toujours à réduire d'une manière quelconque la courbe trigonométrique; en sorte que l'aire de la courbe réduite a, dans tous les cas possibles, une valeur déterminée qui donne celle du coefficient de sin.r dans le développement de la fonction. Il en est de même du coefficient suivant b ou / ç- [x] ûnixdr.

Il faut, en général, pour construire les valeurs des coefficients r/, b, c, d, e, . . ., imaginer que les courbes dont les équations sont

y -= sin.r, y^s'xnix, r = sin3.r, y=sin'i'',

ont été tracées pour un même intervalle sur l'axe des x, depuis x = o jusqu'à x = tz, et qu'ensuite on a changé ces courbes en multipliant toutes leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes d'une même courbe, dont l'équation est y = y(x). Les équations des courbes réduites sont

y— y(x) sin x, y = <p(x) sin2 x, y = cp(x) sin3~r, y = y(x) siu \x, ....

Les aires de ces dernières courbes, prises depuis x=o jusqu'à .r = -. seront les valeurs des coefficients a, b, c, d, ... dans l'équation

-cp(.r) = asinx -1- bs\\\2x 4- c sin 3 a; -hds'm^x -t-, . . .

On peut aussi vérifier l'équation précédente (D) (art. 219;, en déterminant immédiatement les quantités a,, a.2, a^ a,-, . . . dans l'équation

9(jj) = «i sin.r + a» sin2.r + a3 >in3.r 4-. . .+ cij s'inj'x 4-. . . :

pour cela on multipliera chacun des membres de la dernière équation par s'mixdx, i étant un nombre entier, et l'on prendra l'intégrale

CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. -2ll depuis r i> jusqu'à x - : on aura

/ . sin<\r dx .■ / sin j »in ix dx

I sin • ■■ -111/ /(/./—... -+- (tj I sin J.r sin i.r il.

Or on peut facilement prouver :

i Que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre oui

une valeur nulle, excepté le seul terme at f sin ix sin ixdx\

Que la valeur il»' / s'mixs'inixdx est ■ D'où l'on conclura la valeur de a, qui est

/ . -ill i r ,1 r .

roui m' réduit ii considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre, ri ii démontrer 1rs deux propositions précédentes, [/intégrale

< f siny ' -in i v dx,

prise ilr|>m< r o jusqu'à x -, ri dans laquelle i et / sont des nombres entiers, est

sinii i)x—-. :Sin(n- j)x h C.

L'intégrale devant commencer lorsque c o, la constante <i rsi nulle, et, les nombres i et y étant entiers, la valeur de l'intégrale deviendra nulle lorsqu'on fera x = — ; il s'ensuit que chacun des tenues tels que

/ si n ' sin/ r ctr,

/ -m > / -in / / '// , a j -in ; i sin ii 'li.

s'évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres i et j sm.nl différents. Il n'en est pas de même lorsque les nombres i et j son. égaux; car le tenue .-^ sin(* -y> auquel se réduit l'intégrale devient -, et sa valeur est-. On a, par conséquent,

2 / sinix ^-in ixdx - n :

on obtient ainsi, de la manière la plus briève, les valeurs de a„ fl2,«3, a,, .... a,-, ••-, qui sont

a, = - / çp(#) sin-r '/'•■

a2 = - / ?(*) sin3./ '/.'■•

rt. — - / 9(jt) sin ixdx.

En les substituant, on a - ip(a:) = sin.r f <p(aO sin* rf.r -+- sinaxj o{x) sinaa; cfc

+ sin3.r r?(a?)sin3a;cte + ...H-sin»a! / ?! « i sinia? «te + • ■ • ■

Le cas le plus simple est celui où la fonction donnée a une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable a- comprises entre o et ic; dans ce cas, l'intégrale f sinix dx est égaleà ? si le nombre tes! impair, et égale à o si le nombre i est pair. On en déduit l'équation

Sina. + ^sin3d?-h4sin5a; i siii7.r - -singa:

que l'on a trouvée précédemment.