I UAPITRE III. SOLIDE RECTANG1 LA IRE INFINI
Il Paul remarquer que, lorsqu'on ;i développé une fonction r c en une suite de sinus d'arcs multiples, la valeur de la série
la même que celle de la fonction ç x lani que la variable > esl comprise entre o el ~ : mais (vue égalité cesse, en général, d'avoir lieu lorsque la valeur <lr c surpasse le nombre ~. Supposons que la fonction donl on demande le développement i : on aura, d'après !«■ théoi ème précédent,
- — = sin / -m /(//'.- v'm >.//./ -in <> ,i.i
in.i r I /■ >in ■ sin i v I i -in ', vdx -+-... .
L'intégrale / Unix dx ci pi i va ni \\ ± -.; les indices <> el - (|iii sont joints au signe / fonl connaître les limites de l'intégrale; le signe +
doit être choisi lorsque î esl impair, et le signe - lorsque i esl pair. ( >n aura donc l'équation suivante :
- = sinj mii i / — ;>ui3x — T sinA-r + - sin 5 a
On développera aussi en séries de sinus d'ares multiples les fonci- différentes de celles où il n'entre que des puissances impaires de la variable. Pour apporter un exemple qui ne laisse aucun doute sur la possibilité de ce développement, nous choisirons la fonction cosa?, qui ne contient que di - puissances paires de x, et qu'on développera sous la forme su vante
</ -in ' A -in - / - ' -in 1 / / -in i / <■ -in '><■.,. .
quoiqu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires
■2\', THÉORIE DE L V Cil kLEl IC
de la même variable. On aura, en effet, d'après le théorème précédent,
" COS.» = siu.r / cos./ >in x dx
4- sin ■>./■ f C0S.r sin2 x dx -4 >i 11 i / / COS 1 -in '■> ' dx -+-....
L'intégrale / cosxsinixdx équivaut à zéro lorsque i est un nombre impair, et à -^ lorsque i est un nombre pair. En supposant successivement i = 2, 4» 6, 8, • ••> on aura la série toujours convergente
T cos.r = — s- sin2 j? 4- -x— = si n Lx 4- - — si 11 6 .r
H sinis.rH sinio.r -f- . . .
OU
cos.r = - ( - 4- -7 ) siii2x -+- ( 3 -+- g ) sin.'i.r
( — l — ) sinS.r 4- ( — 1 ) siniojT4-. . .
Ce résultat a cela de remarquable qu'il offre le développement du cosinus en une suite de fonctions dont chacune ne contient que des puissances impaires. Si l'on fait dans l'équation précédente x = V> on trouvera
4 y/â- 2V 3 5 7 9 11 i3 i5 Cette dernière série est connue [Introd. in analysin infinit., cap. X .
On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en série de cosinus d'arcs multiples. Soit 9' r) la
CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 215 fonction don( on demande le développement, on écrira
cos3 h. • . + a< cos ■ +-... + ....
Si l'on multiplie les deux membres de cette équation par cosj'x el que l'on intègre chacun des termes du second membre depuis x = o jus- (|u';i x —. -, il est facile de s'assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle, excepté puni' le seul terme qui contient déjà cosj'x. Cette remarque donne immédiatement le coefficienl </,: il suffira, en général, de considérer la valeur de l'intégrale / cosjxcosixdx, prise depuis x = o jusqu'à x -.. en supposant que y el i son! des nom lues entiers. On a
/ - - sin(/ -+- i)x h : — T7 si n(/ — i ).v-\- C.
Cette intégrale, prise depuis a; n jusqu'à r ---, est évidemment nulle toutes les fois quey el i sont deux nombres différents. Il n'en est pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux. Le dernier terme
—. — . sin /— i x devient > el sa valeur esl -> lorsque l'arc x esl
égal à . Ni donc on multiplie les Avu\ termes de l'équation précédente m par cosix, et que l'on intègre depuis o jusqu'à -, on aura
o(x) cosix dx = - — ->
équation qui fera connaître la valeur du coefficient a,-. Pour trouver le premier coefficienl o0, on remarquera que, dan- l'intégrale
-m /• t)xH- , . . sin(y — i
si l'on a
chacun des tenue- devient "■ el la valeur de chaque terme esl
2l6 THÉORIE DE LA CH ^LEI R.
ainsi l'intégrale fcosjxcosixdx, prise depuis x= o jusqu'à x -, esl nulle lorsque les deux nombres entiers J el i sont différents; elle esi - lorsque les nombres ./ el / sonl égaux, mais différents de zéro : elle esl égale à - lorsque ./ el rsonl l'un el l'autre égaux à zéro. On obtient ainsi l'équation suivante :
i~0(.r)^-/' <?(x)dx--hCOSx j ?{x)cosxda
+ C0S2*/ „,ir.i>r'^ + COS3.r| ? (*) COS3.T dx +....
,;,, théorème el le précédenl conviennent à toutes les fonctions possibles, soil que l'on en puisse exprimer la nature par les moyens connus de l'Analyse, soil qu'elles correspondent à .les courbes tracées arbitrairement.
Si la fonction proposée dont on demande le développement en cosinus d'arcs multiples est la variable x elle-même, on écrira l'équation
et l'on aura, pour déterminer un coefficient quelconque a,, l'équation
,/, / .r cû>l.r (/ ' .
Celte intégrale a une valeur nulle lorsque i est un nombre pair, et est e<rale j, * lorsque i esl impair. On a en même temps
Or, =
On formera donc la série suivante :
, COS./' , COi , cos5 i . cos^ '
CHAPITRE III. — SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 217 On peul remarquer ici que nous sommes parvenus a trois développements différents de • savoir
-lll / -m • . -in I -m | . . -lli <r — . .
art. -2-2-2
siux sin3 -in 5 -in ix -+-...
(art. 181 ).
cos ,,.-,.— __cos5.r — . . . .
Il faut remarquer que ces trois valeurs de -- ne doivent point être considérées comme égales pour toutes 1rs valeurs de x; les trois développements précédents n'ont une valeur commune que lorsque la variable x est comprise entre <> et -■ La construction des valeurs de ries i i la comparaison des lignes dont elles expriment les ordonnées rendraient sensibles la coïncidence et la distinction alternative- des valeurs de ces fonctions.
Pour donner un second exemple du développemenl dune fonction en sene de cosinus d'arcs multiples, nous choisirons la fonction sin.r qui nt' contient que des puissances impaires de la variable, et nous nous proposerons de la développer sous la l'orme
bcos cos2x -h dcos3x-h . . . .
En faisant à ce cas particulier l'application de l'équation générale, on trouvera, p l'équation cherchée,
i .,,-,/ cos6.r cos8.r - -iiij:= ^ —
On parvient ainsi à développer une fonction qui ne contient que des puissances impaire- eu une série de cosinus dans laquelle il n'entre
'I les puissances paires de la variable. Si l'on donne à x la valeur
particulière ' : on trouvera
Or de l'équation connue
on tire
et aussi
8 ~ 2 3.5 7.9 11. 1 3 i3.i5 en ajoutant ces deux résultats, on a, comme précédemment,
L'analyse précédente donnant le moyen de développer une fonction quelconque en série de sinus ou de cosinus d'airs multiples, nous l'appliquerons facilement au cas où la fonction à développer a des valeurs déterminées lorsque la variable est comprise entre de certaines limites, et a des valeurs nulles lorsque la variable est comprise entre d'autres limites. Nous nous arrêterons à l'examen dece cas particulier parce qu'il se présente dans les questions physiques qui dépendent des équations aux différences partielles, et qu'il avait été propose autrefois comme un exemple dr> fonctions qui ne peuvent être développées en sinus ou cosinus d'arcs multiples. Supposons doue que l'on ait à réduire en une série de cette forme une fonction dont la valeur est constante, lorsque x est comprise entre o et x, et dont toutes les valeurs sont nulles lorsque x est comprise entre a et it. On emploiera l'équation générale (m), dans laquelle les intégrales doivent être prises depuis x = 0 jusqu'à x = ic. Les valeurs de ? V: qui entrent sous le signe /étant nulles depuis x = y. jusqu'à x^r., il suffira d'intégrer depuis x = o jusqu'à x = a. Cela pose, on trouvera, pour la série
CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI, -il'.» demandée, en désignant par A la valeur constante de l;i fonction,
, , i cosa . i cosa y. .
Slll •
i — COs3a . , i — COS i y . ,
-in -in | /
Si l'on fail // • ri que l'on représente le sinus verse de l'arc x par sinY.r. mi aura
sin \ -m / sin \ ! % sin \ c , sin \ > y sin 3 i
-ni \ i y. -in | ' . -ni \ .) y -in ■>./• -H. . . .
Cette série toujours convergente esl telle que, si l'on donne à x une valeur quelconque compi ise entre o el x, la somme de ses ici nie- sera
': mais, si l'on donne à x une valeur quelconque plus grande que a
el moindre que -. la somme des termes sera nulle.
Dan- l'exemple suivant, qui n'esl pas moins remarquable, les valeurs de - i - >nl égales à sin - pour toutes les valeurs de x comprises
• ii M t x, et sont nulles pour toute- le> valeurs de x comprises
entre -j. et ît. Pour trouver la série qui satisfait à cette condition, on emploiera l'équation D).
I - tég des doivent être prises depuis x o jusqu'à a; ît; mais il suffira, dan- le cas dont il s'agit, de prendre ces intégrales depuis ,r = o jusqu'à ' y., puisque les valeurs de ?(#) sont supposées nulle» dan- le reste de l'intervalle. On en conclura
-iny-iii' zsin^.r y-in3.r sin4asiiii'
Si l'on supposait a -, tous les termes de la série s'évanouiraient excepté le premier, qui deviendrait '-' el qui a pour valeur sina;; on
aurait donc
On peut étendre la même analyse au cas où l'ordonnée représentée par ?(r) serait celle d'une ligne composée de différentes parti.-, dont les unes seraient des arcs de courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en séries de cosinus d'arcs multiples a pour valeur ( \ ) - ce* depuis* jusqu'à x = \ et est nulle depuis x = \ jusqu'à x = ic, on emploiera l'équation générale (n) et, en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le terme général
est égal à \ sin ™ lorsque i est impair, à | lorsque / est double d'un nombre impair, et à - }2 lorsque i est quadruple d'un nombre impair. D'un autre côté, on trouvera i g pour la valeur du premier terme i fy(x)dx. On aura donc le développement suivant :
l /7lV 2 feosse cos3# cos5x COSTf \
cos2^ cos4-^ cos6.r -^i- -4»- 6>
Le second membre est représenté par une ligne- composée d'arcs paraboliques et de lignes droites.
On pourra trouver de la même manière le développement d'une fonction de x qui exprime l'ordonnée du contour d'un trapèze. Supposons que ?(*) soit égale à x depuis x = o jusqu'à x = a. que cette fonction soit égale à « depuis x = a jusqu'à x = ic - «, et enfin égale *,-*, depuis * = ic - a jusqu'à * = tc. Pour la réduire en une
