CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

série de sinus d'arcs multiples, on se sen ira de l'équation générale I) . Le terme général fa c sinixdx sera composé de trois parties différentes, et l'on aura, après les ré luctions, . sinta pour le coefficient de sinix, lorsque »est un nombre impair; el zéro pour ce coefficient, |ue tesl un n tmbre pair. On parvient ;iinsi à l'équation

I [ sinasinj . mu . .. -m .> /•

. sino .■' -m > < —, nui- y. sin - ./• - . . . .

Si l'on supposait « - -■ . le trapèze se confondrait avec le triangle iso-

scèle, el l'on aurait, comme précédemment, pour l'équation du contour de ce triangle

-III r frSino -III 5 C - : -111-./' -)-...,

e qui esl toujours convergente quelle que soit la valeur do .r. lui général, les suites trigonométriques auxquelles nous sommes parvenus .mi développant les diverses fonctions sont toujours convergentes; unis il n-' nous a point paru nécessaire de le démontrer ici : car les termes qui composenl ces suites ne sonl que les coefficients des tenues des séries qui donnent les valeurs des températures; el ces coefficients affectent des quantités exponentielles qui décroissent très rapidement, en sorte < j m ■ ces dernières séries sonl très convergentes. A l'égard de celles où il n'entre que des sinus ou des cosinus d'arcs multiples, il est également facile de prouver qu'elles sonl convergentes, quoiqu'elles représentent les ordonnées des lignes discontinues. Cela ne résulte pas seulement de ce que les valeurs des termes diminuent continuellement; car cette condition ne suffi! p;i^ pour établir la convergence d'une série. Il est nécessaire que les valeurs auxquelles on parvient, • •n augmentant continuellement le nombre des termes, s'approchent de plus en plus d'une limite li\<' el ne s'en écartent que d'une quantité qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée : cette limite est

TIIKHHIK DE L V Cil \I.KI R.

I;i valeur de la série. Or on démontre rigoureusement que !«■> suites

donl il s'agit satisfont à celle dernière condition.

Nous reprendrons l'équation précédente ./.'., dans laquelle on peut donner à x une valeur quelconque; on considérera cette quantité comme une nouvelle ordonnée, ce qui donnera lieu à la construction suivante.

Ayant tracé sur le plan des xy {fig. 8) le rectangle dont la base ()-

Fig. 8.

est égale à la demi-circoniérence et dont la hauteur est -> sur le milieu m du côté parallèle à la hase on élèvera perpendiculairement au plan du rectangle une ligne égale à - et, par l'extrémité supérieure de cette ligne, on tirera des droites aux quatre angles du rectangle. On formera ainsi une pyramide quadrangulaire. Si l'on porte maintenant sur le petit côté du rectangle, à partir du point 0, une ligne quelconque égale à a, et que par l'extrémité de cette ligne on mène un plan parallèle à la hase Oit, et perpendiculaire au plan du rectangle, la section commune à ce plan et au solide sera le trapèze, dont la hauteur est égale à a. L'ordonnée variahle du contour de ce trapèze est égale. comme nous venons de le voir, à

sin y. Mil /

sin3:x sin ■> /

mu ) y Mil .i.'

s i il - y. mii - i

Il suit de là qu'en appelant x, y, z les coordonnées d'un point quelconque de la surface supérieure de la pyramide quadrangulaire que nous avons formée, on aura pour l'équation de la surface du polyèdre,

CHAPITRE lll. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. ±i:\ entre les limites a o,x ic, y = o, y = '•

-m -m i -m 3 ' sin 1 1 sin 5 t sin 5 i

Cette série convergente donnera toujours la valeur tic l'ordonnée s, ou de la distance d'un point quelconque de la surface au plan des xy.

I es suites formées de sinus ou de cosinus d'arcs multiples sont donc propres à représenter, entre des limites déterminées, toutes les fonctions possibles, el les ordonnées des lignes ou des surfaces dont la loi est discontinue. Non seulement la possibilité de ers développements r-t démontrée, mais il est facile de calculer les termes des séries; la valeur d'un coefficient quelconque dans l'équation

n /■ ■ /, >in ■ -m '■ - . . . -~ a, si ni. v -•- . . .

esl celle d'une intégrale définie, savoir

- I m(a sin ii ilr.

Quelle que puisse être la fonction ç x , ou la forme de la courbe <jui la représente, l'intégrale a une valeur déterminée qui peut être introduite dans le calcul. Les valeurs de ces intégrales définies sont analogues à celle de l'aire totale f~r x <h- comprise entre la courbe et l'axe dans un intervalle donné, ou a celles des quantités mécaniques, telles que les ordonnées du centre de gravité de cette aire ou d'un le quelconque. Il esl évident que toutes ces quantités onl des valeui - i ibles, soil que la figure des corps suit régulière, soil qu'on

leur donne une forme entièrement arbitraire.

Si l'on applique ces principes à la question du mouvement des cordes vibrantes, <ui résoudra les difficultés qu'avait d'abord présentées l'analyse de Daniel Bernoulli. La solution donnée par ce géomètre suppose qu'une fonction quelconque peul toujours être développée en séries de

sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Or, de toutes 1<^ preuves de celle proposition, la plus complète esl celle qui consiste à résoudre en effet une fonction donnée en une telle série dont on détermine les coefficients.

Dans les recherches auxquelles on applique les équations aux différences partielles, il est souvent facile de trouver des solutions dont la somme compose une intégrale plus générale; mais l'emploi de ces intégrales exigeait que l'on en déterminât l'étendue, et que l'on pût distinguer clairement les cas où elles représentent l'intégrale générale de ceux où elles n'en comprennent qu'une partie. Il était nécessaire surtout d'assigner les valeurs des constantes, et c'est dans la recherche des coefficients que consiste la difficulté de l'application. Il est remarquable que l'on puisse exprimer par des séries convergentes et, comme on le verra dans la suite, par des intégrales définies les ordonnées des lignes et des surfaces qui ne sont point assujetties à une loi continue. On voit par là qu'il est nécessaire d'admettre dans l'analyse des fonctions qui ont des valeurs égales, toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données, tandis qu'en substituant dans ces deux fondions, au lieu de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle, les résultats des deux substitutions ne sont point les mêmes. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes différentes qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours et offrent une espèce singulière d'osculation finie. Ces considérations prennent leur origine dans le calcul des équations aux différences partielles; elles jettent un nouveau jour sur ce calcul et serviront à en faciliter l'usage dans les théories physiques.

Les deux équations générales qui expriment le développement d'une fonction quelconque en cosinus ou en sinus d'arcs multiples donnent lieu à plusieurs remarques qui font connaître le véritable sens de ces théorèmes et en dirigent l'application.