CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 223 S . dans la série

COS3 • . ÎOS \ r -)-. . .,

"ii pend négative la valeur de .»-. la série demeure la même, el elle conserve aussi sa valeur si l'on augmente la variable d'un multiple quelconque de la circonférence -•-. Ainsi dans l'équation

l - / / COSXf/j

/ - osaj dx ■ cos ; i / p(.r) cos3 i da •

la fonction z, csl périodique el représentée par une courbe composée "I une multitude d'arcs égaux, donl chacun correspond sur l'axe des abscisses à un intervalle égal à :>.-.. De plus chacun de ces arcs esl composé de deux branches symétriques qui répondenl aux deux moitiés de l'intervalle égal à 2-.

Supposons donc que l'on trace une ligne d'une forme quelc [ue 09a

el qui réponde à un intervalle égal à - fig. 9). Si l'on demande une série de la forme

a h cosj ccos2 j ,/r,,*-; .- . . telle que, en meltanl au lieu de x une valeur quelconque \ comprise

entre o el -. on trouve pour la valeur de la série celle «le l'ordonnée X9, il - 1.1 facile de résoudre cette question : car les coefficients donnés par l'équation v sonl

/ - ' ■ ■ I - ' cos cda - j <p . .,,-.,,/,

Les diverses intégrales, qui sonl prises de a : <» ,;i x - -, avanl (<

226 I HÉORIE DE I. V Cil \l l.l R.

jours des valeurs mesurables comme celle de l'aire Oocnz, ci !;i série formée par ces coefficients étanl toujours convergente, il n'y a aucune forme de la ligne çpoa pour laquelle l'ordonnée K<p ne soit exactement représentée par le développement

L'arc osa est entièrement arbitraire; mais il n'en esl pas de même dos autres parties de la ligne; elles sont au contraire déterminées : ainsi l'are sa qui répond à l'intervalle de o à — ir est le même que l'are z,a; et l'are total aoa se répète pour les parties consécutives de l'axe dont la longueur est 2-.

On peut l'aire varier dans l'équation (v) les limites des intégrales. Si elles étaient prises depuis x = — tî jusqu'il x = r.. le résultat serait douhle; il le serait aussi si les limites des intégrales étaient o el 2ir,

au lieu d'être o et -. Nous désignons en général par le signe f

l'intégrale qui commence lorsque la variable équivaut à a, et qui est complète lorsque la variable équivaut à b; et nous écrirons l'équation (n) sous la forme suivante :

[-©(#) = - / cp(x)da; -+- cu> ./ / ;,i ./■ 1 eus./ •/■/./• ) 2 2 * -'o • ', '

/ -\- cos 2 jrf o(./-) cos ■>./ <// cosSx f p(x)cos3xdjc

Au lieu de prendre les intégrales depuis .r— o jusqu'à .r = -, on pourrait les prendre depuis x = o jusqu'à r = 2-. ou depuis x = — tî jusqu'à .r = -n; mais, dans chacun de ces deux cas, il faut écrire au premier membre irç (x) au lieu de ^o(.r).

Dans l'équation qui donne le développement d'une fonction quelconque en sinus d'ares multiples, la série change de signe el conserve la même valeur absolue lorsque la variable .r devient négative; elle