CHAPITRE III SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI
donc
on en conclut
el F)= — ti/(-
ce que la construction rend d'ailleurs évident.
Am^i li"> (lcii\ fonctions s i el 1 c . donl la somme équivaut à I' i , peuvent être développées l'une en cosinus d'arcs multiples el l'autre en sinus.
Si l'on applique a la première fonction l'équation v . el à la seconde l'équation y. . en prenant dans l'une el l'autre les intégrales depuis x = — tz jusqu'à x = tc, el si l'on ajoute les deux résultats, <>n
am a
- I I . : i ■ [ OS ' / - ■ ......,■,//■■. OS :.'■ I p| i COS ! '<!■•■
-m / / \ i \ sinxda >\i\ >.r I -l(.r) sin> i .//
les intégrales doivent être prises depuis x = — u jusqu'à .<• = -. Il
faut remarquer maintenant que dans l'intégrale / ■1 v <•<>>. vd.v on
I rrait, sans en changer la valeur, mettre ç x ■+- ty(x) au lieu de
s r : car la fonction cosa; étant c posée, à droite <i à gauche de
l'axe des c, de deux parties semblables, et la fonction i x étant au
contraire formée de deux parties opposées, l'intégrale f \>(x cos cda
est nulle. Il en serait de même si l'on mettait cos2# ou cos3;r et en général cosix au lieu de cos c, i étant un des n imbres entiers depuis <>
jusqu'à I infini. Ainsi l'intégrale / i cosixdx est la même que
l'intégrale
j | -, ,,,.,.,,./< ou / F ' cos» ' '/' :
on reconnaîtra aussi que l'intégrale / i i s'inixdx est égale à l'in-
tégrale / Y(x) sinixdx-, parce que l'intégrale
/ ç i "./ i sin ia <( '
est nulle. On obtient par là l'équation suivante, qui sert à développer une fonction quelconque en une suite formée de sinus et de cosinus
d'arcs multiples :
l 77 F (./•)= - / F(*)d»+ cos.r f F{x)cosxclx-+-cos2x / F(#)cos2;rrf.r / + siiKr / F( ' ) si n./w/.r 4- siir»./- j Y > > sin2a ■'/./■
La fonction F (a?) qui entre dans cette équation est représentée par une ligne II FF, d'une forme quelconque. L'arc F'F'FF, qui repond à l'intervalle de — r. à -+- t., est arbitraire; toutes les autres parties de la ligne sont déterminées, et l'arc F'F'FF est répète dans tous les intervalles consécutifs dont la longueur est 2~. Nous ferons des applications fréquentes de ce théorème et des équations précédentes [m
et(n).
Si l'on suppose dans l'équation [p) que la fonction Y i est représentée, dans l'intervalle de — t. à -+--, par une ligne composée de deux arcs égaux symétriquement placés, tous les ternies qui contiennent les sinus s'évanouiront et l'on trouvera l'équation m . Si, au contraire, la ligne qui représente la fonction donnée F (a?) est formée de deux arcs égaux de situation opposée, tous les termes qui ne contiennent point les sinus disparaissent et l'on trouve l'équation («). En assujettissant la fonction F x a d'autres conditions, on trouverait d'autres résultais.
On écrira dans l'équation générale [p), au lieu de la variable a?, la quantité 7-> ce désignant une autre variable, et ir la longueur de l'intervalle dans lequel csi placé l'arc qui représente F x : celle fond-
CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 231 lion sera ' que nous désignerons par,/ » . Les limites, qui
etaienl c — it et x = ir, seront fournies par les équations - — -
— = ■•'• on aura d •. après la substitution,
I ' ' ' - / cos " ■ /, cosa / lcosa "■,,.
Sin - / ' ■ ■ MU ■/' ,/r Mil ■ —■ j J , | .,11 ! - ' r/a .
loules les intégrales doivent être prises, comme la première, de
- /• ;, .,•:-!,•. si l'on l'ail la même substitution dans les équations / ci y. . on aura
M sin* I
ii ■ /
J\j-) sin2 — ,/./•
Dans la première équation I* , les intégrales | rraienl être prises
dePuis c = o jusqu'à a ■,./■. ci, m représentanl par X l'intervalle
total >/. on ailla
\ / -'" x 'i ' sin i . /
sin - x' J, ..
11 résulte de toul ce qui a été démontré dan. cette Section concerin.nl le développement des fonctions en séries trigonométriques que, N| ''"" propose une fonction / « donl la valeur esl représentée, dan. "" '«ton-aile déterminé, depuis c o jusqu'à c -. \. par l'ordonnée
l.)-2 THÉORIE DE L V CH M. Kl li.
d'une ligne courbe tracée arbitrairement, <>n pourra toujours développer cette fonction en une série qui ne contiendra que les sinus ou les cosinus, ou les sinus et cosinus des arcs multiples, ou les seuls osinus des multiples impairs. On emploiera, pour connaître les termes de ces séries, les équations (M), N , P).
On ne peut résoudre entièrement les questions fondamentales de la théorie de la chaleur, sans réduire à celle forme les fonctions qui représentent l'étal initial des températures.
Ces séries trigonométriques, ordonnées selon les cosinus ou les sinus des multiples de l'arc, appartiennent à l'analyse élémentaire comme les séries dont les termes contiennent les puissances successives de la variable. Les coefficients dv^ séries trigonométriques sont des aires définies, et ceux des séries de puissances sont des fonctions données par la dififérentiation, et dans lesquelles on attribue aussi à la variable une valeur définie. Nous aurions à ajouter plusieurs remarques concernant l'usage et les propriétés des séries trigonométriques; nous nous bornerons à énoncer brièvement celles qui ont un rapport plus direct avec la théorie dont nous nous occupons.
i° Les séries ordonnées selon les cosinus ou les sinus des arcs multiples sont toujours convergentes, c'est-à-dire qu'en donnant à la variable une valeur quelconque non imaginaire, la somme des ternies converge de plus en plus vers une seule limite fixe, qui esl la valeur de la fonction développée;
2° Si l'on a l'expression de la fonction /(•*') qui répond à une série
donnée
a ■ b ciis.c -f- CC0S2X -+- dco&3x -t- ecos4-r -+-. • -,
et celle d'une autre fonction z>'.v l, dont le développement donné esl a -+- [3 cos.r -t- y cos 2/ + 0 cos 3 x -+- £ cos 1 /+...,
il est facile de trouver en termes réels la somme de la série composée a y. -+- b j3 -+- c y -+- do -+■ et + . . . ,
CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. LU et, plus généralement, celle de la série '
'ix icos ■ os ■ -/'< cos I 1 1 - i ...
que l'on forme en comparant terme ii terme les deux séries données. Cette remarque s'applique à un nombre quelconque de séries.
i la série /> ait. 2X\ qui donne !<■ développemenl d'une fonction I' • en une suite de sinus el de cosinus d'arcs multiples peul être mise sous rciir forme
| cosj I F (a.) cos a da. -f-cosax /F(« C0S2«rfa
-I | / I' y da+l
I -t-sin j l F(«) -in a '/y — si m » ./• / !•',;/ 1 h ii satfa-f-...,
tant mie nouvelle variable qui disparaît après les intégrations. On a
aonc
+ C< - COS2 . cos 'y. -»- COS3./ cos
I / I lai i
\ ■ sin a sin a + sin »j?sin 20e h -in > esin >a-t-,
DU
1 / F(a)rfa - COS — a)-HC0S2(j -- y.) -+- cos3(a.- — a) -+ ... .
Donc, en désignant par
i C0Si(jJ — y. )
la somme de la série précédente, prise depuis i i jusqu'à i x>, mi Si l'on se propos ilculer l'intégr
on trouvera aisément, en i par leurs développements l ex
a% - ja// -4- . . .
i équivaut au r par Foui G. D.
aura '
THÉORIE DE LA CH M. Kl R.
|. , i [ I Ki yu/Jj-: 2cosi(J *)]■
L'expression - -h 2 cosi(# — a) représente une fonction de x el de a, telle que, si on la multiplie par une fonction quelconque F % et si, après avoir écrit (h., on intègre entre les limites y.= — ~ et a = -, on aura changé la fonction proposée F(a) en une pareille fonction de a?, multipliée par la demi-circonférence ir. On verra, par la suite, quelle
est la nature de ces quantités, telles que l- -t~ 2 cosr .r - y. , qui jouissent de la propriété que l'on vient d'énoncer.
4° Si, dans les équations (M), (N) et (P) (art. 234) qui, étant divisées parr, donnent le développement d'une fonction f(x), on suppose que l'intervalle r devient infiniment grand, chaque terme de la série est un élément infiniment petit dune intégrale; la somme de la série est alors représentée par une intégrale définie. Lorsque les corps ont des dimensions déterminées, les fonctions arbitraires qui représentent les températures initiales et qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles doivent être développées en séries analogues à celles des équations (M), (N), (P); mais ces mêmes fonctions prennent la forme des intégrales définies lorsque les dimensions des
i i i Plus exactement. F(.r) est la limite de l'expression
COSÏ{x — a) -+- ~
I / FO) (h. 2 COS/(x a) -h I
lorsque p augmente indéfiniment. La série
- -h COS(.r — *) -+- COS2(.r — x) — . . . ■i
avant une somme indéterminée, ou ne peul attacher aucun sens à l'expression
> cos/(.r — y. I
considérée par Fourier.
