CHAPITRE III. SOLIDE RECTANGl LAIRE IM'IM

corps ne sonl poinl déterminées, comme mi l'expliquera dans la suite de cel Ouvrage, en traitant de la diffusion libre de la chaleur.

M'i'l ICA.T10S v IV QUESTION ICTUBLLI

Nnii- pouvons maintenant résoudre d'une manière générale la question de la propagation tic la chaleur dans une lame rectangulaire H \i donl la base A fig. 7 bis esl constamment échauffée, pendant que ses deux arêtes infinies M et C sonl retenues à la température o.

b is .

Supposons que la température initiale de tous les points de la table BAC soil nulle, mais que celle de chaque point m de l'arête A soit couservée par une cause extérieure quelconque, et que cette valeur fix< soil une Ponction/ c de la distance du poinl m a l'extrémité Ode l'arête \. dont la longueur totale est /•; suit v la température constante du poinl M donl les coordonnées sonl y el x\ il s'agil <le dél miner v en fonction <le y el x. La valeur

-ill ///./

satisfait à l'équation

THÉORIE DE I. \ Cil \U:i R.

a et /// sont des quantités quelconques. Si l'on prend m = i-, e( que

e soit un nombre entier, la valeur ae ' sini- - deviendra nulle

lorsque a? sera égal à zéro ou à /•, quelle que soil d'ailleurs la valeur

de y. On pourra donc prendre, pour une valeur plus générale de v,

~ > ici 7tV

" — . T..r 2 . -.>' - 3— . 7TJ

c z= a,e sin h <?., c sin 2 h a, e sin 3 — - -h. . . .

Si l'on suppose y nulle, la valeur de e sera, d'après l'hypothèse, égale à la fonction connue f(x). On aura donc

TZX

f(x) = ^1 si" — — 1- «2 sin 2 — -+- a3sin 3 " - + «4sin4-

On déterminera les coefficients a,, a.2, a3, <74, a,, ... au moyen de l'équation (M) et, en les substituant dans la valeur de v, on aura

~ r • kx r . t.x -î-f . -.>■ r .. . . - /■ .

= e sin — - / /(./jsin — dx + e sma- — I j(x)s\ïï'2 — dr

+ e '' sin 3 — / /(.r)sin.'> dx

En supposant dans l'équation précédente /• = -, on aura la même solution sous une forme plus simple, savoir

nu

1 - 7:1' = e-^ sin.r / f(x) sinxdx -he~2-v' sin?../' / /(.r) sin ixda [ + t'-v sin.'î./' f /(x)siaSxdji

y.) dx (e v si n/ sin a + e~iys\n2X sin 2 a H- e ' >\u Sx sin 3x -f-...);

a est uni' nouvelle variable qui disparait après l'intégration. Si Ton détermine la somme de cette série cl si l'on en fait la substitution dans