III
équation dont le second membre se réduit ;i o toutes les fois que I arc // n'est pas nul; tandis que, dans ce cas, on trouvera // pour la
■m mt
valeur de • < >n ;i donc, en général,
or, les valeurs initiales des variables étant a, l>. c, il il est néces
e que l'on ail na, = a-hb-\ c ■■>/ ■-, ...: il en résulte que le ter :onstanl qui doit entrer dans chacune des valeurs générales de
c'est-à-dire la température m ivenne entre toutes les températures initiales.
Quant aux valeurs générales de -/. ,'i. y 7, elles sont exprimées
•ili'l
THÉORIE DE L\ CH M. Kl 15.
par les équations suivantes :
i , h ii // — sin ou -«„' -,,iN "
y fa // + C +...)-+- «1 : e
SÏn «' — sill i)//' - 2 - lilaV»
bt
Mil //
sin« — sin ou
sin a
Slll 2 « — SI II II - ,„' -'"^ "
sin «
, sin ' « — Mil II' 2 - rslnV«-
sin«
sin 2 //"—sin //" - ^i«v«"
sin //
sin 3m — sin 2 // -* — ' «nY»
) -+- ax — - e '"
si ti //
, sin 3 m' — sin 2 m' — » — /«inv»'
sin //
sin3 //" — sin >//' -s — « sinVn
Mil //
sin«« — sin (« — Oh -2,^' * ■ ) + «i —
sin //
, sin //// - sin i // — i | // -»- ' sîn^ "
Oi - : — - e
Slll//
-in //// "- sin(« — i)u" -*- '-"^ "
Ci : s «
slll //
où h, u', n", . . . désignent 1rs multiples de :'
Pour déterminer les constantes a,, b,, c,, dx il faut considérer
l'état initial du système. En effet, lorsque le temps csi nul, les valeurs
i II M'ITIU". I\ . Mi Ml l.l.l. 265
de 2. j. Yi '. • ■ ■ doivenl être égales à </. 6, c, </. . . .: on aura donc
// équations semblables pour déterminer les n constantes. Les qua
tites
sinu sinou, sinau sinu, sin3u sinau sinnu — sin(/3 i)u
peuvent être i n*l itj nef- de cette manière
A sinou, À sinu, A sinau, .... Asin(/> -i)u;
les équations propres à déterminer les constantes sont, en représentant par C la température moyenne initiale.
Asinu
A sinu'
A -in > n , A sinau c =C-+-ai- t- //,
-in //
, A -m \ n , A -m .'mi
sinu
-in - //
sinu"
-in ; n
-II)
-II
-in//
Les quantités n,, btt ct, d el C riant déterminées par ces
équations, on connaît entièrement les valeurs des variables k, 3, y, c z.
On peut effectuer, en général, l'élimination des inconnues dans
ces équations et déterminer les valeurs des quantités a{% bt,c,,dt
même lorsque le nombre des équations est infini; on emploiera ce procédé d'élimination dans les article.- suivants.
En examinant les équations qui donnent le- valeurs générales îles
variables y., i. •; t. on voit que, le temps venant à augmenter, les
termes qui se succèdent dans la valeur de chaque variable décroissent très inégalement; car, les valeurs de u, u', u", u \ ... étant
266 THEORIE DE LA Cil \LLI l!.
les coefficients sin \ u, sin Va , sinVw", sin Vu", . • . deviennenl de plus en plus grands. Si l'on suppose que le temps / est infini, le premier terme de chaque valeur subsiste seul, et la température <le chacune
îles masses devient égale à la température moyenne -(a + /; + c+...).
Lorsque le temps t augmente continuellement, chacun dr* termes de la valeur d'une des variables diminue proportionnellement aux
puissances successives d'une fraction qui est : pour le deuxième
— 2 — slnVn . . — 2 -«In Vu?
terme, e '" ; pour le troisième terme, e '" ; et ainsi de suite. La plus grande de ces fractions étant celle qui répond à la moindre des valeurs de u, il s'ensuit que, pour connaître la loi que suivent les derniers changements de température, on ne doit considérer que les deux premiers termes; car tous les autres deviennent incomparablement plus petits à mesure que le temps t augmente. Les dernières variations de température ce, (3, y, à, ... sont donc exprimées par les équations suivantes :
I , , , . S III» — Sino» -2 — «sinV«
n simi
E „ 1, , Sin2« — Sin« — 2 — fsinVn
// s\nu
I , , , SI [10 M — S1I12W -S — /sinVn
y = - a + i + c + (/ + ... +fl, r— - e '" -h . . . .
Si l'on divise la demi-circonférence en un nombre // de parties égales et que, ayant abaissé les sinus, on prenne les différences entre deux sinus consécutifs, ces n différences seront proportionnelles aux
— 2 — t SlnVn .
coefficients de e "l ou aux seconds termes des valeurs de y., p,
y, ..., <7. C'est pourquoi les dernières valeurs de a, [3, y t sont
telles que les différences entre ces températures finales et la température moyenne initiale - a -h b-hc -h...) sont toujours proportionnelles
Cil MM I Kl. l\ VU Ml LU.. Î67
aux différences des sinus consécutifs. De quelque manière que les masses aient d'abord été échauffées, la distribution de la chaleur s'opère à la fin suivant une loi constante. Si l'on mesurait les températures dans les derniers instants où elles diffèrent peu de la température moyenne, on observerait que la différence entre la température d'une masse quelconque el cette température moyenne décroît continuellement comme les puissances successives de la même fraction ; et, on comparant entre elles le> tempérai ures des différentes masses prises pour un même instant, on venait que ces différences entre les températures actuelles et la température moyenne sont proportionnelles aux différences «les sinus consécutifs, la demi-circonférence étant divisée en un nombre n de parties égales.
Si l'on suppose que les masses qui se communiquent la chaleur sont en moulue infini, <m trouve pour l'arc u une valeur infiniment petite : alors les différences des sinus consécutifs, prises dans le cercle, sont proportionnelles aux cosinus «les arcs correspondants; car on a
S\D mu — s i 1 1 ( /;/ — \)u
: =cos//"/
lorsque l'are // »>i infiniment petit. Dans ce cas, les quantités dont les températures, prises an même instant, diffèrent <le la température moyenne à laquelle elles doivent toutes parvenir sont proportionnelles aux cosinus qui correspondent aux différents points de la circonférence divisée en nue infinité de parties égales. Si les masses qui -.■ transmettent la chaleur sont situées à distances égales les unes des autres sur le périmètre de la demircirconférence -, le cosinus de l'arc a l'extrémité duquel nue masse quelconque est placée est la mesure de la quantité dont la température «le cette masse diffère encore de la température moyenne. Ainsi le corps pince nu milieu de ton- les autres <'-t celui qui parvient le plu- promptement à cette température moyenne; ceux qui se trouvent situés d'un même cote du milieu mit
tous nue température excédante, et qui surpasse d'autant plus la température moyenne qu'ils sont plus éloignés du milieu; les corps qui sont placés de l'autre côté ont tous une température moindre que la température moyenne, et ils s'en écartent autant que ceux du côté
opposé, mais dans un sens contraire. Enfin ces différences, soit positives, soit négatives, décroissent toutes en même temps et proportionnellement aux puissances successives de la même fraction, en sorte qu'elles ne cessent pas d'être représentées au même instant par les valeurs des cosinus d'une même demi-circonférence. Telle est, en général et si l'on en excepte les cas singuliers, la loi à laquelle sont assujetties les dernières températures. L'état initial du système ne change point ces résultats.
Nous allons présentement traiter une troisième question du même genre que les précédentes, et dont la solution nous fournira plusieurs
remarques utiles.
On suppose un nombre n de masses prismatiques égales, placées à des distances égales sur la circonférence d'un cercle. Tous ces corps, qui jouissent d'une conducibilité parfaite, ont actuellement des températures connues, différentes pour chacun d'eux; ils ne laissent échapper à leur surface aucune partie de la chaleur qu'ils contiennent. Une tranche infiniment mince se sépare de la première masse pour se réunir ii la seconde, qui est placée vers la droite; dans le même temps, une tranche parallèle se sépare de la seconde masse, en se portant de gauche ii droite, et se joint à la troisième: il en est de même de toutes les autres masses, de chacune desquelles une tranche infiniment mince se sépare au même instant et se joint à la masse suivante. Enfin, les mêmes tranches reviennent immédiatement après et se réunissent aux corps dont elles avaient été détachées. On suppose que la chaleur se propage entre les masses au moyen de ces mouvements alternatifs, qui s'accomplissent deux fois pendant chaque instant d'une égale durée: il s'agit de trouver suivant quelle loi les températures varient: c'està-dire que, les valeurs initiales des températures étant données, il faut
Cil \m I I i 1 . I\ . VRM1LLE 269
connaître, après un temps quelconque, la nouvelle température «le chacune des masses.
On désignera par a,, ait a3 a, <i„ les températures im-
tiales don( les valeurs sonl arbitraires, et par a,, a2, a3 y., a„
les valeurs de ces mêmes températures après le temps écoulé /. Il esl \i^il>|r que chacune des quantités se esl une fonction «lu temps / el de
toute- le> valeurs initiales at, a2, a3 <t„ : ce sonl ces Ponctions
qu'il s'agit de déterminer.
(»ii représentera parw la masse infiniment petite de la tranche qui se porte d'un corps à l'autre. On remarquera en premier lieu que, lorsque les tranches ont été séparées des masses dont elles faisaient partie et mises respectivement en contact avec les masses placées vers la droite, les quantités de chaleur contenues dans les différents corps sonl
