III - ■ x

m — û))a„+ ua„-i;

en divisant chacune de ces ((nautiles de chaleur par la masse m, on aura, pour les nouvelles valeurs des températures,

c'est-à-dire que, pour trouver le nouvel état de la température après le

27() THÉORIE DE LA Cil \I.KI R.

premier contact, il faut ajouter à la valeur qu'elle avait auparavant le

produit de — par l'excès de la température du corps donl la tranche

s'est séparée sur celle (lu corps auquel elle s'est jointe. On trouvera. par la même règle, que les températures, après le second contact, sont

*1 + Ti"~~ Xi'+m 7'-~ a'^'

Le temps étant divisé en instants égaux, on désignera pardi la durée de cet instant et, si l'on suppose que co soit contenu dans un nombre K d'unités de masse autant de fois que dt est contenu dans l'unité de

temps, on aura w = Kdl. En appelant c/a,, dy.,, dct3 dec, dy.„

les accroissements infiniment petits que reçoivent pendant l'instant dt les températures a,, su, ..., a,, ..., a„, on aura les équations différentielles suivantes :

dy.x — — dt{y.lt — 22, + y.-,),

da*= — dl (y, — 2 y., ■+■ y.,), ni

r/y, =z — cil (y.( , — 2 Xj -+- a, , | .

d<x„= — dt{y.„\— 2y.H -+- a,).

CH kPITRE l\ . IRMILLE. -271

Pou i résoudre ces équations, on supposera en premier lieu, suivant la méthode connue,

Les quantités bit bÈ, b I>„ sonl des constantes indéterminées,

ainsi que l'exposanl //. Il esl facile de voir que ces valeurs de a,, k21 y. y. satisfont aux équations différentielles, si l'on ;i les conditions suivantes :

1^ 6„,/i = - 1 6n , — 2 &„, + &tt),

Soil

on aura, en commençant par la dernière équation,

0 - nier d'une maoièn synthétique le raisonnement par lequel Fou-

rier obtient le-> difl ••me. Substituons â g la variable » définie

272 THEORIE DE L \ Cil \U:i R.

Il en résulte que l'on peu! prendre pour b, , b2, b3, ..., bL b„

les n sinus consécutifs que l'on obtient en divisant la circonférence entière i~ en un nombre n de parties égales. En effet, en appelanl u

l'arc -i -> les quantités

-iih>//. siniu, sin2u, ..., sin(/j — i)u,

(jiii sont en nombre //, appartiennent, comme on le sait, à nue série récurrente dont l'échelle de relation a deux termes, savoir 2 cos u et — 1, en sorte que l'on a toujours la condition

sin/« = 2 cos « sin(i — \)u — sin(* — 2)11. On prendra donc pour bit b2, b3, ..., A„ ..., b„ les quantités

sino;/, sini//, sina?/, ..., sin(n — i)«,

par la relation

q -+- 2 = 2 cos u ;

il sera toujours possible de trouver deux constantes A et B, telles que l'on ait

b{ = Acoso/< -4- B sino « = A.

h., = A cos 1 « -+- B sin 1 « ;

alors les équations précédentes, employées à partir de la troisième, nous donneront 63 = A cos 2 « -+- B sin >//.

bi = Acos(* — i)m 4- B sin(« — i)«,

bn = Acos(// — i)« -+- H sin| « — i)m.

Les ileux premières équations nous donneraient ensuite

6,= A cos//// -f-Bsin////.

bi = A cos (« -+- i)u ■+- B sin(« -4- i)u.

En égalant les deux expressions différentes auxquelles on est ainsi conduit pour bt et pour b2, on trouve

. nu f . nu nu 1

sm — Asm — — B cos — =<>.

■ "" I . • " ' r> n -t- 2 "1 -m A sin « — Bcos— — « | = o.

Comme les constantes A et B ne sont pas nulles simultanément, on reconnaîtra aisément

i II kPITRE 1\ , M! M II. Il 273

et l'on aura ensuite

q > < COS "

q • sin \ n. b -in m .

On ;i mis précédemment la lettre y au lieu de > en sorte que la valeur

•le // est -m \ -; en substituanl dan- les équations ces valeurs de

l>, ri de /'. on aura

/ -ii v —

^, - sinon e '"

-in i '/ e mii su e

a„ = sin(/i — i " e

que ces deux équations ne peuvent être vérifiées que si I on .1

sin 0, u = t — ?

signant un nombre entier. A chaque valeur de u correspoinlfiii une infinité «le -\ sternes de valeurs pour 6], lu b„ qui son! donnés par les Formules

b\ — Âcosou l! sino

lu = Vcos 1 11 H sin 1 a.

I>„ - \ 1 • 1- . 1 // M sini u — 1)«,

B £ - arbitra le résultat de Fourici

Pour 1 le nombre des - - es distincts que l'on obtient ainsi, il est

de voir qi -! impair ol égal à ù 1, la valeur 0 de i donne un système d<

lotions pour £|, 6j />„-.- - i donnent chacune deux systèmes

- lulions; quant aux valeurs de i supérieures .1 X, elles doivent être négligées, car on - i - altérer une solution, changer i en n i. Il j a donc en (ont

ts, linéairement indépendants, de solutions particulii

Dans - ù n est pair, les valeurs o, - de /donnent chacune une solution; les valeurs

1 . > - 1 en donnent chacnne deux : ce qui fait encore » s\ Blêmes distincts de solu-

THEORIE DE L \ Cil M. Kl lï.

Ces dernières équations ne fournissent qu'une solution très particulière de la question proposée : car, si l'on suppose / = o, on aura pour les valeurs initiales de a,, a.,, a.,, ..., a.„ les quantités sinou, siniw, sin^//, ..., sin(n — j ) « qui. en général, diflfèrenl «les valeurs données

a,, a.,, a. , an\ niais la solution précédente mérite d'être remarquée

parce qu'elle exprime, comme on le verra parla suite, une circonstance qui appartient à tous les cas possibles, et représente les dernières variations des températures. On voit par cette solution que, si les températures initiales a, , a.,, a3, . . ., an étaient proportionnelles aux sinus

sino — , sini — > S1112 — , •••> sin(« — i) — > // ii n il

elles demeureraient continuellement proportionnelles à ces mêmes sinus et l'on aurait les équations

h— — 2 — sin > — •

C'est pourquoi, si les masses qui sont placées à distances égales sur la circonférence du cercle avaient des températures initiales proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur le diamètre qui passe par le premier point, les températures varieraient avec le temps en demeurant proportionnelles à ces perpendiculaires et ces températures diminueraient toutes it la fois comme les termes d'une même progres-

1» . ,. 2 TU 1 î • i ■ — 2— sin\ —

sion géométrique dont la raison est la traction e

Pour formel- la solution générale, on remarquera en premierlieu que l'on pourrait prendre pour b{, h.,, bs b„ les // cosinus correspondants aux points de division de la circonférence partagée en un

(Il \l'l I RE 1\ . M! M I I.I.I.. 275

nombre n de parties égales. Ces quantités

-<>//. COS i //. COS IH cos(aj l)«,

dans lesquelles u désigne l'arc '• forment aussi une série récurrente dont l'échelle <le relation a les deux tenues 2 cosa et — 1 ; c'esl pourquoi l'on pourrai! prendre, pour satisfaire aux équations différentielles, les équations suivantes :