B3COS

,:=AjSin(« — 1)0 — - -! \asin(«- i)i ■+A3sin(/i — ')2 —

-+■■ B,cos(« — 1)0 — '- -■ ll.,r»s(«-ili- I! cuv(/, m» — n 11 n

i II M'I I Kl. I\ . U! Ml U.K. -2SI

Dan- ces équations, « 1 < > 1 1 1 le nombre est //, les quantités inconnues

son) V . I* . \:. H,. A . H : il s'agil d'effectuer les éliminations el

de trouver les valeurs de ces indéterminées. <ui remarquera d'abord que la même indéterminée a un multiplicateur différent dans chaque équation, el que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus croissants en progression arithmétique, ou celle At'> cosinus des mêmes aies: elle peut êtie représentée par

-iu<>//, sin i u, sin au sin(/a — i)u,

ou par

cosou, cosiu, cosau cos(/> — i)«.

L'arc // csl égal a / ' m l'indéterminée donl il s'agit esl A, , ou I! ,. Cela posé, pour déterminer l'inconnue A,., au moyen des équations précédentes, il faul comparer a la suite des équations la série des multiplicateurs -in<>//. siniu, sinsu, sin W/ sin(/i — i)// et multiplier chaque équation par le terme correspondant de la série. Si l'on prend la somme des équations ainsi multipliées, on éliminera toutes les inconnues, excepté celle qu'il s'agil de déterminer. Il en sera de même si l'on veut trouver la valeur de H, , ; il faudra multiplier chaque équation par le multiplicateur de B , dan- cette même équation, ci pn mire ensuite la s me de toutes le- équations. Il s'agit de démontrer qu'en opérant de celte manière un fera disparaître en effel des équations toutes le- inconnues, excepté une seule. Pour cela, il sulfil

de taire voir :

i° Que, -i l'on multiplie terme a terme le- deux suites

-iii"". sin i u, -in > '/ sin(/i i u,

-iii" . -in i i , -in iv sin( n — i

la somme de- produits

sinou sinoc + sini usinit* + siuaasinai ... sin(/j r)« sin(/i in

•28-2 THÉORIE DE LA Cil ILEUR.

sera nulle, excepté lorsque les arcs u el v seront les mêmes, chacun de ces arcs étant d'ailleurs supposé un multiple d'une partie de la circon-

férenee é<<ale à — :; n

2° Que, si l'on multiplie terme à terme les deux séries

COSOU, COS I U, COS 2 M, ..., COS(/i — l)//,

nisor, cos i e, C0S2C, ..., cos(n — i)c,

la somme de> produits sera nulle, excepté le cas où // est égal à v\ 3° Que, si l'on multiplie terme à terme les deux suites

sinow, sinw/, siiif//. ..., sin(n — i)u, cosoc, cos i e, cos2c, ..., cos(« — i)c.

la somme des produits sera toujours nulle.

On désignera par q l'are — > par pq l arc //, et par vq l'arc v, u. et v étant des nombres entiers positifs moindres que n. Le produit de deux termes correspondants des deux premières séries sera représenté par

>w\j ix<l sinj'vg ou

icosy(fA— v)q— -cosj\fx + y)g,

la lettre / désignant un terme quelconque de la suite o, i, -i, .... /, ..., n — i. Or il est facile de prouver que, si l'on donne à j ses // valeurs successives depuis o jusqu'à n — i, la somme

-coso(/j. — v)q -+- -cosi (y — -j)q -+- -cosa(fi — v)q-\-. ..+ -cos(« — i) (p. — v)^i aura une valeur nulle, et qu'il en sera de même de la suite

-COSO(-|^ I- v)</ -1- - COSI (fA-H V)^ -+- -COS2(/JL -+- V) 7 -h. . . -+- -COS(/J — 1 )([X — V If/.

(Il M» l'I lit. I\ . V KM II. II.. 283

En effet, en représentant par s l'arc [x — v q, qui est un multiple de • .m aura la Mute récurrente

l OS la, COS l« COS \ii m ^,

donl la somme est nulle. Pour le faire voir, <m représentera celle somme par S et, les deux termes de l'échelle de relation étant 2 cosa fi — 1 . on multipliera successivement les deux membres de l'équation

isia cos2«-+-. . .-4- cos(«-

par 1. 2 cos a et par 1; puis, ajoutant les imi^ équations, on connaîtra que les termes intermédiaires se détruisent d'eux-mêmes d'après la nature de la série récurrente. Si l'on remarque maintenant que, na étant un multiple de la circonférence entière, les quantités

cos(/i — - 3)a, sonl respectivement les mêmes que celles que l'on désignerait par

cos y . COS sa), cos(— 3a), . . .,

■ m en conclura

i S ■ sS rusa = o;

ainsi la somme cherchée S doit en général être nulle ').

On trouvera de même que la somme des termes dus au développement île cosy ■). ■ ■< q est nulle. Il faul excepter le cas où l'arc représenté par y. serait nul : on aurait alors

1 — COSa =0;

c'est-à-dire que les arcs u et v seraient les mêmes. Dans ce cas, le tenue cosy" •/. - v y donne encore un développement dont la somme

l>.- l'identité

- / cosl 1 — 1 )a — cos (i — a)a

-* f H » l : - les valeurs de '. on déduit généralement

^. [COSl'g — 21 iv cosl/ - viv|

284 THÉORIE DE L V Cil tLEUR.

est nulle ; mais la quantité cosy'([j. — v)q fournil des termes égaux

dont chacun ;i pour valeur ; donc la somme des produits tenue à terme

des deux premières séries est -n.

On trouvera de la même' manière la valeur de la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou ScosyiA^ cosj'vq; en effet, «m substituera à

COSJlxq COSy'vy

la quantité

- cos/ ( fjL — -■>)(] -\ — cosy ( [j. -+- v ) y el l'on en conclura, comme dans le cas précédent, que