cosyi> — v)g

est nulle, excepté le cas où ut. = v. Il suit de là que la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou

2 cosy' y. y cosy v y,

est toujours nulle lorsque les arcs // et c sont différents, et égale ii

ou

(a) Ncosà — 2C0Sa\ cos(/ — i)a-+- 7 cos(i — î)% = o.

Dans le cas traité par Fourier, //* est un multiple de ■>.- el l'on a, par conséquent,

> COSJa — ^COS(« — l)se = COS(rt — 1 )oc — COs( — oc) =0.

7 cos(i — 1 )a — 2, cos(* — 2) a = cosi n — 2)01 — cos(— 211= o. 0 0

Les trois sommes qui Ggurent dans l'équation (a) sont, donc égales et, (Miles remplaçant par leur valeur commune S. on trouve bien

aS(i — cosa) = 0. (il).

(Il \n l RE l\ . IRMILLE. 283

' // lorsque u v. Il ne faul plus que distinguer les cas où les mes \xq el va sonl lous les deux nuls; alors on a zéro pour la valeur de

i >i ii / v 7 sinj'vq,

qui désigne la somme des deux produits terme à terme des deux premières séries. Il n'en esl pas de même de la somme

i COSj'ixq cosj'vq,

prise dans le cas où y. y el vq sonl nuls; cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries esl évidemment égale à n. Quant ii la somme

elle esl nulle dans tous les cas, ce qu'il esl facile de reconnaître par l'analyse précédente.

La comparaison de ces séries fournil doue les conséquences suivantes. Si l'on partage la circonférence 2iï en un nombre // de parties égales, que l'on prenne un arc // composé d'un nombre entier y. de ces

parties, el que l'on marque les extrémités des ;m-> u, iu, 3a, \u

a — i //, il résulte .|c> propriétés connues des quantités trigonométriques que les quantités

sinou, simu, sinau sin(« — i)//,

ou celles-ci

cosou, cosiu, cosau, ..., cos(/t — \)u

tonnent une série récurrente périodique, composée de n termes; si

l'on compare une de ces deux séries, correspondante à un arc «ou u. — >

a une série correspondante a un autre arc v ou v el qu on multiplie

terme à terme les deux séries comparées, la somme des produits sera nulle lorsque les arcs u el p seronl différents. Si les arcs // el v sonl

286 THÉORIE DE LA CH \LKl R.

égaux, la somme des produits est égale à ' n lorsque l'on compare deux séries de sinus, ou lorsque l'on compare deux séries de cosinus; mais celle somme esl nulle, si Ton compare une série de sinus à une série de cosinus. Si l'on suppose nuls les arcs u et vt il est manifeste que la somme des produits terme à terme est nulle toutes les fois que l'une des deux séries est formée de sinus et lorsqu'elles le sont toutes ledeux; mais la somme des produits est n si les deux séries composées sonl formées de cosinus. En général, la somme des produits terme à terme est égale ko, ou -n, OU n; au reste, les formules connue- conduiraient directement aux mêmes résultats. On les présente ici comme des conséquences évidentes des théorèmes élémentaires de la Trigono-

métrie.

Il est aisé d'effectuer au moyen de ces remarques l'élimination des inconnues dans les équations précédentes. L'indéterminée A, disparait d'elle-même comme ayant des coefficients nuls; pour trouver B,, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de B, dans cette même équation et Ton ajoutera toutes les équations ainsi multipliées; on trouvera

Pour déterminer A2, on multipliera les deux membres de chaque équation parle coefficient de A2 dans cette équation et, en désignant l'arc 'UL par qf on aura, après avoir ajouté les équations,

a, sinoçrH- a^sinig + «3 sin 2 </ -+-. . .-t- ans'm{n — i)q-- -«A,.

On aura pareillement, pour déterminer B2,

«[COS07 + ttocosi? + a3C0S2£-K . . + an cos(« — 0?= ,-",}2-

En général, on trouvera chaque indéterminée en multipliant les deux membres de chaque équation par le coefficient de l'indéterminée

i il vi'i n;i. i\ . u; mi i.i.k. -js:

dans cette même équation el «-n ajoutant les produits. On parvienl ;iinsi aux résultats >ui\ ants :

\ -.siii".i -mi. i- sina. i H. . .= > a/Sin(< i) i

// |>, a. COSO. 1 COS I . I COS 2. 1 -h. . .= >,«/COSU — I) 1

u \ a, sino.a sin i i sina.Q ... ^ " mhh i)a

- n\\. a, coso. a a. cos î .a - -t- <v3 co> ».a -+...= > a(cos(* — 1)2 — >

u \, a. sino.o -m 1 . ■ a -m ■ . .. ■ -t-. . .= 7 ,01 si 11 ( / — 1 I