I. - f- a, COS 1 h a-,cos?..5 — ~>a,cosu

Il faut, pour trouver le développement indiqué par le signe >\ donner à 1 ses n valeurs successives 1 , :>, 3 ne\ prendre la si m une : un

aura en général

- «A 2 a -iip 1 i)(y 1 1 — ,

// 1; > a cos 1 1 / 1) —

Si I*mii donne au nombre entier y toutes les valeurs successives 1, •. \.... qu'il peut avoir, ces deux formules fourniront les équations, el >i l'on développe le terme sous le signe ^ en donnant a 1 ses n valeurs 1 . 2, 3, ...//. on aura les valeurs des inconnues A,, B,, A2, B2, \ I! . ...;et les équations m art. 267 seronl entièremenl résolues.

Il faut maintenant substituer les valeurs connues des coefficients

\ . I! . \ . B . \ . li . ... dans les équations y. art. 266 . et l'on

288 THEORIE DE LA Cil U.Kl lî.

trouvera les valeurs suivantes :

y, = V N,e'«'nv<7< ■+- Nj e' »'nV'/i -+-

x2 = N0-f-[MiSingrI H -N, <•«>- v i I ï',,nV?' 4-[MîSinjj — N2 çi.s*/, ] :'5i,lV/: —...,

x, = N0 + | M i sin ■>>/, X, ri)S'2 7i]î'sill,'/i + [ M2 sin2?2 + Nj co>2<y2 ]-.'~i:,v7: — ...

xy = N0 | .M, sin (y — 1)7, -+- Ni cos(y — \)</{\i'st"x'/< -+- [M2 sin(/ — i)qt-i N2 cosi y - 1 "/, \i'^<^'/: /.., — N„ | Mi sin(/2 — 1)71 -+- N'i cos(« — \)qt ]e'*lnV?i 4- [ .\l2 sini // - 1 \qt - Y> cos( « l)^j |:'*"|V'/.

Dans ces équations, on a posé

Ni'= • ■ Vfl,-cos(t — i)y,, Mi= : Va/sio(i— 0<y,,

tl ia // —»

N2 = - > «z/COs(t — i)y2s M2- - V a,sin(i — i)?2, N3= - ^gt-COs(t— i)q3, M3= - > fli sini/ — i)y3.

Les équations que l'on vient de rapporter renferment la solution complète de la question proposée; elle est représentée par cette équation gêné i'a le

*j rt2d"'"*~ |7,'s"l(y,)l -j2à"''*in(l -')« — + -cos(y-i)i 2^«iC08(i— 1)1— Je "•

J -t- -sin(/ — 1)2—- > fl,sin(j — 1)2 1 — cos(y — 1)2 — > a.cosu — 1)2 — r '"

/ // ^- n n a JU 11 j

dans laquelle il n'entre que des quantités connues, savoir f/,, r/., <7:!, ..., an, (jui sont les températures initiales; K mesure de la conducibilité, m valeur de la masse, n nombre des masses échauffées, et / le temps écoulé.

CB vn l Kl. l\ . vis m ll.l.K. 289

Il résulte de toute l'analyse précédente que, si plusieurs corps égaux, en nombre //. sont rangés circulairement, et qu'ayant reçu des températures initiales quelconques, ils viennent à se communiquer la chaleur comme on l'a supposé, la masse de chaque corps étant désignée par ///. le temps par /, et par K un coefficient constant, la température variable de chacune tirs masses, qui doit être une fonction des quantités /. m et K et de toutes les températures initiales, est donnée par l'équation générale : . Il faul d'abord mettre au lieu dey le numéro qui indique la place du corps dont on veut connaître la température, savoir i pour le premier corps, > pour le second, et ainsi de suite: ensuite il restera la lettre t qui entre sous le signe — ; on

donnera ai ses n valeurs successives i . 2, >, '1 et l'on prendra la

somme de tous les terme-. Quant au nombre des termes qui entrent dans cette équation, il doit y en avoir autant que l'on trouve de sinus

verses différents lorsque la suite ^r> arcs est o — > 1 — > 2 — > •••; c'est-à-dire que, le nombre n étant égal à 2). 4- 1 ou à 2X selon qu'il est impair ou pair, le nombre des termes qui entrent dans l'équation générale est toujours X -+- 1.

Pour donner un exemple de l'application de cette formule, nous supposerons que la première masse est la seule que l'on ait d'abord

échauffée, en sorte que les températures initiales a,, a2 a„ soient

toutes nulles, excepté la première. Il est visible que la quantité de chaleur contenue dans la première masse se distribuera successivement entre toutes les autres. Or la loi de cette communication de la chaleur sera exprimée par l'équation suivante :

1 ! . ■ K i,ia\ 1 l~

<xiz=-a,-k- a,cos(/ — 1)1 - '" "

h . , i- 2 !7T — — tt\n\

-\ — a, cos(/ — 1 . • - e '" "

a.coslj — i)3 — e

290 THÉORIE DE L V (Il V.LEUR.

Si la seconde masse était seule échauffée el que les températures a, , a ., an fussent nulles, on aurait

sin(/ — i) i - mu i + eos(/ — i)i — cos i -

sin ( / — i ) 2 — sin 2 \- cos ( / — 1)2 — cos 2

— t — (slnVi

et, si l'on supposait que toutes les températures initiales fussent nulles, excepté a, et a2, on trouverait pour la valeur de ay la somme des valeurs trouvées dans chacune des deux hypothèses précédentes. En général, il est facile de conclure de l'équation générale (e) de l'article 273 que, pour trouver la loi suivant laquelle les quantités initiales de chaleur se répartissent entre les masses, on peut considérer séparément les cas où les températures initiales seraient nulles, excepté une seule. On supposera que la quantité de chaleur contenue dans une des masses se communique à toutes les autres, en regardant ces dernières comme affectées de températures nulles; et, ayant t'ait cette hypothèse pour chacune des masses en particulier, à raison de la chaleur initiale qu'elle a reçue, on connaîtra quelle est, après un temps donné, la température de chacun des corps, en ajoutant toutes les températures que ce même corps a dû recevoir dans chacune des hypothèses précédentes.

Si, dans l'équation générale (s) qui donne la valeur de %j, on suppose que le temps a une valeur infinie, on trouvera

en sorte que chacune des niasses aura acquis la température moyenne.

résultat qui est évident par lui-même.

A mesure que la valeur du temps augmente, le premier tenue V a, devient de plus en plus grand par l'apport au suivant, ou à la

Cil \l'l I Kl. I\ . tRMILLE. -2!>l

somme des suivants. Il en esl de même du second par rapport aux termes <|tii le suivent : et, lorsque le temps a acquis une valeur considérable, la valeur de y. e>i représentée sans erreur sensible par l'équation suivante :

-+- COS(/ — I )—■>(! ,COSl I i

// Mm* //

Eu désignant par <i et A les coefficients de sin / i <i <l<

cos / i — > et par w la fraction <

.on au l'a

a sin (y — i)— ■+- b cos i / — i)

Les quantités a et b sont constantes, c'est-à-dire indépendantes du temps et de la lettre y qui indique le rang de la masse dont la température variable est %j\ ces quantités sont les mêmes pour toutes 1rs masses. La différence de la température variable y, à la température finale ► a, décroit donc, pour chacune des masses, proportionnellement aux puissances successives de la fraction oj. Chacun des corps tend, de plus en plus, à acquérir la température finale ^V,-. et la dif-

férence entre cette dernière limite et la température variable <lu même corps linit toujours par décroître comme les puissances successives d'une fraction. Cette fraction est la même, quel que soit le corps dont ■ ■H considère les changements <lc température; le coefficient de <■•/. ou

a sin " b cos «y,

en désignant par uy l'arc j — i)- — > peut être mis sous la forme

V sin '/ B .

••H prenant A et B tels que l'on ait

a Icos B, b \ -m K.

ll.)l THEORIE DE L \ CH M. Kl I!

Si Ton voulait déterminer le coefficient de tu' qui se rapporte aux corps suivants, dont la température est ay+J, xJ+2, y.j^:i il faudrait

ajouter à //. l'arc — > ou 2 — '-, et ainsi de suite; c'est-à-dire que l'on a •' J a 11 1

les équations

ay+., V a,— A sin ( B -t- uy +1—0,'+...,

ay-4 j N «,-= A sin ( B + //, + 2 — j w' -t- . . . ,

a/+î V a{ = A sin f B + «y+ 3 — Ja)' + . . .,

On voit par ces équations que les dernières différences entre les températures actuelles et les températures finales sont représentées par les équations précédentes, en ne conservant que le premier terme du second membre de chaque équation. Ces dernières différences varient donc selon la loi suivante : si l'on ne considère qu'un seul corps, la différence variable dont il s'agit, c'est-à-dire l'excès de la température actuelle du corps sur la température finale et commune, diminue comme les puissances successives d'une fraction, le temps augmentant par parties égales; et si l'on compare, pour un même instant, la température de tous les corps, la différence dont il s'agit varie proportionnellement aux sinus successifs de la circonférence divisée en parties égales. La température d'un même corps, prise à divers instants successifs égaux, est représentée par les ordonnées d'une logarithmique dont l'axe est divisé en parties égales, et la température de chacun de ces corps, prise au même instant pour tous, est représentée par les ordonnées du cercle dont la circonférence est divisée en parties égales. Il est facile de voir, comme on l'a remarqué plus haut, que, si les températures initiales sont telles que les différences de ces températures à la température moyenne ou finale soient proportion-

en vimi ni: i\ . vumii.i.i:. 293

nelies aux sinus successifs des arcs multiple-, ces différences diminueronl i < mi i t*s ii la fois sms cesser d'être proportionnelles aux mêmes sinus. Cette loi, m elle régnait entre les températures initiales, ne serait point troublée par l'action réciproque des corps el se conserverai! jusqu'à ce qu'ils eussent tous acquis une température commune. La différence diminuerait pour chaque corps comme les puissances successives d'une même fraction. Telle est la loi la plus simple à laquelle puisse être assujettie la communication de la chaleur entre une suite de masses égales. Lorsque cette loi est établie entre les températures initiales, elle se conserve d'elle-même; et, lorsqu'elle ne règne point entre les températures initiales, c'est-à-dire lorsque les différences de ces températures à la température moyenne ne sont pas proportionnelles aux sinus successifs des ans multiples, la loi dont il s'agit tend toujours ii s'établir; et le système des températures variables finît

bientôt par se conf Ire sensiblement avec celui qui dépend des

ordonnées du cercle el de celles de la logarithmique.

Puisque les dernières différences entre l'excès de la température d'un corps sur la température moyenne sont proportionnelles aux sinus de l'are ii l'extrémité duquel le corps est placé, il s'ensuit que, si l'on désigne deux corps placés aux extrémités du même diamètre, la température du premier surpassera la température moyenne el constante autant que cette température constante surpassera celle du second corps. C'est pourquoi, si l'on prend à chaque instant la somme des températures de deux masses dont la situation esl opposée, on trouvera une somme constante; et cette somme aura la même valeur pour deux masses quelconques placées aux extrémités d'un même diamètre.

Les formules qui représentenl les température-, variables des masses disjointes s'appliquent facilement à la propagation de la chaleur dans les corps continus. Pour en donner un exemple remarquable, non- déterminerons le mouvemenl de la chaleur dans une armillc au moyen de l'équation générale qui a été rapportée précédemment.

m THÉORIE DE LA Cil \u:i 15.

On supposera que le nombre n des masses croît successivement, et qu'en même temps la longueur de chaque niasse décroît dans le même rapport, afin que la longueur du système ait une valeur constant»' égale it 2-. Ainsi le nombre n des massçs sera successivement ■;., nu \, on «s,

ou i(>, à l'infini, et chacune des niasses sera -, ou -> ou y> ou^> ••••

Il est nécessaire de supposer aussi que la facilité avec laquelle la chaleur se transmet augmente dans le même rapport que le nombre des masses m; ainsi la quantité que représente K lorsqu'il n'y a que deux masses devient double lorsqu'il y en a quatre, quadruple s'il y en a huit, et ainsi de suite. En désignant par g cette quantité, on voit que

le nombre K devra être successivement remplacé par g, 2g, !\g,

Si l'on passe maintenant à la supposition du corps continu, on écrira, au lieu de ///, valeur de chaque masse infiniment petite, l'élément dx\ au lieu du nombre n des masses, on mettra -r-; au lieu de K, on

mettra g- ou -—• ° 2 dx

Quant aux températures initiales a,, a.,, . . ., e/„, elles dépendent «le la valeur de l'arc .r et, en considérant ces températures comme les états successifs d'une même variable, la valeur générale <i, représente une fonction arbitraire de r. L'indice i sera alors remplacé par -t~ • A l'égard des quantités a,, y..,, ..., a„, ces températures sont des variables qui dépendent des deux quantités .r et /. En désignant par v cette variable, on aura v = <p(#, t). L'indicey, qui marque la place que l'un des corps occupe, sera remplacé par -y-- Ainsi,' pour appliquer l'analyse précédente au cas où l'on aurait une infinité de tranches, formant un corps continu dont la forme serait celle d'une armille, il faudra substituer aux quantités

n , m, K, n.. i, ai], j

celles qui leur correspondent, savoir

dx> d'- dx> •/",' dit' '"•/'- dl-

Cil tPITRE [V. — V 15 Ml U.K. 295

On fera ces substitutions «huis l'équation ; de l'article 2~'-> el l'on écrira -dx' au lieu Je sinVd!», et t ety'au lieu de i i ety - i. Le premier terme Va^devienl la valeur de l'intégrale— /,/,'' éprise depuis c o jusqu'à a? = 2ir; la quantité sin (y — i) — devienl siny" dx

■ m -in r; la valeur de COS / i esl l'os.r: celle de

esl

-2,«.sm(*->

^ I i \ -ill /•//.;•,

l'intégrale étant prise depuis x = o j ns«j n'a x = i~, et celle de

-\ fl cosit — I) —

ii — n

- / y'(.r) COSxr/' ,

est

'intégrale étant prise entre les mêmes limites. ( )n obtient par ces substitutions l'équation

. / f I i "l ' -III X j /{■

/ i sinj; 'I i cos c / / '■./ i cos i da

-in - / | / / -in ? / ■ <l.r -\- COS2./- / f(a COS 2 a // <•

et. représentant par /■ la quantité gît, on aura

■ =îJ "

in / f Ji -m / il i COS ' / /l ' I COS ' '/'