I -in - / / / / -m '////.- -f- cos •>..!• f f{a ZOSixda

296 THÉORIE DE LA Cil VLEUR.

Cette solution est la même que celle qui a été rapportée dans la Section précédente (p. 244); elle donne lieu à diverses remarques :

1" Il ne serait pas nécessaire de recourir à l'analyse des équations aux différences partielles pour obtenir l'équation générale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille. On pourrait résoudre la question pour un nombre déterminé de corps et supposer ensuite ce nombre infini. Cette méthode de calcul a une clarté qui lui est propre, et qui dirige les premières recherches. Il est facile ensuite de passer à une méthode plus concise, dont la marche se trouve naturellement indiquée. On voit d'abord que la distinction des valeurs particulières qui, satisfaisant à l'équation aux différences partielles, composent la valeur générale dérive de la règle connue pour l'intégration des équations différentielles linéaires dont les coefficients sont constants. Cette distinction est d'ailleurs fondée, comme on l'a vu plus haut, sur les conditions physiques de la question.

20 Pour passer du cas des masses disjointes à celui d'un corps continu, nous avons supposé que le coefficient K augmentait proportionnellement au nombre n des masses. Ce changement continuel du nombre K est une suite de ce que nous avons démontré précédemment, savoir que la quantité de chaleur qui s'écoule entre deux tranches d'un

même prisme est proportionnelle à la valeur de -r— > x désignant l'ai

scisse qui répond à la section et v la température. Au reste, si l'on ne supposait point que le coefficient K augmente proportionnellement au nombre des masses et que l'on retint une valeur constante pour ce coefficient, on trouverait, en faisant n infini, un résultat contraire à celui qu'on observe dans les corps continus. La d illusion de la chaleur serait infiniment lente et, de quelque manière que la masse eût été échauffée, la température d'un point ne subirait aucun changement sensible pendant un temps déterminé, ce qui e>l opposé aux faits. Toutes les fois que l'on a recours à la considération d'un nombre infini

i II U'ITIiK l\ . vRMILLE. 297

de masses séparées qui se transmettent la chaleur el que l'on veu( passer au cas des corps continus, il Paul attribuer au coeffîcienl K, qui mesure la vitesse » 1 < • la transmission, une valeur proportionnelle au nombre des masses infiniment petites qui composenl le corps donne. Si, dans la dernière équation que nous venons d'obtenir pour exprimer la valeur de c, ou o x, t , on suppose / = o, il sera nécessaire que l'équation représente l'étal initial; on aura donc par cette voie l'équation /> que nous avons obtenue précédemment (p. 23o , -avoir :

) = -- / f(x)da cosj f /(x) cosxdx -+- cosaa? / f(x)cos2xdx +. ,

* 0 • ii

sinj f f(x)sinxdi sin ■ i / f(x)s\ïi2xda

Ainsi ce théorème qui donne, entre des limites assignées, le développement d'une fonction arbitraire en série de sinus el de cosinus d'an- multiples se déduit des règles élémentaires du calcul. On trouve ici l'origine du procédé que nous avons employé pour faire disparaître par des intégrations successives tous les coefficients, excepte un seul, dans l'équation

p(d •/ a, COSJ -f- a2cos2.r -+- a3cos3x 4-. . . fr,sina j- btsiB2x ■+■ b3 sin3r +. . .;

ces intégrations correspondent aux éliminations des diverses inconnues dans les équations m p. 280 et suiv. et l'on reconnaît clairement par cette comparaison des deux méthodes que l'équation 15 page sui-

V.ilite a lieu pOUr tontes les \ ;i li'il I- de r cu|llpli-e- entre 0 el 21C,

sans que l'on soit fondé à l'appliquer aux valeur- de x qui excèdent - limites.

La fonction ç v,t qui satisfait à la question, el dont la valeur est déterminée par l'équation E p. 295 . peut être exprimée comme il F. ifl

298 THÉORIE DE L \ Cil \LKl R.

suit :

■ - f i /■, / 1 ff (a.) dot -\- [2 s'\nx f/(x) sin a c?a + 2 cos# f /( a) cos a rfa]c ' '

- [2 sin >.///'( a) sin ; z af« - ic.0S2x f /(a) C0S2 a doc]e

-h [2s'\n3.r ff(x)s\i\> y. '/y. 1 cos3.r //(a) cos3arfa]e

OU

2 71 01 './•, / ) = / /(a) rfa[i -t- (2 sin.r si 11 a + 2 cos.r cosa)<?/''

-f- (2 si 112 x si 112 a -f- 2 cos2.r cos2 2)e~2:/'' 4- (2 sin 3 j? sin 3 a -+- 2 cos3.r cos3x)e -***'

— f /(*)[' + 2- cosi(x — x)e~i''kt'\ doc.

Le signe ^ affecte le nombre i, et indique que la somme doit être prise de 1= 1 ii i = 2c. On peut aussi comprendre le premier terme 1 sous ce siffne D et l'on a

/(a) V cos/(a — / • if ''■' <h..

Il faut alors donner à 1 toutes ses valeurs en nombres entiers depuis -«jusqu'à -h^c; c'est ce que l'on a indiqué en écrivant les limites x et -hoc auprès du signet; l'une de ces valeurs de i est o. telle est l'expression la plus concise de la solution. Pour développer le second membre de l'équation, on supposera i= o et ensuite i= t, 2, 3, 1, ...;on doublera chaque résultat, excepté le premier qui répond à/=o. Lorsque t est nul, il est nécessaire que la fonction o r. / représente l'état initial, dans lequel les températures sont égales à /(.r); on aura donc l'équation identique (')

/U)Vcos/(a-.rW*.

On a joint aux signes f et — les indices des limites entre lesquelles (') Voir, au sujet do celle formule, la Noie de l'article 235, p. 23 j. G. 1>.

(Il M'I I RE [V. — \ 15 M II. II.. 299

l'intégrale el la somme doivent être prises. Ce théorème a lieu généralement, quelle que soi i la forme de la fonction / x dans l'intervalle de .r = o il x = a - : il est le même nue celui qui est exprimé par les équations qui donnent le développement de F x p. 233 . el nous verrons dans la suite * | ii4* l'on peut démontrer immédiatement la vérité de l'équation | H . indépendamment «les considérations précédentes.

Il est facile de reconnaître que la question n'admel aucune solution différente de celle que donne l'équation (E) (p. 2g5 . En effet, la fonction o r. / satisfait entièrement a la question et, d'après la nature «le l'équation différentielle

aucune autre fonction ne peut jouir de cette même propriété. Pour s'en convaincre, il Tant considérer que, le premier état du solide étant

représenté par une équation donnée c, = f ..r), la fluxion ' '' e^t con-

nue. puiM|u elle équivaut a k • Ainsi, en désignant par v2i ou

v. — ' i//, la température au commencement du second instant, on

déduira la valeur de p, de l'état initial et de l'équation différentielle. on connaîtra donc de la même manière les valeurs c., r;, vs, .. ., vn de la température d'un point quelconque du solide au commencement de chaque instant. <>r la fonction s x,t satisfait à l'état initial, puisque l'on a

De plu- elle satisfait aii->i a l'équation différentielle; par conséquent,

étant différentiée, elle donnerait pour -ttj ''"'>",,'> • • • les mêmes va-

leurs que celles qui résulteraient de l'application successive de cette équation différentielle « . Donc >i. dans la fonction ç. x, t . on donne

:H)0 THÉORIE de la <:ii \\.\a r.

successivement à / les valeurs <>, o>, 20J, 3w, 4W< • ••» w désignanl l'élément du temps, on trouvera les mêmes valeurs vlt c2, vtt c., . . . que l'on aurait déduites de l'état initial et de l'application continuelle de

l'équation (a). Donc toute fonction 'j»(.r, /) qui satisfait à l'équation différentielle et ii l'état initial se confond nécessairement avec la fonction o(x-, t); car ces fonctions donneront l'une et l'autre une même fonction de x, si l'on y suppose successivement / = o, a>, 2w, 3o), .... ko, .... On voit par là qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution de la question et que, si l'on découvre d'une manière quelconque une fonction '\>(x, /) qui satisfasse à l'équation différentielle et à l'état initial, on esl assuré qu'elle est la môme que la précédente donnée par l'équation (E).

Cette même remarque s'applique à toutes les recherches qui ont pour objet le mouvement varié de la chaleur; elle suit évidemment de la forme même de l'équation générale.

C'est par la même raison que l'intégrale de l'équation o ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en x. En effet, lorsqu'une valeur de v est donnée en fonction de x pour une certaine valeur du temps t, il est évident que toutes les autres valeurs de v qui correspondent à un temps quelconque sont déterminées. On peut donc choisir arbitrairement la fonction de x qui correspond à un certain état, et la fonction de deux variables x et t se trouve alors déterminée. 11 n'en est pas de même de l'équation

J-Y dh>

que nous avons employée dans le Chapitre précédent et qui convient au mouvement constant de la chaleur; son intégrale contient deux fonctions arbitraires en x et y, mais on peut ramener cette recherche ;i celle du mouvement varié, en considérant l'état final et permanent comme dérivé de ceux qui le précèdent, et, par conséquent, de l'étal initial qui est donne.

i II IP1TRE l\ VKM II. Il

L'intégrale que nous a\ ons donnée

/ f(oe)2< cosi(a--Jc)

rf«

cuntienl une fonction arbitraire f{ x , et elle a la même étendue que l'intégrale générale, qui ne contient aussi qu'une fonction arbitraire en i : ou plutôt «'Ile esl cette intégrale elle-même, mise sous la forme qui convient à la question. En effet, l'équation

représentant l'étal initial, ri l'équation

représentant l'étal variable qui lui succède, nu voil que, d'après la forme même du solide échauffé, la valeur tic v ne doit point changer lorsqu'on écrit, au lieu de a?, x ± 2iit, t étanl un nombre entier positil quelconque. La fonction

/ /"(3t)2e-':A'cos/(a — .r)

il y.

remplit cette condition; elle représente aussi l'état initial, lorsqu'on

suppose / o; Car ou a alors

'")= — / i 5t)2cost'(« — x)dct,

équation qui a été démontrée précédemment p. ±\\ et 298)6! qu'il est (railleur-" facile de vérifier. Enfin la même fonction satisfait à l'équation différentielle

Ji ' ~dxm-'

Quelle que soit la valeur du temps /. la température v esl donnée par une série très convergente, el les différents termes représentent tous les mouvements partiels qui se composent pour former le mouvement total. A mesure <|u<' le temps augmente, les états partiels de l'ordre le plus élevé s'effacent rapidement el ne conservent aucune influence

302 THEORIE DE L \ CH M. Kl 11

appréciable; en sorte que le nombre des valeurs que l'on doil donner à l'exposant i diminue de plus en plus. Après un certain temps, le système des températures est représenté sensiblement par les termes que l'on trouve en donnant à i les valeurs <>, ± i et ± 2, ou seulement o el ± 1 , ou enfin par le premier de ces termes, qui esl

- / f(*)dct\

il y a doue une relation manifeste entre la forme de la solution et la marche du phénomène physique que l'on a soumis à l'analyse.

Pour parvenir à cette solution, on a considéré d'abord les valeurs simples de la fonction v qui satisfont à l'équation différentielle; on a formé ensuite une valeur qui convient avec l'état initial et qui a, par conséquent, toute la généralité que la question comporte. On pourrait suivie une marche différente et déduire la même solution d'une autre expression de l'intégrale; car, cette solution étant une fois connue, on en transforme aisément les résultats. Si l'on suppose que le diamètre de la section moyenne de l'anneau devient de plus en plus grand à l'infini, la fonction <p(#, t) reçoit, comme on le verra par la suite, une forme différente et se confond avec l'intégrale qui contient une seule fonction arbitraire sous le signe d'intégrale définie. On pourrait aus>i appliquer cette dernière intégrale à la question actuelle; mais, si l'on se bornait à celte application, on n'aurait qu'une connaissance très imparfaite du phénomène : car les valeurs des températures ne seraient pas exprimées par des séries convergentes et l'on ne distinguerait point les états qui se succèdent à mesure que le temps augmente. Il faudrait donc attribuer à la fonction qui représente l'état initial la forme périodique que la question suppose; mais, en modifiant ainsi celte intégrale, on n'aurait point d'autre résultat que celui-ci :

I '( x)le~r'u C0St( y. — x) dot.

«H M'I I lîl. I\

Mi Ml II. K.

On passe aisémenl de cette dernière équation à l'intégrale donl il - ,11. comme nous Pavons prouvé daus le Mémoire qui a précédé cel Ouvrage. Il n'est pas moins facile d'obtenir l'équation en partant de l'intégrale elle-même. Ces transformations rendent de plus en plus manifeste l'accord des résultats du calcul; mais elles n'ajoutent rien à la théorie et ne constituent nullement une analyse différente.

On examinera dans un «le- Chapitres suivants les différentes formes que peul recevoir l'intégrale <le l'équation a . les rapports qu'elles ont entre elles et les cas où elles doivent être employées.

Pour former celle qui exprime le mouvement de la chaleur dans une ai-mille, il était nécessaire de résoudre une fonction arbitraire en une série de sinus et cosinus d'ares multiples; les nombres qui affectent la variable sous les signes sinus et cosinus smii le< nombres naturels i.

\, | Dans la question suivante, on réduit encore la fonction

arbitraire en une série de miiiis: mais [es coefficients de la variable ^.ui> le signe sinus ne sont plus le< nombres i . 2, 3, \, . . .; ces coefficients satisfont à une équation déterminée, dont toutes les racines sont irrationnelles et en nombre infini.