Chapitre II, Section II, article 117 (p. 90); elle consiste à intégrer

l'équation

dv , / dîv 2 dv

en sorte que l'intégrale satisfasse, lorsque x = X, à la condition

dv .

-d-+hv = o;

k désigne le rapport pr- et h désigne le rapport =r des deux conducibi-

lités; v est la température que l'on observerait, après le temps écoulé/, dans une couche sphérique dont le rayon est x; X est le rayon de la sphère; v est une fonction de x et /qui équivaut à F,.r) lorsqu'on suitpose / = o. La fonction F(.r) est donnée; elle représente l'état initial el arbitraire du solide.

Si Ton fait y — çx, y étant une nouvelle indéterminée, on aura,

après les substitutions.,

dy , d*y m

~dt " Tïx1'

ainsi il faut intégrer cette dernière équation, et l'on prendra ensuite

i il \i'i | RE \ . SPHÈRE SOLIDE. 303

v = -• On cherchera en premier lieu quelles sonl les valeurs 1rs plus

simples que l'on puisse attribuer à y, ensuite on en formera une valeur générale qui satisfera en même temps à l'équation différentielle, à l'équation à la surface el à l'étal initial. Il sera facile de reconnaître que, lorsque ces trois conditions sonl remplies, la solution esl complète el que l'on ne pourrai! en trouver aucune autre.

Soii y = e""n. u étanl une fonction de •»■. on aura

ePu

mu

On voil d'abord que, la valeur de t devenanl infinie, celle de v doil

être nulle dans tous les points, puisque le corps esl entièremenl

refroidi. On ne peul donc prendre pour m qu'une quantité négative.

Or A a une valeur numérique positive; on en conclut que la valeur de

u dépend des arcs de cercle, <-c qui résulte de la nature connue de

I équation mu - k , ■ bon

u Icosn^ l'> -in//./ :

on aura cette condition

Ainsi l'on peul exprimer une valeur particulière de v par l'équa-

|lM||

\ < os " ' B sïnnx)',

n esl un nombre positif quelconque, el A el 15 -oui des constantes. On remarquera d'abord que la constante A doil être nulle; car. lorsqu'on Fait i o, la valeur de v, qui exprime la température du centre, ne

peul pas être infinie; d ■ le terme \ cos/i i doil être omis.

I»,. plus, le nombre n ne peul pas être pris arbitrairement. En effet, F. ;''

306 THÉORIE DE LA CHALET l;

si, dans l'équation déterminée

() i on substitue la valeur de v, on trouvera

n x cos n x 4- (/îa; — i) sin nx = o.

Comme l'équation doit avoir lieu à la surface, on y supposera a \ , rayon de la sphère, ce qui donnera

Soit A le nombre i - AX et posons nX -= i, on aura

tange

uo-

„ faut donc trouver un arc s qui, divisé par sa tangente, donne un q tient connu A, et l'on prendra

Il est visible qu'il y a une infinité de tels arcs, qui ont avec leur tan gente un rapport donné; en sorte que l'équation de condition

" X = i - hX

tangnX

a une infinité de racines réelles.

Les constructions sont très propres à faire connaître la nature de

cette équation. Soit {fig. 12)

n = tange

i- 1 . i'.i,.p - «><t l'abscisse et u l'ordonnée, et l'équation d'une ligne dont lare e est l anscisi

soit .

(Il \l'l Nil. \ . SPHÈRE SOLIDE. :!<>7

l'équation d'une droite donl : el u désignent ;mssi les coordonnées. Si on élimine // entre ces deux équations, on a la proposée .* tange. L inconnue i est donc l'abscisse du poinl d'intersection de la courbe el de la droite. Cette ligne courbe esl composée d'une infinité d'arcs; toutes

rilomuv- correspondantes aux abscisses -> — > - sont

infinies, el toutes celles qui répondent aux points 0, ~. 2it, '>-. |-, ... sonl nulles. Pour tracer la droite dont l'équation est u = =- =

/ " i — //\ on forme le cane Oi<di et, portant la quantité hX de ta en h, on joint

Fie- ia.

le poinl h av< c l'origine O. La courbe donl l'équation esl u tange a pour tangente à l'origine une ligne qui divise l'angle droil en deux pari - les, parce que la dernière raison de l'arc à sa tangente

esl i . < m conclut de là que, si '/.. ou i — AX, esl une quantité moindre que l'unité, la droite mOm passe a l'origine au-dessus de la courbe //<>// el qu'il y a un point d'intersection >\r cette droite avec la première branche. Il esl également évidenl que la même droite coupe toutes les

branches ultérieures rnzn, n <-.n Dm h- I 'ci nia lion - - = A a un

1 lan-

nombre infini de racines réelles. La première esl comprise entre o

1 1 '• la deuxième entre ~ et -> la troisième entre ■?.-. el — > el ainsi

de suite. Ces racines approchent extrêmemenl de leurs limites supé Heures lorsque leur rang esl très avancé.

Si l'on veut calculer la valeur d'une de ces racines, par exemple de la première, on peut employer la règle suivante : on écrira les deux équations s = arc tang« et « = J, arc tang« désignant la longueur de l'arc dont la tangente est u. Ensuite, prenant un nombre quelconque pour a, on en conclura, au moyen de la première équation, la valeur de£- on substituera cette valeur dans la seconde équation, et l'on en déduira une autre valeur de u; on substituera cette seconde valeur de u dans la première équation ; on en déduira la valeur de s, qui, au moyen de la seconde équation, fera connaître une troisième valeur de ». Enla substituant dansla première équation, on aura une nouvelle valeur de -. On continuera ainsi de déterminer u par la seconde équation, et i par la première. Cette opération donnera des valeurs de plus en pins approchées de l'inconnue s; la construction suivante rend cette cou-

vergence manifeste.

En effet, si le point u correspond (fig. i3) à la valeur arbitraire que

Fie. i3.

,.„„ attribue à l'ordonnée », et si l'on substitue eette valeur dans la première équation s = arc tang», le point i correspondra a 1 abscisse que l'on aura calculée au moyen de cette équation. Si 1 on substitue cette abscisse .dans la seconde équation » = J. on trouvera une ordonne „ .,„-, correspond au po.nl „'. Substituant «' dans la première

(Il \M I lil \ . SPHERE SOLIDE. 309

équation, on trouvera une abscisse e' qui répond au poinl e'; ensuite cette abs fisse, étanl substituée dans la seconde équation, fera connaître une ordonnée // qui, étanl substituée dans la première, fera connaître une troisième abscisse e#, ainsi de suite à l'infini. C'est-à-dire que, pour représenter l'emploi continuel el alternatif des deux équations précédentes, il faut, par le poinl «, mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le poinl d'intersection e mener la verticale jusqu'à la droite, par le point d'intersection u' mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le poinl d'intersection : mener la verticale jusqu'à la droite, ainsi de ^nitc à l'infini, en s'abaissanl de plus en plus vers le poinl cherché.

La //„■. i ! qui précède représente le cas où l'ordonnée prise arbitrairement pour uest plus grande que celle qui répond an poinl d'intersection. Si l'un choisit an contraire, pour la valeur initiale de //. une quantité plus petite '•! que l'on emploie de la même manière les deux équations

ê = arc (an- ". '/ : y»

mi parviendrai! encore a des valeurs de plus en plus approchées de

Fie- 'i-

l'inconnue. La fig. \ \ fait connaître que, dans ce ■ ;i-. on s'élève continuellement vers !•• point d'intersection en passant par les points u, i,

u- . M" t", ... qui terminent des droites horizontales et verticales. On obtient/en partant d'une valeur de «trop petite, des quantités e, Ei r- E- B», ... qui convergent vers l'inconnue et sont plus petites qu'elle; et Ton obtient, on partant d'une valeur de u trop grande, des quantités qui convergent aussi vers l'inconnue, et dont chacune est plus grande qu'elle. On connaît donc des limites de plus en plus resserrées, entre lesquelles la grandeur cherchée sera toujours comprise. L'une et l'autre approximation sont représentées par la formule

e=...arctang y arc lang

iarctangQarctang \ ) j

Lorsqu'on aura effectué quelques-unes des opérations indiquées, les résultats successifs différeront moins, et l'on sera parvenu à une valeur

approchée de £.

On pourrait se proposer d'appliquer les deux équations

s = arctangw, « — y

dans un ordre différent, en leur donnant cette forme

« = tang£, £ = /«.

On prendrait pour s une valeur arbitraire et, en la substituant dans la première équation, on trouverait la valeur de u qui, étant substituée dans la seconde équation, donnerait une seconde valeur de e; on emploierait ensuite cette nouvelle valeur de e de la même manière qu on a employé la première. Mais il est facile de reconnaître, par les constructions, qu'ensuivant le cours de ces opérations, on s'éloigne de plus en plus du point d'intersection, au lieu de s'en approcher comme dan. le cas précédent. Les valeurs successives de s que l'on obtiendra.1 diminueraient continuellement jusqu'à zéro, ou augmenteraient sans limite. On passerait successivement de i' en u", de u" en t', de e en u . de u' en t, ainsi de suite à l'infini.

t. Il VIT! i;i: \ . SPHÈRE SOLIDE.

li règle que l'on vienl d'exposer pouvant s'appliquer au calcul de chacune des racines de l'équation

— =— =i — hX, lang<

«|ui ont d'ailleurs <l<^ limites données, on doil regarder toutes ces racines comme des nombres connus. Au reste, ilétail seulement nécessaire de se convaincre que l'équation a une infinité de racines réelles On ;i rapporté ici ce procédé d'approximation, parce qu'il esl Fondé sur une construction remarquable qu'on peut employer utilemenl dans plusieurs cas, el qu'il (ail connaître sur-le-champ la nature el les limites des racines; mais l'application qu'on ferait de ce procédé à l'équation dont il s'agit serait beaucoup trop lente; il serait facile de recourir dans la pratique à une autre méthode d'approximation.

On connaît maintenant une forme particulière que l'on peut donner à la fonction vt et qui satisfait à deux conditions de la question. Cette solution esl représentée par l'équation

. ., >\\\ ni v =zae~kn '

Le coefficient a esl un nombre quelconque el le nombre n est tel que

l'un a

Lin. \

= i hX.

Il <•!) résulte que, -i les températures initiales des différentes couches

étaient proportionnelles an quotient - ' • ''Ile- diminueraient toutes

;i l.i fois en conservant entre elles, pendant toute la durée du refroidissement, les rapports qui avaient été établis; el la température de chaque point s'abaisserait comme l'ordonnée d'une logarithmique dont l'abscisse désignerait le temps écoulé. Supposons donc que, Tare i étant 'h\ isé en parties égales >•( pris pour abscisse, on élève en chaque

point de division une ordonnée égale au rapport du sinus H'arc Le

svstè, le toutes ces ordonnées sera celui des températures initiales

Li! faut attribuer aux différentes couches, depuis le centre jusqu a a

surface, le rayon totalX étant divisé en parties égales. L'arc e dont La lon„Qeur représenterait dans cette construction le rayon X ne doit pas

être pris arbitrairement; il est nécessaire que cet arc ait avec sa tangente un rapportdonné. Comme il y a une infinité d'arcs qui satisfont a cette condition, on formerait ainsi une infinité de systèmes des temperatUres initiales, qui peuvent subsister d'eux-mêmes dans la sphère

sans que les rapports des températures changent pendant la durée «lu

refroidissement.

11 ne reste plus qu'à former un état initial quelconque, au moyen d'un certain nombre ou d'une infinité d'états partiels, dont chacun représente un de ces systèmes de températures que nous avons considérés précédemment, et dans lesquels l'ordonnée varie avec la distance,, proportionnellement au quotient du sinus par l'arc. Le mouvement général de la chaleur dans l'intérieur de la sphère sera alors décomposé en autant de mouvements particuliers, dont chacun s accomplira librement comme s'il était seul.

Désignons par »„ »„ »,,... les quantités qni satisfont à 1 équation

tang«X

et que l'on suppose rangées par unir,, en commençant par la plus petite; on formera l'équation générale

Si l'on fait f = o, on aura, pour exprimer l'état initial des températUreS' ^==fl1Binn1* + a18innt*-+-a,sinm* + «fc«inm* + -.-- La question cons.s.e à déterminer, quel que soit l'état initial, les coefficients a„ «2, a» a Supposons donc que Ton eonna.se les

i II M'ITin. \ . SPHÈRE SOLIDE. 313

valeurs de v depuis x o jusqu'à x = X, el représentons ce système de valeurs par F x . on aura '

I >iu/f,' atsin/)jj a3sinn3jr -a4 sin «4 x -+- . . .).

Pour déterminer le coefficient a,, on multipliera les deux membres de l'équation par xûnnxdx, el l'on intégrera depuis & = o jusqu'à .r = \. L'intégrale

/ >in /// X sill //./' rfd7,

prise entre ces limites, est

- ( — m sin «X cos m X n >\u/uX cos « X i .

Si m el n -<uit des nombres choisis parmi 1rs racines //,, n.,, //,,, ... qui satisfont à l'équation

. = i — h X , tangnX

on aura

lang/n \ lang n \ OU

mcosmXsinnX -/isinmXcos/iX = o.

On vit par là que la valeur totale de l'intégrale est nulle: mais il \ a un seul e;i» où cette intégrale ne s'évanouil pas : c'esl lorsque m n. Bile devient alors -et, par l'application des règles connues, elle se réduit a

\ , sin 2 n X,

Fourier va déterminei les coefficieo ...,maisen admettanl que le déve

ssible, quelle que soit la fonction arbitraire Fi i i qui défini! I état initial; - .i un point qui n'esl nullement démonti m, qui .i Bignalé ce défaut de I

I irier. a proposé, dans Ba Théorie de la chaleur, une méthode d'exposition différente, mais qui ne fait que reporter sur an autre point exactement la même difû collé. (,. n

:{|'i THÉORIE DE LA CHALEUR.

Il résulte de lii que, pour avoir la valeur du coefficient a, dans l'équation > , il faul écrire

2 / x Fl ./■) >iu n,x dx — a. (X sin s/iiX ) .

le signe / indiquant que l'on prend l'intégrale depuis x = o jusqu'il .r = X. On aura pareillement

2 / ./ Fi ./■) >iu /^r dx = ajj ( X- — sin 2 //A ) .

On déterminera de même tous les coefficients suivants. Il est aisé de voir que l'intégrale définie

a / ./-Fi v) sin " x dx

a toujours une valeur déterminée, quelle que puisse être la fonction arbitraire F(#). Si cette fonction F(,r) est représentée par l'ordonner variable d'une ligne qu'on aurait tracée d'une manière quelconque, la fonction x¥(x) s'xnnx correspondra aussi à l'ordonnée d'une seconde ligne que l'on construirait facilement au moyen de la première. L'aire terminée par cette dernière ligne entre les abscisses x = o, x = X fera connaître le coefficient ait i étant l'indice du rang de la racine //.

La fonction arbitraire F(a?) entre dans ebaque coefficient sous le signe de l'intégration et donne à la valeur de v toute la généralité que la question exige; on parvient ainsi à l'équation suivante :

sin//,// ./T(./)mii nvi(l, sin//.,./' / ./• Ft./lsin ntxda '-l e-*»î< h ^ e~kn\ '

\ sina/i.X X — — sinan.X