II , 2 II

Telle est la forme que l'on doit donner à l'intégrale générale de l'équation

de __ . d-v 2 dv

<)t il.l -- r ,) i

pour qu'elle représente le mouvement de la chaleur dans la sphère solide. En effet, toutes les conditions de la question seront remplies :

i II \l'l rtîK \ . SPHÈRE SOLIDE. 315

i" L'équation aux différences partielles sera satisfaite.

• La quantité de chaleur qui s'écoule à la surface conviendra à l;i fois ii l'action mutuelle des dernières couches el à l'action de l'air sui la surface, c'est-à-dire que l'équation

à laquelle chacune des parties de la valeur de y satisfait lorsque a \. aura lieu aussi lorsqu'on prendra pour v la somme de toutes ces parties.

i La solution donnée conviendra à l'étal initial lorsqu'on supposera le temps nul.

Les racines //,. rca, n . //.. ... de l'équation

langnX

sont très inégales; d'où l'on conclul que, si la valeur <ln temps écoulé i esl considérable, chaque ternir de la valeur de v est extrêmemenl petit par rapport à celui qui le précède. A mesure que le temps du refroidissement augmente, les dernières parties de la valeur de v cessent d'avoir aucune influence sensible : el ces états partiels et élémentaires qui composent d'abord le mouvemenl général, et qui sont superposés de telle manière qu'ils puissent comprendre l'étal initial, disparaissent presque entièrement, excepté un seul. Dans ce dernier état, les températures des différentes couches décroissent depuis le centre jusqu'à la surface, de même que. dan- le cercle, les rapports du sinus a l'arc décroissent a mesure que cet arc augmente. Cette loi règle naturellement la distribution de la chaleur dan- une sphère solide. Lorsqu'elle commence a subsister, elle se conserve pendant toute la durée du refroidissement. Quelle que soit la fonction F i qui représente l'étal initial, la lui dont il s'agit tend de plu- ru plus a s'établir; n. lorsque le refroidissement a duré quelque temps, on peut supposer qu'elle existe -an- erreur sensible.

316 THEORIE DE LA Cil ILEUR.

Nous appliquerons la solution générale au cas où la sphère, ayant été longtemps plongée dans un liquide, a acquis dans tous ses points une même température Dansée cas, la fonction F(a?) est i, et la détermination des coefficients se réduit à intégrer oesinnecdx, depuis x = o

,, v. -«'14 siiinX — «XcosrtX ^ . .

jusqu a r = \; cette intégrale est - — 2— - • Donc la valeur

d'un coefficient quelconque est exprimée ainsi

2 sin/iX — «XcosrtX

n nX — si n n X cos n X '

le rang du coefficient est déterminé par celui de la racine n; l'équation qui donne ces valeurs de n est

nX cos// \ , ..

sinnX

on trouvera donc

2 hX

n «Xcoséc/iX — cos//\

Il est aisé maintenant de former la valeur générale; elle est donnée par l'équation

e-kn\t sjn n^x <?-*«!< sin /i,x

• \ h 'h{fh X coséc^X — cos/^X) /<2(/i2\coséc«2X — cos/ijX) En désignant par s,, e2, e3, s,, ... les racines de l'équation

-i- = ,-/iX,

langs

et les supposant rangées par ordre en commençant par la plus petite,

remplaçant n{ X, //2X, n3X, . . . par î,, e2, e3, . . ., et mettant an lien de

/• et h leurs valeurs ™ et ^ > on aura, pour exprimer les variations des

températures pendant le refroidissement d'une sphère solide qui avait été uniformément échauffée, l'équation

ihXl S1,1£'X e~<:"^' sine,^ g mTtt

X Êi COSêCej — COS£! ./• £.,C(IMT:., COSEj

I II MMTIll. \ SPHERE SOI. 1IH-. 317

RI M vliol l S l>n BRSI S -in i l l i l -m l llii\

Nous exposerons quelques-unes des conséquences que l'on peul

déduire de la solution précédente. Si l'on suppose que le coefficient //.

qui inouïe la facilité avec laquelle la chaleur passe dans l'air, a une

très petite valeur, <»u que le rayon X de la sphère est tirs petit, la

moindre valeur île i sera extrêmement voisine de zéro, en sorte que

l'équation

— i — h \ lange K

se réduit a

ou, en omettant les puissances supérieures de i.

c ~S K D'un autre ente, la quantité - cose devient, dans la même hypo-

thèse, '- Quant au tenue • il se réduit a i . En faisant ces sub-

stitutions dan- l'équation générale, on aura

— P CDS

On peut remarquer que les termes suivants décroissent lies rapidement en comparaison du premier, parée <|iie la seconde racine //, est beaucoup plu- grande que zéro; en sorte que, si les quantités h ou X

"ut une petite valeur, un doit prendre, pour exprimer les variations

318 THÉORIE DE LA Cil M. Kl |{.

des températures, L'équation

Ainsi les différentes enveloppes sphériques donl le solide est composé conservent une température commune pendant toute la durée du refroidissement. Cette température diminue comme l'ordonnée d'une logarithmique, le temps étant pris pour abscisse; la température initiale, <|iii est i, se réduit après le temps / à

3 CDX

Poni" que la température devienne égale à la fraction —, il faut que la

CDX

valeur de t soit -^-^logvw. Ainsi, pour des sphères de même matière

qui ont des diamètres différents, les temps qu'elles mettent à perdre la moitié, ou même une fraction déterminée de leur chaleur actuelle, lorsque la conducibilité extérieure est extrêmement petite, sont proportionnels à leurs diamètres. Il en est de même des sphères solides dont le rayon est très petit; et l'on trouverait encore le même résultat en attribuante la conducibilité intérieure K une très grande valeur. Il

a lieu, en général, lorsque la quantité -r est très petite. On peut

regarder le rapport ^ comme très petit, lorsque le corps qui se refroidit

est formé d'un liquide continuellement agité que renferme un vase sphérique d'une petite épaisseur. Cette hypothèse est en quelque sorte la même que celle d'une conducibilité parfaite; donc la température décroît suivant la loi exprimée par l'équation

ht

CDX

On voit par ce qui précède que, dans une sphère solide qui se refroidi! depuis longtemps, les températures décroissent, depuis le centre