SPHERE SOLIDE

ne dépendent point de la conducibilité propre, et l'observation de ces temps ne |>tiii rien apprendre sur cette dernière propriété; mais on pourrait la déterminer en mesurant les temps du refroid issemenl dans des vases de différentes épaisseurs

i le que nous avons dit plus haut sur le refroidissement d'une sphère de petite dimension s'applique aux mouvements du thermomètre dans l'air ou dans les liquides. Non- ajouterons les remarques suivantes sur l'usage de cel instrument.

Supposons qu'un thermomètre à mercure soit plongé dans un vase rempli d'eau échauffée, et que ce vase se refroidisse librement dans l'air, dont la température est constante. Il s'agit de trouver la loi des abaissements successifs du thermomètre.

Si l.i température du liquide fiait constante et que le thermomètre \ fût plongé, il changerait de température en s'approchant très promptemenl de celle du liquide. Suit v la température variable indiquée par le thermomètre, c'est-à-dire son élévation au-dessus de la température de l'air; soient // l'élévation de la température «lu liquide au-dessus de celle de l'air, et / le temps correspondant à ces deux valeurs v et //. An commencement de l'instant <lt < j m i va s'écouler, la différence de la température du thermomètre a celle du mercure étant v u, la variable v tend ii diminuer, et elle perdra, dans l'instant <//, une quantité proportionnelle a v u. en -Mite que l'on aura l'équation

d\ =—h(v — u)dt

Pendant le même instant >li, la variahleu tend ;i diminuer, et die perd une quantité proportionnelle a //. en sorte que l'on ;i l'équation

'In Un fit.

I.e coefficient H exprime la vitesse du refroidissement du liquide dans l'air, quantité que l'on peut facilement reconnaître par l'expérience,

322 THÉORIE DE L \ CH VLKl'Il.

el le coefficient // exprime la vitesse avec laquelle le thermomètre se refroidi! dans le liquide. Cette dernière vitesse est beaucoup plus grande que H. On peul pareillement trouver par l'expérience le coefficienl //, en luisant refroidir le thermomètre dans le liquide entretenu à une température constante. Los deux équations

du - — II // dt, d\ ■ — Ai v — h • dt ou

u-ke~xu, 'h' =-/»• + // ie "'

dt

fournissent celle-ci

be-'lt -+- ae~

a et b étant des constantes arbitraires [*). Supposons maintenant que la valeur initiale de v — u soit A, c'est-à-dire que la hauteur du thermomètre surpasse de A la vraie température du liquide au commencement de l'immersion, et que la valeur initiale de u soit E; on déterminera a et b, et l'on aura

HP

v— u — Ae~ht-h " (e-"f— e-'"i.

La quantité v —u est l'erreur du thermomètre, c'est-à-dire la différence qui se trouve entre la température indiquée par le thermomètre et la température réelle du liquide au même instant. Celte différence est variable et l'équation précédente nous fait connaître suivant quelle loi elle tend à décroître. On voit, par l'expression de cette différence e — //, que deux de ses termes, qui contiennent e.-'" , diminuent très rapidement, avec la vitesse qu'on remarquerait dans le thermomètre si on le plongeait dans le liquide à température constante. A l'égard (\i\ terme qui contient e~nt, son décaissement est beaucoup plus lent et s'opère avec la vitesse du refroidissement du vase dans l'air. Il

La valeur de a est liée à celle de A par la relation

HA " h — H" G. D.

i il M'i i i;i: \ . SPHÈRE soi.iih:

résulte de là qu'après un temps bien peu considérable, l'erreur du thermomètre est représentée par le seul terme

//-Il

h- Il

Voici maintenant ce que l'expérience apprend sur les valeurs de 11 et //. On a plongé dans l'eau, à 8°, 3 division octogésimale . un thermomètre qui avait d'abord été échauffé, el il esl descendu dans l'eau de i "' a 10 en six secondes. On a répété plusieurs fois el avec soin cette expérience. *>n trouve, d'après cela, que la valeur de e * esl o,o ">ii'|-j. >i le temps esl compté en minutes; c'est-à-dire que, l'élévation du thermomètre élanl E au commencement d'une minute, elle sera o,o > > > i tEà la tin de cette minute. On trouve au-si

< >n a laissé en même temps se refroidir dans l'air à i 2° un vase de porcelaine, rempli d'eau échauffée à 6o' . La valeur de <■ " dans ce cas a été trouvée de 0,98514, celle de H loge est o,oo65o. On voit par la combien esl petite la valeur de la fraction erh, el que, après une seule inimité, chaque terme multiplié par e ht n'est pas la moitié de la dixmillième partie de ce <|u'il était au commencement de cette minute. On doit donc n'avoir a m- mi égard à ces termes dans |;t valeur de v — u.

Il reste l'équation

II

ou

II

11 II

D'après les valeur- trouvée- pour II el //. on voil que cette dernière

- "Iiienue par l'empli', >rmule donnée .1 l'article pré-

l'on doit faire II

324 THEORIE DE LA Cil VLEI R.

quantité // est plus de six cenl soixante-treize fois plus grande que II. c'est-à-dire que le thermomètre se refroidil dans l'eau plus de >i\ cents lois plus vile que le vase ne se refroidil dan- l'air. Ainsi If terme

esl certainemenl moindre que la six-centième partie de l'élévation

de la température de l'eau au-dessus de celle de l'air, et comme le

terme . .-■ —y es| moindre que la six-centième partie du précédent,

qui est déjà très petit, il s'ensuit que l'équation qu'on doit employer [tour représenter très exactement l'erreur du thermomètre est

En général, si h esl une quantité très grande par rapport à II, on aura toujours l'équation précédente.

L'examen dans lequel on vient d'entrer fournil des conséquences très utiles pour la comparaison des thermomètres.

La température marquée parun thermomètre plongé dans un liquide qui se refroidit est toujours un peu plus forte que celle du liquide. Cet excès, ou erreur du thermomètre, diminue en même temps que l'élévation du thermomètre. On trouverait la quantité de la correction en multipliant l'élévation actuelle// du thermomètre par le rapport de la vitesse M du refroidissement du vase dans l'air à la vitesse // du refroidissement du thermomètre dans le liquide. On pourrait supposer que le thermomètre, lorsqu'il a été plongé dans le liquide, marquait une température inférieure. C'est même ce qui arrive presque toujours, mais cet état ne peut durer; le thermomètre commence à se rapprocher de la température du liquide; en même temps, le liquide se refroidit, «le sorte que le thermomètre passe d'abord à la température même du liquide, ensuite il indique une température extrêmement peu différente et toujours supérieure.

CH kPITH I \ ■ SPHÈRE SOLIDE. 13 3

du voil par ces résultats que, si l'on plonge dans un même vase

rempli d'un liquide qui se refroidit lentement différents thermomètres,

ils doivent tous indiquer à iri'- peu près la même température dans le

même instant. Appelant //. //'. h", ... les vitesses du refroidissement

ii i i i i i- • i 1 1 i i

ili- i-h.icim île <cs t In ■ rin < > 1 1 1 c t tt'~- dans le liuuid<\ un aura — j— , -j-r,

' • ■ • • pour les erreurs respectives. Si deux thermomètres sont également sensibles, c'est-à-dire si les quantités f> et // sont les mêmes, leurs températures différeront également de celles du liquide. Les coefficients //. Ii \ h", . . . ont de grandes valeurs; en sorte <|in' les erreurs des thermomètres sont des quantités extrêmement petites et souvent inappréciables. On conclut de là que, si un thermomètre est construit avec soin et peut être regardé comme exact, il sera facile de construire plusieurs autres thermomètres d'une exactitude égale. Il suffira de placer tous les thermomètres que l'on Munira diviser dans un vase rempli d'un liquide qui se refroidit lentement, et d'y placer en même temps le thermomètre qui doit servir de modèle; on n'aura plus qu'à lc> observer tous de degré en degré, ou à de plus grands intervalles, et l'on marquera les points où le mercure se trouve en même temps dans \>--, différents thermomètres. Ces points seront ceux des divisions cherchées. Nous avons appliqué ce procédé à la construction des thermomètres employés dan- nos expériences, en sorte que ces instruments coïncidaient toujours exactement dan- des circonstances semblables.

Non seulement cette comparaison des thermomètres pendant la durée du refroidissement du liquide établit entre eux une coïncidence parfaite et les rend tous semblables à un seul modèle, mais <ui en déduil au^si le moyen de diviser exactement le tube de ce thermomètre principal sur lequel tous les autres doivent être réglés. On satisfait ainsi à la condition fondamentale de cet instrument, qui est que deux intervalles quelconques comprenant sur l'échelle un même nombre de degrés contiennent la même quantité de mercure. Au reste, non- omettons i.'i plusieurs détails qui n'appartiennent point directement à l'objet <\<i notre ' >n\ ri -

326 THEORIE DE I. \ Cil \U;i R.

On ;i déterminé, dans les articles précédents, la température v que reçoit, après le temps écoulé /, une couche sphérique intérieure placée ;i la distance a? du centre. Il s'agit maintenant de calculer la valeur de la température moyenne de la sphère, ou celle qu'aurait ce solide si toute la quantité de chaleur qu'il contient était également distribuée entre tous les points de la masse. Le solide «le la sphère dont le rayon

est x elant \~ -5-5 la quantité de chaleur contenue dans une enveloppe

sphérique dont la température est v et le rayona; sera l\vd(^~ Y Ainsi la chaleur moyenne est

l'intégrale étant prise depuis x = 0 jusqu'il x = X. On mettra pour v sa valeur

Cil , • . ") ; " <l | ; ' , .

— e~ Kn 1 ' sin n, x -\ — - e~Kn*c sin /is x -1 e~Kn>' sin n ■. x + ....

et l'on aura l'équation

/ x%v dx — . -. ( a

3 C . 3 / sin/^X — n.Xcosn.X , ., V./ 'W' = X»(B« n\ C

-in // , \ - n„X cos// ., \ , .,

On a trouvé précédemment

\ ( sin n,-X — n , X cos n, X ) rij ( 2 n, X — sin 2 n,-X)

On aura donc, en désignant par s la température moyenne.

3 (sinet — et cosst)2 -uk~-1'' (sine,— c* cosc.. ;.i iêj — sinasi) s\{2£s — siii2

équation dans laquelle tous les coefficients des exponentielles sont positifs.

i 11 M'ITIiK \ . SPHERE SOI. MU 327

Nous considérerons le cas où, foutes les autres conditions demeurant les mêmes, la valeur \ du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction rapportée en l'article 285, on

\nii que. la quantité . devenant infinie, la droite menée par l'origine

el qui doit couper les différentes branches de la courbe se confond avec l'axe '1rs r. On trouve donc pour les différentes valeurs de : les quantités -. 2ir, ">-

Le terme de la valeur de s qui contient e '" v devenant, à mesure que le temps augmente, beaucoup plus grand que les suivants, cette valeur de r. après un certain temps, est exprimée sans erreur sensible

par le premier terme seulement. L'exposanl ; étanl égal à K -.'. ;>

on voii que le refroidissement final esl 1res lent dans les sphères d'un grand diamètre, el que l'exposanl de e qui mesure la vitesse du refroidissement est en raison inverse du carré des diamètres.

On peut, d'après les remarques précédentes, se former une idée exacte des variations que subissent les températures pendant le refroidissement d'une sphère solide. Les valeurs initiales de ces températures changent successivement, à mesure que la chaleur se dissipe par la surface. Si 1rs températures des diverses couches sont d'abord égales, ou si elles diminuent depuis la surface jusqu'au centre, elles ne peuvent point oiihn\rr leurs premiers rapports et, dans tous les . le système tend de plus en plus vers un étal durable qu'il ne laide point a atteindre sensiblement. I );i n- ce dernier état, les températures décroissent depuis le centre jusqu'à la surface. si l'on représente par un certain are e, moindre que le quart de la circonférence, le rayon total de la sphère el que, divisant cel arc en parties égales, on prenne en chaque point le quotient du sinus par l'arc, le système dr rapports représentera celui qui s'établit de lui-même entre les tem-

:12S THEORIE DE LA Cil \LKI R.

pératures dos couches d'une égale épaisseur. Di-s que ces derniers rapports ont lieu, ils continuent de subsister pendanl toute la durée du refroidissement. Alors chacune des températures diminue comme l'ordonnée (l'une logarithmique, le temps étanl pris pour abscisse. On peut reconnaître que cet ordre est établi, en observant plusieurs

valeurs successives z, z', s", z'" qui désignent la température

moyenne pour les temps /, / -+- 0, / + 20, / + 36, . . .; la suite de ces valeurs converge toujours vers nue progression géométrique et, lorsque les quotients successifs^» ~,j ~—r, ■■■ ne changent plus, on en corn lut que les rapports dont il s'agit sont établis entre les températures. Lorsque la sphère est d'un petit diamètre, ces quotients sont sensiblement égaux dès que le corps commence à se refroidir. La durée du refroidissement pour un intervalle donné, c'est-à-dire le temps nécessaire pour que la température moyenne z soit réduite à une partie

déterminée d'elle-même — ? est d'autant plus grande que la sphère a un plus grand diamètre.

Si deux sphères do même matière et de dimensions différentes sont parvenues à cet état final où les températures s'abaissent en conservant leurs rapports, etque l'on veuille comparer les durées d'un même refroidissement, c'est-à-dire le temps 6 que la température moyenne ; de la

première emploie pour se réduire à - > et le temps 0' que la tempéra-

ture z' de la seconde met à devenir — » il faut considérer trois cas différa

rents. Si les sphères ont l'une et l'autre un petit diamètre, les durées 6 et H' sont dans le rapport même des diamètres. Si les sphères ont l'une et l'autre un diamètre 1res grand, les durées H et H sont dans le rapport des carrés des diamètres; et si les sphères ont des diamètres compris entre ces deux limites, les rapports des temps seront plus grands que ceux des diamètres, et moindres que ceux de leurs carres. On a rapporté plus haut les valeurs exactes de ces rapports.

La question du mouvement de la chaleur dans une sphère comprend

(Il M'I I RE \ SPHERE SOLIDE. :12<>

celle des températures terrestres. Pour traiter celle dernière question avec plus d'étendue, nous en avons fait l'objet d'un Chapitre séparé (').

L'usage que l'on ;i fait précédemment de l'équation

lange

est fondé sur une construction géométrique qui est très propre à expliquer la nature de ces équations. En effet, cette construction fait voir clairement que imites le> racines sont réelles; en même lemps elle en fait connaître les limites et indique les moyens de déterminer la valeur numérique de chacune d'elles. L'examen analytique des équations de ce genre donnerait lc> mêmes résultats. On pourra d'abord reconnaître que l'équation précédente, dans laquelle A est un nombre connu, moindre que l'unité, n'a aucune racine imaginaire de la forme m-h n\ — i . Il suffit de substituer au lieu de - celle dernière quantité, et l'on voit, après les transformations, que le premier membre ne peut devenir nul lorsqu'on attribue a /// et n des valeurs réelles, à moins que n ne soit nulle (* . On démontre aussi qu'il ne peut y avoir dans cette même équation

e cose — >. siiis £ — /. lang. ^o "M - — o,

I os •

aucune racine imaginaire, de quelque forme que ce soit.

n. qm est examinée avec de grands détails dans le Mémoire présenté

i n iSm par Fourier .1 l'Académie des Sciences, .1 été laiss le côté dans l'Ouvrage que

noua réimprimons. La phrase do texte esl reproduite textuellement d'après le Mémoii '/ de V (cadémie d- r, t IV. p. [26; 182J. ii. I>

• Écrirons eu eflî l l éqo - la forme

- = col ■-.