V.n remplaçant -: par 1 - - 'Lui- les deux membres, <>n

trou

\r x- ->->- — (c-r — c1 />--+- 4sinî./ '

Il 1 - ••■ équation oe peul être vériBée quand 1 est différent <!'• zéro

330 THÉORIE DE LA GH vU-ll'Il.

En effet : i" les racines imaginaires du facteur ^ =o n'appartiennenl poinl à l'équation £-^tange=o, puisque ces racines son! toutes de la forme /n H-W3^ i° l'équation sine- [™s- <> a nécessairemenl toutes ses racines réelles lorsque X est moindre que l'unité. Pour prouver cette dernière proposition, il faut considérer sins comme le produit d'une infinité de facteurs, qui sont

et considérer cose comme dérivant de sins par la diflférentiation. On supposera qu'au lieu de former sins du produit d'un nombre infini de facteurs on emploie seulement les m premiers, et que l'on désigne le produit par <pm(e). Pour trouver la valeur correspondante qui remplace cose, on prendra %^ ou <p'm(e). Cela posé, on aura l'équation

Or, en donnant au nombre m ses valeurs successives t, 2, 3 de-

et que le second membre y est toujours plus grand en valeur absolue que le premier. En effet, ce second membre peut s'écrire

eJ' -4- e~y

ey — c~-'

4sin2.r 1 1~ (er— e-yf

Or on a , . , ; ,,,

ey-i-e-y t 4sin-.r 4x-

cr c-r >J' (er— e-ïf i/2

Le second membre est donc plus grand que

il ne peut donc être égal à cette expression multipliée par la frac ion X

1 v a dans la suite de cet article un certain nombre de points inexacts ou contestables mais; comme on pourrait le supprimer en entier .ans interrompre la suite des .dées, nous nous sommes contenté de reproduire sans changement le texte de Founer.

I II M'I I l!l. \ . SPHÈRE SOLIDE. 331

puis i jusqu'à l'infini, on reconnaîtra, parles principes ordinaires de I Algèbre, la nature des Ponctions de e qui corrcspondenl à ces différentes valeurs de m. On verra que, quel que soif le nombre m des facteurs, les équations en i qui en proviennenl ont les caractères distinctes de celles qui onl toutes leurs racines réelles. De là on conclul rigoureusement que l'équation

dans laquelle X es) moindre que l'unité, ne peut avoir aucune racine

imaginaire. Cette même proposition p rail encore être déduite d'une

analyse différente que nous emploierons dans un des Chapitres suivants.

■^" reste, la solution que nous avons donnée n'est point fondée sur la propriété dont jouit cette équation d'avoir toutes ses racines réelles. " " aurait donc pas été nécessaire de démontrer celle proposition par |r^ principes de l'Analyse algébrique. Il suffit pour l'exactitude de la solution que l'intégrale puisse coïncider avec un étal initial quelconque; car il s'ensuit rigoureusement qu'elle doit représenter aussi tous les états subséquents.