CHAPITRE VI.- CYLINDRE SOLIDE. :u;i
la suite l'équation différentielle donl cette série dérive; on regarde ici la fonction u comme étanl connue, et l'on a
e-*ktu
pour la valeur particulière de v.
L'état de la surface convexe ilu cylindre esl assujetti ;i mie condition exprimée par l'équation déterminée
rfV
qui doil être satisfaite lorsque le rayon x a sa valeur totale X; on en conclura l'équation déterminée
Ainsi le nombre g qui entre dans la valeur particulière e~ï',lti n'esl point arbitraire : il esl nécessaire que ce nombre satisfasse à l'équation précédente, qui contient g et X. Nous prouverons que cette équation en g, dans laquelle h et X sont des quantités données, a une infinité de racines, et <|ne toutes ces racines sont réelles. Il s'ensuit «pie l'on peut donner à la variable v une infinité de valeurs particulières, de la forme e - "'u. qui différeront seulement par l'exposant g. On pourra donc composer nue valeur plus générale en ajoutant imites ces valeurs particulières, multipliées par des coefficients arbitraires. L'intégrale qui servira à résoudre dans tonte son étendue la question proposée esl donnée par l'équation suivante
. . .. . ... désignent toutes I»"- valeurs de g qui satisfont à l'équation déterminée; //,. //. u . ... désignent les valeurs de u qui correspondent ;i ces différentes racines ; a,, as, at, ... sont des coefficients arbitraires, qui ne peuvent être déterminés que par l'état initial du solide.
334 in i:o n 1 1: DE i. \ <:n \u:i i;.
Il faut maintenant examiner la nature de l'équation déterminée qui donne les valeurs de g et prouver que toutes les racines de cette équation sont réelles, recherche qui exige un examen attentif.
Dans la série
qui exprime la valeur que reçoit m lorsque .r = X, on remplacera par la quantité 0, et, désignant par /(()) ou y celle fonction de 0, on aura
'équation déterminée deviendra
ou
/"(G) désignant la fonction '',/'•
Chacune des valeurs de 0 fournira une valeur pour g, au moyen de l'équation
et Ton obtiendra ainsi les quantités g,, g., qui entrent en nombre
infini dans la solution cherchée.
La question esi donc de démontrer que ''équation
doit avoir toutes ses racines réelles. Nous prouverons, à cet etfet, que l'équation
CH \v\ ri;i: \ l. C\ LINDRE SOLIDE. 335
;i toutes ses racines réelles; qu'il en esl de même, par conséquent, de l'équation
ci uu'il s'ensuil aue l'éauation
;» .iu-si toutes ses racines réelles. A représentanl la quantité connut
L'équation
• . ! . r "" étant ilillei entiee tleil\ fois, donne l;i relation Sllivilllle :
rf, . d ',
On écrira, c me il suit, cette équation et toutes celles que l'on en
déduit par la differentiation
dy d*y </^
et, en général,
Or, -i l'on écril dans l'ordre suivant l'équation algébrique
\ el toutes celles qui en dérivent parla diflerentiation
dX
rf2X
dx
il.i •
336 THÉORIE DE I. \ Cil M. Kl W.
et si l'on suppose que toute racine réelle (l'une quelconque de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède et dans celle qui la suit, donne deux résultats dr signe contraire, il est certain que la proposée X = o a toutes ses racines réelles, et que, par conséquent, il en est de même de toutes ses équations subordonnées
ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algébriques et ont été démontrées depuis longtemps ('). Il suffit donc de prouver
(') Fourier énonce ici une des conséquences du beau théorème qui constitue sa découverte capitale dans cette théorie des équations algébriques et transcendantes qui n'a jamais cessé de l'occuper et à laquelle il a consacré un Ouvrage spécial, XAnalj re des équations déterminées. On sait que la première Partie de ce Traité a seule paru et a été publiée en iS'ïi par les soins de Navier, un an environ après la mort de Fourier.
Fourier applique à l'équation transcendante
une proposition qui n'est démontrée que pour les équations algébriques. Dans le XIX" Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, page 38a, Poisson présente à ce sujet quelques remarques critiques qui paraissent justifiées. Il considère l'équation
(a) y = cx -+- beax= o,
où a désigne une constante positive, différente de l'unité. La fonction t est une solution particulière de l'équation différentielle
à laquelle on peut appliquer littéralement tous les raisonnements de Fourier. Si la proposition admise dans le texte était exacte, on devrait donc conclure que l'équation (a) a toutes ses racines réelles. Or celte équation n'a qu'une racine réelle si h est négatif; elle n'en a aucune si b est positif, et, dans les deux cas. elle a une infinité de racines imaginaires. Cela suffit, semble-t-il, à décider la question.
Cette objection de Poisson avait été très sensible à Fourier; il y revient à diverses reprises, notamment à la page 616 du tome VIII des Mémoire* de /' /endémie des Sciences et dans un travail spécial intitulé : Remarques génrr<des sur l'application des principes de /' t/ialj te algébrique aux équations transcendantes, inséré au tome X. page 1 19, du même Recueil.
11 ne faudrait pas conclure des remarques précédentes que le théorème de Fourier no peut être d'aucune utilité dans l'étude des équations transcendantes. Convenablement appliqué, il joue, au contraire, dans la résolution de ces équations, un rôle très important (pie Fourier a été le premier à signaler. On s'en assurera aisément en relisant divers passages de l'Ouvrage que nous avons cité plus haut. G. D.
i II V 1» I I lil \ I Cl LINDHE SOLIDE. 337
que lr> équations
remplissent la condition précédente. Or cela suit de l'équation générale
car, xi l'on donne à 0 une valeur positive qui rende nulle la fluxion
• les ileux autres termes / el , , recevronl des valeurs de
"-' iij' i/j
- gne opposé. A l'égard des valeurs négatives de 0. il est visible, 'I après la nature de la Ponction /' 8 . qu'aucune quantité négative mise à la place de 0 ne pourrait rendre nulle ni celle fonction, ni : une de celles qui en dérivent par la différentiation; car la substitution d'une quantité négative quelconque donne à tous les termes le même signe. I) ■ on est assuré que l'équation
.. toutes ses racines réelles et positives.
Il suit île là que l'équation
a aussi toutes ses racines réelles; ce qui est une conséquence i onnuc des principes «le l'Algèbre. Examinons maintenant quelles sont les
valeurs successives que reçoit le terme 8 ' • ou 0 ' ■ lorsuu'on
donne à 0 des valeurs contii Ilemenl croissantes, depuis Û
jusqu'à 8 ao. Si une valeur de 8 rend v' nulle, la quantité 0 '
devient nulle aussi; elle devient infinie lorsque 8 rend y nulle. Or iJ "•"'• 'I'' la théorie des équations que, dans le cas dont il s'agit, toute i acine de
338 THÉORIE DE I- V Cil ILEUR.
est placée cuire deux racines consécutives de
et réciproquement. Donc, en désignant par 0, et 03 deux racines consécutives de l'équation
et par 92 la racine de l'équation
qui est placée entre 0, et 0;J, tonte valeur de 0, comprise entre 0, e! 92, donnera à y un signe différent de celui que recevrait cette fonction y,
si 0 avait une valeur comprise entre 02 et 03. Ainsi la quantité 0— esl nulle lorsque 0 = 0,; elle est infinie lorsque 0 = 62, et nulle lorsque 0 = 03. 11 est donc nécessaire que cette quantité 8— prenne toutes les valeurs possibles, depuis zéro jusqu'il l'infini, dans l'intervalle de 0, à ô2, et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé, depuis l'infini jusqu'à zéro, dans l'intervalle de 62 à 03. Donc l'équation
a nécessairement une racine réelle entre 0, et 0;i; et, comme l'équation
y'=o a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s'ensuit que l'équation
a la même propriété. On est parvenu à démontrer de cette manière que l'équation déterminée
o A 0 » v , a * v hX 22 a*. 4* a*. 4*- 6* '^
dont l'inconnue est g, a toutes ses racines réelles et positives.
(Il tPITRE \ I. C^ LINDRE SOLIDE. 339
Nous allons poursuivre cet examen tic la fonction // et de l'équation différentielle a laquelle elle satisfait.
IV l'équation
' -ir + J -TF7 - °
on déduil l'équation générale
et, si l'on suppose 0 o, on aura l'équation
qui servira à déterminer les coefficients des différents termes du développement de la fonction/ 8 : car ces coefficients dépendenl des valeurs « 1 1 j « - reçoivent !<■» rapports différentiels lorsqu'on y fait la variable nulle. En supposant le premier connu et égal à i, on aura la série
Si, maintenant, dans l'équation proposée
i du i/1 h
tr II L I
x dx OD fait
l il I il ;
rr
et que l'on recherche la nouvelle équation en // el 0, en regardant u comme une fonction de 8, on trouvera
il u eP a
il ,1
d'où l'on conclut
on
THÉORIE l>K L\ CH U.Kl R.
Il est facile d'exprimer la somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction cos asin.* en cosinus d'arcs multiples. On aura, par les transformations connues,
