cos (a siiu) =es

et, désignant c*^-1 par w,

2 cos(asiiKr) = e- e 2 4- e e

au - ao)

En développant le second membre selon les puissances de u, on trouvera que le terme qui ne contient point co dans le développement de cos (a sinr) est

I p + 2-. 42 .... ft.6i 25. Ï2.6S.8S

1rs coefficients de co\ a>\ co\ ... sont nuls: il en esl de même des coefficients des termes qui contiennent co ', co"3, co— , ...: le coefficient de co-2 est le même que celui de co2; le coefficient de co' est

...; le coefficient de co ' est le même que celui

2.4.6.8 22. 4-0-8. 10 ,1,. co>; il est aisé d'exprimer la loi suivant laquelle ces coefficients se succèdent; mais, sans s'y arrêter, on écrira 2C0S2* au lieu de w' + or»), 0U2C0s4*aulieu de (co1 + co-), et ainsi de suite. Doue la quantité cos a sinr, peut être facilement développée en une série

de la forme

\ + 1$ cos 2 a: -h C cos 4 # -f-Dcosb.r -,-...

et le premier coefficient A est égal à

Si Ton compare maintenant l'équation généraleque nous avons donne

i II M'I I Kl. \ I. <ï L1NDRE SOLIDE. 341

précédemment

~. - ■ I II COSJÎ / . | ; | COS i il r ...

.1 celle-ci

COS ' -m \ I! COS ' ' C COS i c •-....

on trouvera les valeurs des coefficients A, H. C exprimées par des intégrales définies. Il suffil ici de trouver celle ilu premier coefficient A. ( mi aura donc

V I cos(asin.r) dx,

l'intégrale devant être prise depuis v o j 1 1 ^ * ] u * ; » x -. Donc la valeur de la série

est celle de l'intégrale définie

- / cos (a sin ./• ) di .

On trouverait de la même manière, [>;■ r la comparaison des deux équations, les valeurs des coefficients suivants B, C, . . .; on a indiqué ces résultats parce qu'ils sont utiles dans d'autres recherches qui dépendent de la même théorie ' . Il suit de là < j 1 1 < * la valeur particulière de // • 1 1 1 i satisfait à l'équation

<r- a i il h

< ' i Les fonctions A. It. C dont Kourier signale ici Loule l'importance, sonl ci lies qui

puis par D n nsen el un grand nombre d'autres gé

Il fjut. toutefois, pour avoir l'ensemble des ms de Bessel, joindre aux précédentes

- iltent du développement '!<■ la fonction sini zsin

i] »mpl ms de Bessel peul être considéré comme défini par les

deux équal

s(a cosj i ■> - > ' ■ i . / • •- i ' . . .

:S'r2 THEORIE DE LA CHALEUR.

esl

- I cos(x \/ g s'm r) dr,

l'intégrale étant prise depuis r = o jusqu'à r = r.. En désignant par q cette valeur, on fera dans l'équation linéaire

l'équation en s ainsi obtenue aura pour intégrale

C dr

a et b désignant deux constantes arbitraires; on aura donc, pour l'intégrale complète de l'équation

d2 a 1 du

'expression

' x dx~*~8U~°'

— )~t-^b~ j ~T~r " -^A j cn%(x\fg%\nr)'dr.

j J x\ f cos{x \/g s'm r) dr \ (

Si l'on suppose b =o, a = 1, on aura, comme précédemment,

m= - / cos(x\/gs'mr)dr.

Nous ajouterons les remarques suivantes, relatives à cette dernière expression.

L'équation

-J cos(0sin«)tf« = i-? + , ,,

se vérifie d'elle-même. En effet, on a

f ,. . . , /", / 0ssins« 0*sin*u 0«sin«a \

/ cos(9sin«) du = ! dul 1 - — 1 ^—. , . . .-•...

I HAP1 11; l . \ I. CI LINDRE SOI. lin;

et, intégrant depuis u o jusqu'au rc en désignant par S,, s,, S,, ... les intégrales définies

/ sin*udu, / sin*udu, f sm'udu, ...,

on aura

- / cos sin«)rf« = i— — Si = . S; —

il reste à déterminer S,, s,, s,, Le terme sin"a, n étanl un nombre

pair, peut être développé ainsi

-in ''" i, I! COS • u + C„cos4« + ...;

en multipliant par du, et intégranl entre les limites // <> et // -, on aura seulement

/ su\nudu V„ — ;

les autres termes s'évanouissent. On a, d'après la formule connue pour le développement des puissances entières du sinus,

Al-â' v â!

En substituant ces valeurs de S,. S,, S6, S„, . . ., on trouve

z f cos

sinu | du — i

On peut rendre ce résultat plus général en prenant, an lieu de cos tsinu .une fonction quelconque <p de /sin u.

Supposons donc que l'on ait une fonction ? : qui soit ainsi développée

on aura

-ni// % / 1 sin u , sin'a . sin «r...

et

f <p(/sinu rfu m ta'S, : >,-\ ;o'"SJ +

3W THÉORIE DE LA Cil ^LEl R. Or il est facile de voir que S,. S,. S,.... ont des valeurs nulles. A l'égard de S.„ S4, S6 leurs valeurs sonl 1rs quantités que nous avons

désignées précédemment par A2,A4, A, C'est pourquoi, en substituant ces valeurs dans l'équation (e), on aura généralementel quelle (jue soit la l'onction o

i fo{tsinu)du = 9 + ^9" + ^î«Pn h^.C^'

Dans le cas dont il s'agit, la (onction <p(*) représente coss, et Ton a

o — ,} n"=z — 1, o,v= 1, ?VI = — 1 et ainsi de suite (').

Pour connaître entièrement la nature de la fonction /(G , et celle de l'équation qui donne la valeur de g, il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation

et qui l'orme avec Taxe des abscisses des aires, alternativement positives ou négatives, qui se détruisent réciproquement; on pourrait aussi rendre plus générales les remarques précédentes sur l'expression des valeurs des suites en intégrales définies. Lorsqu'une fonction d'une variable x est développée selon les puissances de x, on en déduit facilement la fonction que représenterait la même série si l'on remplaçait

(i 1 li 5 a ici plusieurs fautes de calcul. Les intégrales S,. S,. . . . ne sont nulles que si

elles son! prises entre les limites 0 et 2- Alors les intégrales S», S», S ont pour

val surs, non les coefficients A„ A,. As, mais leurs doubles. On est ainsi conduit à la For-

mule

Je - n 1- 1 * ol/sin// \tlu = 9 -+- — <?"-+- , ,'1'"

Cp(z) — COS".

L / cos(rsin «)<&"= - i cos(* sin«) du,

el I on retrouve la formule donnée plus haut par Fourier.

Si l'on l'ail

on a évidemment

Cil tPITRE l\ VA LINDRE SOLJDE.

les puissances

par cosd?, cos ■ * . cos3.r,

lui faisant usage de cette réduction et tin procédé indiqué ii l'article 235, on obtient les intégrales définies qui équivalent à des séries données : mais non- ne pourrions entrer dans cel examen sans nous écarter beaucoup de notre objet principal. Il suffit d'avoir indiqué les moyens qui nous ont servi à exprimer les valeurs des suites en intégrales définies. Nous ajouterons seulement !<• développement de la

quantité 0 en une fraction continue.

L'indéterminée y mi / 0 >;iiisl;iii à l'équation

dy ,<1-y

d'où l'on déduit, en désignant par v. y . v , v'\

-r*=4.r,v+5vv.

on

~i + et

les fonctions

7*~ rv~f

d'où l'on conclu!

Ainsi la fonction - B-j$- qui entre dans l'équation déterminée a poi valeur la fraction continuée à l'infini

Nous allons maintenant rappeler les résultats auxquels nous sommes

parvenus jusqu'ici.

Le rayon variable de la couche cylindrique étanl désigné par x, et |a température de cette couche étant v, qui est fonction de x el du temps t, cette fonction cherchée? doit satisfaire à l'équation aux différences partielles

on peut prendre pour v la valeur suivante :

t> — e-'ntu;

u est une fonction de .r qui satisfait à l'équation

/// i du <i-u

Si l'on fait

Cil tPITRE \ I. Cl II n nui: SOLIDE. .1 que l'on considère // comme une fonction de 0, on aura

La valeur suivante

ry. 03

satisfait ;i l'équation en wel 0; on prendra donc, pour valeur «le u en ' . celle-ci :

m i - ni-

ni