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L'expérience a été terminée à ioh28'u du soir.

Nous avons vu (' ) que la loi de la propagation de la chaleur dans une armille devient de plus en plus simple à mesure que le refroidissement s'opère, et qu'après un certain temps écoulé la chaleur est distribuée symétriquement. Dans ce dernier état, qui dure jusqu'à la fin du refroidissement, la circonférence est divisée en deux parties inégalement échauffées. Tous les points d'une moitié de l'armille ont une température supérieure à la température moyenne, et tous les points de la moitié opposée ont des températures inférieures à cette valeur moyenne. La quantité de la différence est représentée par le sinus de l'arc compris depuis chaque point jusqu'à l'extrémité du diamètre mené par le point qui a la température moyenne. On avait pour but, dans l'expérience précédente, de connaître le moment où le solide commence à entrer dans l'état que nous venons de décrire. Comme la température moyenne équivaut, dans cet état, à la demi-somme des températures de deux points situés aux extrémités d'un même diamètre et que, par conséquent, cette demi-somme est la même pour deux points quelconques, pourvu qu'ils soient opposés, on a choisi cette propriété comme l'indice de la disposition symétrique qu'il s'agit de rendre sensible. Tout se réduit donc à observer pour le même instant la valeur de la différence de la demi-somme des températures a -+- c et la demi-somme des températures b -+- d, et à examiner au moyen des résultats précédents s'il arrive, après un certain temps, que ces températures deviennent et demeurent égales. Or les résultats des expériences sont à cet égard très remarquables, et ne laissent aucun doute sur cette distribution régulière de la chaleur.

En effet, lorsqu'on a éloigné le foyer, à 7'' 3 1 "l, la demi-somme \{a -+- c) valait environ 76°^, et la demi-somme {{b -+- d) valait 45°f. Ces deux quantités, loin d'être égales, différaient de 3o°|. A 7h34m, la demi-somme ~(a~hc) valait environ G80*, et la demi-somme ^(b-+-d) valait environ 47°f •* ainsi la différence était encore de 21°. En conti-

(') Théorie de la chaleur, art. 245, p. ïbo. G. D.

nuant jusqu'à la fin de l'expérience cette comparaison des deux demisommes, il est facile de juger si elles tendent à devenir égales, et restent sensiblement dans cet état d'égalité; ou si, au contraire, elles peuvent se séparer et donner des différences croissantes de signe opposé.

On a marqué dans la Table, pour chaque valeur du temps écoulé, la valeur correspondante de la demi-somme £(a-hc), celle de la demisomme l(b -+- d), et la différence des deux valeurs. On voit par cette Table que la différence des demi-sommes, qui était d'abord 3<>'\06, a été réduite, en 3 minutes, à 21"; elle est devenue 90 pendant les 5 minutes suivantes, et elle a ensuite continué à décroître ; mais elle n'a pu acquérir aucune valeur négative de quelque étendue. Cette différence des demi-sommes a passé, en 26 minutes, de la valeur de 3o° à celle d'un demi-degré environ; elle a conservé des valeurs très petites, qui se sont abaissées successivement au-dessous d'un tiers et d'un cinquième de degré. 11 faut ajouter que les valeurs apparentes de cette différence résultent en majeure partie des erreurs presque inévitables des instruments et des observations. D'ailleurs on a fait l'expérience dans l'air tranquille, au lieu de déterminer un courant d'air d'une vitesse uniforme; il était facile de prévoir que l'omission de cette condition n'aurait point une influence considérable sur les résultats.

On a souvent répété des expériences de ce genre, en faisant varier toutes les circonstances, ou successivement, ou ensemble. On ;i plusieurs fois employé six thermomètres, dont trois étaient opposés à trois autres; alors on a comparé les trois demi-sommes, et l'on a toujours reconnu qu'elles tendaient rapidement à devenir égales, et qu'ensuite elles demeuraient dans cet état pendant toute la durée de l'expérience. On a échauffé l'anneau au moyen de deux foyers, et d'autres fois on a transporté le foyer en divers endroits, afin d'occasionner le plus d'inégalité possible dans la distribution de la chaleur. Enfin, on a fait concourir le frottement à la production de la chaleur; et, de quelque manière que l'anneau ait été échauffé, on a toujours observé que les demi-sommes convergent rapidement vers une valeur commune, en

sorte qu'on a reconnu par le fait l'impossibilité d'obtenir un résultat différent de celui que l'analyse nous a fait connaître. Au reste, l'observation de ces faits n'ajoute rien à la certitude des conséquences théoriques : elles dérivent nécessairement du principe de la communication de la chaleur; elles ont toute l'exactitude de ce principe, et seraient assujetties aux mêmes corrections, si des expériences ultérieures en faisaient connaître la nécessité.

On a exposé, pendant 3o minutes environ, à l'action d'un foyer de chaleur une masse de fer de forme sphérique, et dont la surface avait été polie avec le plus grand soin : le diamètre de la sphère est d'environ 4 pouces ('); un thermomètre exactement construit pénétrait au delà du centre de la sphère; le trou cylindrique qui recevait ce thermomètre était rempli de mercure.

L'expérience avait lieu dans l'air tranquille, au milieu d'une pièce assez vaste, entretenue à une température constante. Le thermomètre libre qui indiquait la température de l'air marquait i2°{.

La température de la sphère s'est élevée au delà de ioo° (division octogésimale). iYlors on l'a séparée du foyer et on l'a exposée isolément à l'air; elle était suspendue par deux cordons de soie, qui passaient dans deux anneaux extrêmement petits fixés à la surface. On a essuyé la surface, afin de faire disparaître les taches que la flamme aurait pu laisser. Le thermomètre s'est abaissé successivement. La Table suivante donne : i° les valeurs du temps; 2° les élévations correspondantes du thermomètre de la sphère depuis 63° jusqu'à 43°; 3° les élévations du thermomètre libre.

(') Le diamètre de la sphère est de om, 1106; le diamètre du trou cylindrique est de o"'.oi5; la profondeur de ce trou est de om,o8o: le poids du solide, sans celui du mercure, est de VJiosr,7.

Valeurs

du temps t.

Valeur il'- ,

Valeur «i«- ci,

température

Valeur de y,

de la sphère.

de la chambre.

itération

Valeur de %

Différence

au -dessus

dans

des

Le thermomètre

de la températuro

l'équation

temps.

niarquo

marque

de l'air.

y — Aa'.

En résolvant la question de la propagation de la chaleur dans une sphère, nous avons remarqué que les températures se rapprochent continuellement du système durable dans lequel elles décroissent en même temps, sans que leurs rapports soient changés (1). Alors ces températures varient, depuis le centre jusqu'à la surface, de même que le rapport du sinus à l'arc varie depuis une extrémité de la demi-circonférence jusqu'à l'extrémité d'un certain arc moindre que cette demi-circonférence. Chacune des températures en particulier, et par conséquent la température moyenne, décroît comme l'ordonnée d'une logarithmique dont le temps est l'abscisse. On peut reconnaître, au moyen de l'observation, le moment où cette distribution régulière de la chaleur est établie. En effet, il suffît d'examiner si le mouvement du thermomètre peut être représenté par une logarithmique; car cette dernière propriété n'appartient qu'à l'état régulier dont il s'agit. Soient zt et z2 deux températures indiquées par le thermomètre de la sphère et correspondantes aux temps /, et /.,; soient « la température constante de l'air, et y l'élévation s — a. Si la valeur de y est donnée par l'équation y = A a', A étant une quantité constante et a une fraction, on aura

yt=Aal> et y2—\oc',;

d'où l'on tire

. logy,— logr2

loir 2 = — 2^Li Çi J- .

h — h En prenant les deux températures G3° et 58° qui donnent 5o,j et 45.5

(■) Théorie de la chaleur, art. 29:2, p. 3i5, et art. 29o. p. 3i8. G. D.

pour les deux valeurs j, et y2, on trouve, pour la fraction a,

Si l'on fait le même calcul pour l'intervalle suivant, c'est-à-dire en

prenant

j, = 45,5, j2 = 4o,5 et ta— fj = 2o,

on trouve une seconde valeur 0,99420 de a. Le troisième intervalle

donne

le quatrième

On a rapporté dans la Table précédente ces différentes valeurs de a.

On voit par ces résultats que, si l'on considère deux élévations consécutives, par exemple 5o°^ et 45°^, comme les deux termes extrêmes d'une progression géométrique, et que l'on insère entre eux un nombre de moyens proportionnels géométriques égal au nombre de minutes écoulées moins un, on trouve pour la raison de la progression une fraction a qui diffère très peu de celle qu'on aurait trouvée pour l'intervalle suivant, formé des élévations 45°^ et f\o°[. Le mouvement du thermomètre peut donc sensiblement être représenté par une courbe logaritbmique. En effet, si l'on suppose, dans l'équation y = Aaf,

A = 5o,4o6 et a = o,9g4i5,

on aura les valeurs suivantes, qui diffèrent très peu de celles que l'on a observées.

Valeurs

Valeurs déduiles

observées.

de l'équation.

Différence

45,5oq

35,5oo

Le refroidissement depuis 63° jusqu'à 43° a duré plus de 86 minutes, et dans cet intervalle le mouvement du thermomètre est exprimé par l'équation y = Aa' à moins d'un sixième de degré près, erreur qui n'est pas la deux-centième partie de la température observée.

Au reste, il y a diverses circonstances qui troublent ici le mouvement de la chaleur et doivent altérer un peu l'exactitude des résultats. La partie de la masse qui est formée du mercure et du thermomètre est dans un état bien différent de celui que la théorie considère, et le thermomètre n'indique pas exactement la température moyenne du solide; mais la cause qui influe le plus sur les résultats est la diminution continuelle de la vitesse de l'air. Ses molécules, qui s'échauffent à la surface de la sphère, sont emportées vers le haut par un courant dont la vitesse se ralentit à mesure que le corps devient plus froid. Or il y a une partie de la chaleur perdue par la surface qui dépend de la vitesse du courant; par conséquent le refroidissement devient moins prompt, et la fraction a, par laquelle on doit multiplier la température pour connaître ce qu'elle devient après une minute, acquiert des valeurs de plus en plus grandes. Cet effet s'est manifesté dans toutes nos observations; mais il est peu sensible dans celle-ci, parce que l'on s'esl borné à un intervalle de 200. La loi du refroidissement dans un air tranquille diffère donc un peu de celle qu'on observerait si le corps était exposé à un courant d'air invariable. Il serait facile de déterminer cette première loi avec une approximation suffisante, et l'on en conclurait les différences qui existent entre les résultats de la première hypothèse et ceux de la seconde; mais nous ne nous sommes point proposé de traiter cette question, qui se rapporte à la propagation de la chaleur dans les fluides.

Indépendamment de l'expérience précédente, on en a fait plusieurs du même genre sur des sphères de diverses dimensions. Lorsqu'on a commencé ces observations, on prenait soin d'échauffer les solides uniformément, en les retenant dans un bain de mercure entretenu à une température permanente. Après que l'immersion avait duré un temps assez considérable, et que le thermomètre plongé dans la masse indiquait constamment la température requise, on retirait ce solide, et on le suspendait au milieu de l'air plus froid, afin d'observer les abaissements successifs du thermomètre. On a toujours remarqué que la valeur de la fraction a augmente, quoique très lentement, à mesure

que la durée du refroidissement augmente. Cette valeur peut être regardée comme constante lorsque la différence des deux températures extrêmes n'est pas considérable. On a plusieurs fois, dans nos expériences, observé les abaissements du thermomètre de degré en degré, depuis ioo° jusqu'à 12° ou i5°. On est parvenu, dans tous les cas, à des résultats semblables à ceux que l'on vient d'exposer. On a enfoncé les sphères dans un liquide entretenu à une température constante, ou on les a entourées de sable ou de limaille continuellement échauffés. On a placé au-dessous une lampe allumée que l'on retirait ensuite. On n'a point remarqué, dans les résultats, de différence qui pût être attribuée à la manière dont le solide avait été échauffé. Il paraît que la diffusion de la chaleur dans la masse s'opère assez facilement, et que, dans une sphère de dimensions médiocres, les températures arrivent bientôt à cet état où elles sont représentées par les quotients du sinus par l'arc. On peut dans ces expériences, et sans craindre d'altérer la précision des résultats, suspendre les corps dans l'air, et les échauffer au moyen d'une ou plusieurs lampes d'Argant; on retire ensuite les foyers, et l'on attend que le refroidissement ait duré quelque temps avant d'observer les abaissements du thermomètre. Nous avons fait aussi d'autres expériences afin de connaître les effets de la chaleur dans des solides de diverses formes et dimensions, dans différents liquides, dans les fluides élastiques et dans le vide; mais ces observations sont imparfaites et mériteraient peu l'attention du lecteur; elles n'ont point d'ailleurs un rapport direct avec la matière que nous avons traitée dans ces Mémoires. On rapportera seulement deux observations faites avec beaucoup de soin sur une sphère et sur un cube de fer.

On a placé dans l'air, entretenu à une température constante, une sphère solide de fer d'environ 2 pouces de diamètre ('); la surface

(') Le diamètre de la sphère est do om,o552; lo diamètre du trou cylindrique est de o"',oi 5; la profondeur de ce trou est de om,o38; le poids de la sphèro, sans celui du mercure, est de 6536'. 7.

était parfaitement polie, et l'on y avait fixé deux anneaux très petits, où l'on passait deux cordons destinés à suspendre la masse. La sphère est percée d'un trou cylindrique où l'on mettait un thermomètre. Le centre du réservoir coïncide avec le centre de la sphère, et l'on remplissait le trou avec du mercure. On a placé sous la sphère une lampe allumée. Le thermomètre s'est élevé à plus de io3°; on a retiré le foyer, et l'on a ohservé, assez longtemps après, les températures suivantes :

A 61' 54m le thermomètre a passé à 63°

A 7h 7m4os le thermomètre a passé à 43°

L'expérience a eu lieu dans l'air tranquille. Un poêle échauffait une pièce voisine, et l'on entr'ouvrait, s'il était nécessaire, la porte de communication, afin de maintenir la température de l'appartement, qui était de 12°^.

On a exposé de la même manière à l'action du foyer, et dans des circonstances semblables, une masse cubique de fer dont la surface avait été exactement polie; le côté du cube est d'environ deux pouces ('). Le thermomètre dont on s'est servi pour la sphère a été placé dans le cube, au milieu du trou cylindrique, qui pénétrait un peu au delà du centre et que l'on a rempli avec du mercure; le thermomètre s'est élevé à 8o°(une plus grande élévation ne changerait pas les résultats). Alors on a éloigné le foyer» et l'on a observé, quelque temps après, les températures suivantes :

A 8h 1 7m36s le thermomètre a passé à 6:5"

A 8h 56m4<>s le thermomètre a passé à 4'5"

Le thermomètre placé dans l'air marquait 12°^.

Ainsi la température s'est abaissée de 63° à 43° en 33m4°s pour la sphère, et de 63° à 43° en 3c)ra4s pour le cube, dont le côté est sensiblement égal au diamètre de la sphère.

En comparant ces résultats, il est nécessaire de remarquer, comme

(') Le côté du cube est de om,o5535: le diamètre du trou cylindrique est de om,oi5 ; la profondeur de ce trou est de om,oj2; le poids du cube, sans celui du mercure, est de I 1 \ 5«r.