II

l.y. SI R LA THÉORIE ANALYTIQUE

Je ne rappellerai point les différentes démonstrations que l'on peut donner de cette dernière proposition; je me borne à en exprimer le véritable sens. 11 faut concevoir que, pour former l'intégrale

/ ty(r)slnirdr, on donne d'abord à i une seule valeur y, prise parmi

les nombres entiers i, 2, '3, . . . , et qu'ensuite on donne à la variable r toutes les valeurs qu'elle peut avoir depuis /-=o jusqu'à /• = -; on pourrait construire une courbe dont l'ordonnée est '\>(r) sinyV. L'aire de celle courbe qui repose sur l'intervalle de o à - équivaut à une certaine quantité qui contient /, et que nous représentons par a,; on forme donc le terme Kysin/.r; puis, attribuant à i toutes ses valeurs

successives 1, 2, 3, \, . . . , on a la série

a, si n.r -+- y.2 siil2 x -h a3 sin.'Lr +.-..;

c'est la somme de cette série que l'on représente par Va^sima?, Or celte même série est toujours convergente. On donne à x une valeur quelconque plus grande que o et moindre que 71; alors la somme des termes approche de plus en plus, et sans fin, d'une certaine limite qui dépend de la distance x; c'est-à-dire que l'on peut concevoir le nombre des ternies de la série assez grand pour que la somme des termes diffère de sa limite d'une quantité aussi petite qu'on le voudra.

Nous avons démontré plusieurs fois le théorème exprimé par l'équation

(5) •[/(./■ ) :.-- £ \ sin/.r / ty(r) siair dr;

on y peut parvenir de différentes manières, et la formule se déduit très facilement de l'intégration définie; mais ce qu'il importe surtout <lc reconnaître distinctement, c'est que la série est toujours convergente, et que la valeur attribuée à la variable x doit ici èlrc comprise dans l'intervalle de o à -. On ne considère point ici les valeurs que la même série exprimerai! si l'on donnait à x des valeurs singulières qui ne seraient pas plus grandes que zéro et moindres que -; la disais-

sion de ces valeurs est facile, mais elle n'appartient pas à la question actuelle.

Si maintenant on applique le théorème dont il s'agit au cas où la fonction que l'on veut représente]' est - — r dans l'intervalle de o à -, on trouve

V^sin i.r

l SI II /./•

en appliquant le même théorème (5) à la fonction r, on trouve

V^ si m i.r x = — a> — : — cosir.,

série qui était connue depuis longtemps. Il est donc certain, comme on l'a énoncé plus haut, qu'en faisant / = o dans l'expression de \c donnée par l'équation (i), les termes qui contiennent f'{ o ) et o'(O) disparaissent et qu'il ne reste que la quantité

2 vi sirw'.r /'",,,. . , > : — / 'f(') sin i.r dr,

qui, suivant le même théorème, équivaut à <\>(&); donc l'état initial du solide est représenté par la valeur de Y(l de l'équation (4).

Quant aux conditions relatives aux extrémités, elles subsistent pour toutes les valeurs de t; car, si l'on fait .r = r. dans l'expression V,, elle devient égale à/(/), quelle que soit la valeur de t; et, lorsque .v = o, elle devient o(i). Donc l'expression de V, représentera les températures variables du solide pendant toute la durée du phénomène, puisqu'elle convient à l'état initial, aux conditions des extrémités et à l'équation différentielle.

Enoncé des trois questions partielles dont on réunit les solutions.

Après avoir démontré la vérité de cette solution, il nous reste à exposer les considérations dont on peut la déduire; cet examen est utile.

parce que les mêmes considérations s'appliquent à diverses autres recherches.

La question a pour objet de trouver une expression de v qui représente l'état initial lorsqu'on fait t = o, qui devienne /(/) lorsqu'on fait x — -, et qui devienne ç(ï) lorsque x = o. Or on peut considérer séparément chacune des trois questions suivantes : la première consiste à déterminer l'état variable du solide lorsque, l'état initial et arbitraire étant donné, chacune des deux extrémités est retenue à la température zéro; ensuite on formera une seconde question qui consiste à déterminer quel serait l'état variable du prisme si, la première extrémité étant retenue à la température zéro, la seconde était assujettie à une température variable donnée par une fonction quelconque du temps, et si l'on supposait d'ailleurs que, dans l'état initial du prisme, les températures des points dont la distance à l'origine est moindre que zéro et plus grande que te sont toutes nulles.

La troisième question est, pour ainsi dire, la même que la seconde; elle consiste à trouver l'état variable du prisme lorsque, les températures initiales des points intermédiaires étant supposées nulles, la première extrémité est assujettie à une température variable donnée par la fonction y(t), la seconde extrémité étant retenue à la température zéro.

Cela posé, si l'on conçoit que ces trois questions sont résolues et qu'elles sont appliquées à un même prisme, ayant les mêmes extrémités o et 7i, il est certain que la superposition des trois résultats donnera la solution de la question où l'on considère trois fonctions dont l'une exprime l'état initial du solide, et les deux autres expriment l'état variable des deux extrémités. Il suffit donc de résoudre chacune des trois questions et d'ajouter les résultats. Or la solution de la première est connue; je l'ai donnée, pour la première fois, dans mes Recherches sur la Théorie de la chaleur, lues et déposées à l'Institut de Fiance le 21 décembre ICS07. En désignant par <\>(x) le système des températures initiales du solide, et par v la température après le temps écoulé l en un point dont la distance à l'origine o est x, on a cette

expression :

(6) i' = - ^ g~ft< sintar / ty(r)$inirdr.

Nous passons à l'examen de la seconde question.

Température variable à l'extrémité du solide. On résout la question en déterminant sous le signe ^ une fonction inconnue.

Pour résoudre la seconde question, c'est-à-dire pour trouver l'expression de la température variable d'un point quelconque du prisme lorsque la première extrémité o est assujettie à la température fixe zéro, et la seconde extrémité tc à la température variable f(t), on considérera d'abord le cas très simple où la température de la seconde extrémité est elle-même fixe, mais différente de zéro. Dans ce cas, l'état final du système est tel que les températures qui subsisteraient après un temps infini croissent comme les ordonnées d'une ligne droite, depuis la première extrémité jusqu'à la seconde. Nous avons démontré ce lemme dans l'Introduction à la Théorie de la chaleur; c'est l'état invariable vers lequel le système converge de plus en plus. Il est ainsi

exprimé

bx

ce qui est d'ailleurs une conséquence évidente du principe de la communication de la chaleur; b désigne la température fixe de l'extrémité û.

Quant à l'état variable qui précède ce dernier état du prisme, il est facile de le former suivant les principes déjà connus. En effet, en dési-

gnant par F(r) l'état initial du système, la différence F 0*0 entre

l'état final — et le premier état F(x) s'altère continuellement, et de la même manière que si, l'état initial du prisme étant — - -Y(oc), on

assujettissait chacune des deux extrémités à la température fixe zéro; la question ne diffère donc pas de celle que nous avons considérée la première. Il suffit de remplacer dans l'équation (6) la fonction '}(>) qui répond à l'état initial parcelle-ci : — — F(r); nous examinerons plus bas le résultat de cette substitution; mais l'état variable du même solide serait très différent de celui que l'on vient de considérer si la température de l'extrémité ~, au lieu d'être fixe et égale à b, variait avec le temps comme une fonction f(t), celle du premier point o étant toujours supposée constante et nulle. Cette seconde question est beaucoup plus composée que la précédente. J'indiquerai d'abord comment elle pourrait être résolue par un procédé que j'ai employé dans d'autres recherches, et qui consiste à placer sous le signe d'intégration définie une fonction indéterminée : il faut trouver pour cette fonction inconnue une expression qui satisfasse aux conditions proposées. Ensuite je montrerai comment on déduit la solution d'une autre considération très simple qui s'applique aux actions variables de la chaleur.

Si nous employions en premier lieu l'expression suivante

v = % c.i c-'~l sin ix,

en désignant par a, une fonction inconnue du temps /, qui contient aussi l'indice i, on voit que r deviendrait nulle lorsque x — o, et deviendrait encore nulle lorsque x= ~. Or, pour cette dernière valeur de x, la quantité v doit devenir /( t ); on aura donc

(7) p=-/(0 -(-^ «i e-'1' sin î'j? ;

il reste à déterminer sous le signe ^ la fonction a, en sorte que l'équation différentielle soit satisfaite, et que la valeur de v se réduise à zéro lorsqu'on fait / = o; car, dans cette question, les températures initiales intermédiaires sont supposées nulles. Or l'équation différentielle est

ce qui donne, d'après la dernière expression de v,

(8) — ^ is a.je-iH sin ix — —f'{t) — V «2a(e^';/ shu'.r -+- V -~e-'2'siru./ : donc l'équation différentielle sera satisfaite si l'on a

(9) -./(0+2^e-"'Sin- = o.

(Test par cette condition qu'il faut déterminer la fonction a,. Or la valeur de x peut être remplacée dans cette dernière équation (8) par

l'expression connue

^ sin ix