I > ; COS

on a

sin«.r

cos;

sm/.r

2 v^ sin

cosiTï = o;

par conséquent la constante c est égale à/(o); donc l'expression cherchée de v est

cos«r

sm<.r

/(o)+ I* e*'f'(r)dr

On parvient ainsi à résoudre la seconde question que nous avons énoncée; quant à la troisième, elle se rapporte à la seconde, puisque les températures respectives des extrémités o et - sont, pour la seconde, zéro etf(t), et pour la troisième, ?(/) et o. La solution de celle troisième question est exprimée comme il suit :

S1IW.T

71 — X 2 ^ Slll

/ e'":,,cp'

(r)dr

formule qui dérive aussi de la précédente (i i) en substituant « — x au lieu de .r.

Si l'on réunit les trois résultats précédents, on trouve pour solution générale la formule donnée par l'équation (i). La première ligne se rapporte à la seconde question, la deuxième ligne à la troisième question, et la troisième ligne à la première question.

Quoique l'on puisse en effet parvenir à la solution en déterminant corn me on vient de le faire la fonction inconnue a, sous le signe ^< on peut dire que ce procédé n'éclaire point assez la question, en ce que l'on ne voit pas d'abord qu'il doit nécessairement conduire à la solution. Il ne sera point inutile, dans une matière encore nouvelle.

d'envisager les mêmes résultats sous divers points de vue, et surtout d'indiquer la route que l'on a suivie effectivement pour découvrir la solution; l'article suivant fait connaître comment on s'est dirigé dans cette recherche.

Principe dont on a déduit la solution générale.

La question principale se réduit à trouver l'expression v de la température lorsque, la première extrémité du prisme, au point o, étant retenue à la température zéro, la seconde extrémité, au point-, est assujettie à la température variable/(/); car il suit évidemment des principes de la Théorie que la superposition des trois états du prisme indiqués dans l'article IV donnera la solution générale. Concevons que le point o est retenu à la température zéro, et que la température du point -n; change par degrés. Si cette température du point tt était fixe et égale à b, la question n'aurait aucune difficulté, comme nous l'avons remarqué (art. V); l'objet de la recherche se réduit donc à trouver le changement qu'il faut apporter à la solution exprimée par l'équation (G) pour que cette solution représente l'état variable qui se formerait si la température du point -, au lieu d'être constante et égale à b, était représentée par f{t). Supposons que le temps T soit partagé en une multitude

de parties tit /,, t3, On assujettit d'abord l'extrémité o du prisme

à la température zéro, et l'extrémité - à une température fixe b; on détermine l'état où le solide est parvenu après le temps /,. On considère ensuite cet état que l'on vient de déterminer comme l'état initial où se trouve le solide lorsqu'on commence li assujettir la seconde extrémité r. il une autre température fixe b, -h b.,. Cette second»! disposition subsiste pendant le temps t., ; et, pendant ce même temps t2, la première extrémité o demeure assujettie à la température zéro; on détermine l'état où le prisme est parvenu à la fin du second temps t2, et l'on considère ce dernier état comme l'état initial du système au commencement du temps /.,. On assujettit, pendant cette durée /:!, les

extrémités o et - aux températures respectives zéro et /;, -f- b, + ba ; on détermine encore l'état du système à la fin du temps /:i; et L'on continue ainsi de considérer comme état initial celui que l'on a déterminé par l'opération précédente; on augmente d'une nouvelle partie la température fixe à laquelle l'extrémité est assujettie et l'on suppose que cette disposition dure pendant une nouvelle partie du temps; il est manifeste que l'on parviendrait ainsi à connaître l'état qui aurait lieu après le temps total *, -h t2-\- t3 -+- th -h Il ne reste plus qu'à supposer que les accroissements progressifs de la température de la seconde extrémité sont infiniment petits, ainsi que l'élément du temps dt, et que la valeur de l'accroissement est f'(t)dt. Il faut examiner attentivement les résultats de ce calcul.

Application de ce principe, calcul.

Le système des températures initiales dans tous les points intermédiaires du solide, depuis o jusqu'à -, étant exprimé par F(a?), si les extrémités o et tz sont respectivement assujetties pendant un temps donné aux températures fixes zéro et b, l'état du solide à la fin du temps 0 sera exprimé ainsi

(i3) Vq= 7 e~'!°siniJ7 / sin^a ¥(a)\dx;

7i 71 ^J Jn l 77 J

cette solution résulte évidemment des principes connus. L'état final et

invariable dont le système s'approche continuellement est — > et la différence entre ce dernier état et le premier <p(a?) diminue continuellement et finit par s'évanouir. Cette altération progressive de l'état initial représenté par — F (a?) s'opère suivant la loi que l'on observerait si, dans un prisme dont les températures initiales sont données, on assujettissait chacune des extrémités à la température fixe zéro. Nous supposerons maintenant dans tout ce qui suit que les tempéra-

turcs initiales des points du prisme qui ont été désignées dans l'équation (i3) par la fonction F sont nulles, et que les extrémités o et - sont retenues pendant le temps 0 à des températures fixes, savoir : zéro au point o, et b au point -; on omettra donc dans l'équation (i3) le terme F(a) et l'on trouvera

, ,, ,~ bx 2 V1 -n ■ ■ f l bat. ■ ■ i

et si l'on effectue l'intégration / — sin/ar/a, afin de développer sous le signe V, on aura

(i5) Vo= - — (e^8sin.r — j e 2"° sin2.r -f- {e^3'0 sin3„r — . . .);

on appliquera cette équation (i5) au cas où le temps écoulé est désigné par /, et la température fixe du point ~ par b{, et l'on aura

(16) Y t = — ^—^-(e-'i s'mx — \ e"2°''i sin 2.2; -+- { e~îUi sin 3 x — . . .).

On considère maintenant l'état exprimé parVf< comme un état initial donné, et l'on assujettit, pendant le temps /.,, les deux extrémités o et r. aux températures respectives zéro et b, + b2; il est facile de connaître l'état qui sera formé à la fin du temps total /, + i.2. Il faut, dans la formule précédente (i3), écrire bK -h b., au lieu de b, l.2 au lieu de 0, et remplacer la fonction F(a) qui se rapporte à l'état initial par la fonction que l'on trouve en écrivant dans Yti, au lieu de œ, la quantité auxiliaire a. On aura donc, en désignant parVifi+r) l'expression de l'état variable à la fin du temps total t, 4- l.2,

, •> ,r i>iX b,x 2 ^ .,, . . C^ I bxy. b.,x ,A . . .

(17) Vltt+h)= — + — --2ie-">smia:J {—- + -Wjsuuarfa,

et il faut mettre pour W sa valeur

— i— ^r"(e-'3 sin a — l e~2":'. sin 2 a + j e~r~c< sin 3 a — . . .);

il en résulte premièrement qu'une partie de la valeur cherchée de

'V.+f.) est

b*x 2 v^ »... C b,a . . , > e-'~li s\nur I — simada.

Cette partie exprime, d'après l'équation (i 4), l'état où serait le même solide après le temps t2 si, au commencement de ce temps t.2, les températures des points intermédiaires, de o à tc, étant supposées nulles, on assujettissait les deux extrémités pendant le temps t., aux températures respectives o et b2.

L'autre partie de la valeur de V(ri+rj paraît d'abord plus composée, elle a pour expression

(18) — — — - 7 s\nixe-iHi f — sint'a<ia(e-'> sina — .i<?"'2^isiii2aH-{e~:JÎ'. sin3a — ... );

il faudrait donc prendre pour i tous les nombres entiers et effectuer les opérations indiquées.

Or il faut remarquer que, si ietj sont des nombres entiers différents,

l'intégrale définie / siniasinyaefa a toujours une valeur nulle, ce

qu'il est facile de vérifier, et ce que nous avons démontré plusieurs fois dans le cours de nos recherches; mais, si les nombres i et y sont les mêmes, l'intégrale n'est point nulle : sa valeur est ~tz. Nous supposons ces propositions connues. Il en résulte que, pour combiner toutes les valeurs de i avec celles qui proviennent de la série

e~lt sina — \ e~2il* sin2a + i e 3!'i sin3a — . . .,

il faut omettre toutes les combinaisons pour lesquelles le coefficient i

sous le signe / dans sine a est différent du coefficient de a dans un

facteur sin/a qui appartient à un terme de la série; et, comme on doit prendre la somme des exposants de e dans les deux termes combinés, on trouve que la seconde partie de la valeur de V(fi+fl) est

&,£: î*i [e-Ctt+V Sin.r — i e-2S< '.+'.) sin2.r 4-le-9i(',+'.) sin3x — . . . |;

on forme ainsi l'expression complète de la température du solide après le temps /, -+- t.,

V(, +t,)= b*- — (c-'i sin.r — \ e 2*'>sin2a; + ie-3,/> sin3 jt — . . .)