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+ bt- — ^-i re-t'.+'3) sin.r — ie-2!C+'.» sinax + ie-3J«,+o sin3a; — . . .],

et l'on voit que la seconde partie représente, d'après l'équation (i4 ), l'état où le système des températures se trouverait si, les valeurs initiales de ces températures étant supposées nulles, on assujettissait pendant le temps total /, -4- t., les deux extrémités o et tc du prisme à des températures fixes, savoir : zéro pour l'une au point o et, pour l'autre, b, au point it.

11 faut maintenant considérer cette valeur de V(,i+tj) comme exprimant un état initial et assujettir l'extrémité ic pendant une nouvelle partie t3 du temps à la température fixe b, -+- b., + b:i, l'extrémité o étant toujours retenue à la température zéro. Dans l'équation générale (i3), on fera 0 = /., et b = b{ -+- b., + />:!, et l'on prendra pour F(a) la valeur de V(,+f ) dans laquelle on écrira a au lieu de ce. On aura donc, en désignant par V(,i4.f,,,a) l'expression de la température à la fin du temps total /, + /, + /;,,

i V(il+/l+l,,= b{ - + b2- + b3-

/ — - > e-'5'3 sin ix 1 si ti t'a <r/cc ( b. — -+- b> — h b, - — Wa | .

On désigne ici par Wa l'expression de V(f(+f)) dans laquelle on écrit a au lieu de x. On voit d'abord qu'une première partie de la valeur cherchée

^ __ — \ e-'^sin l'a? / b3- sinixdx.

C'est, d'après l'équation (i4)> l'expression de l'état où le prisme se trouverait après le temps /:t si, en supposant les températures initiales

nulles, on retenait les deux extrémités o et -, et pendant le temps /.,, à des températures fixes, savoir : zéro au point o, et b3 au point -. Il reste à connaître les autres parties de la valeur cherchée. Or Wa

contient les deux termes b.,-i b.-> ce qui détruit deux des termes

places à la suite de / siiuar/a; on a donc seulement à considérer

■A cette expression

-4-- — -(<?-'= sin a — |e~2î'jsin2a -1-...) -+- — («-(«."-+-V sin a — \ e-|Vl.-»-V sin 2 a 4- . . . )

On doit donner au nombre entier i toutes ses valeurs possibles, et combiner chacun des termes qui en proviennent avec chacun des termes des deux séries placées à la suite. Lorsque la valeur de i diffère du coefficient de a dans un terme de la série, il faut omettre le résultat, parce que sa valeur est nulle; mais, si le nombre i est le même que le coefficient de a, la valeur de l'intégrale est ~tt. On aura donc, en ajoutant les exposants de e, l'expression

l — -ôt[e-(|.+l.)siûJ? — Je-*<V-'i)sin2.r + |e-3î«,+'3> siaSx — ...] I — - by [«-('.+'»■«.' sin x — \ «-»*«.+*•+«•> sin 2 x -+- J e-Wi+'^'J sin 3x — . . .].

Par conséquent, la valeur complète de V(,i+,ï4.,s) est ainsi exprimée :

I V(t+ti+ti) = -h b3- ■ — ^(e-'3sin.r — \e--il^ sin 2^ +.

! b%- — — -[e-^^' s'mx — |e-2S<'»4'3> sin 20- -+-..

6j- — ^-i[e-C+'a+'3'sina; — i e-^'.+V"») sin 2 a? +

On formerait par le même procédé la valeur complète de V(,i+n^3+0. On aurait ainsi l'expression de l'état où le solide serait parvenu après une

nouvelle portion du temps tA si, à partir de son état à la fin du temps total tx -h t2 + /.,, on augmentait d'une nouvelle quantité bA la température de l'extrémité tc, et si, pendant cette nouvelle partie du temps /,, l'extrémité o étant toujours retenue à la température zéro, l'extrémité était retenue à la température bt +■ b2 -h b3 -h b,,. La loi qui détermine les états successifs du solide est manifeste; elle donne les conséquences suivantes, que nous rapporterons par exemple à l'équation (22).

Conséquence remarquable .

Si l'extrémité tx eût été assujettie à la température fixe bs pendant le temps /, 4- /2 4- l3, et que les températures initiales eussent été nulles, le point o étant retenu a la température zéro, l'état du solide, après le temps, t,-\-t2 -M;i, serait représenté par la troisième partie de la valeur deV(,i+fs+r>). Si, pour le même solide, dont on suppose toujours les premières températures nulles et l'extrémité o à la température fixe zéro, l'autre extrémité tc eût été retenue pendant le temps t2-h t3 à la température fixe b2, l'état du système à la fin du temps t2-t- t3 serait représenté par la seconde partie de la valeur de Y(ti+ti+Ca). Enfin, la première partie de cette valeur représenterait l'état du même solide à la fin du temps t,-\- t2-+- t3, si, les premières températures étant encore supposées nulles, on eût assujetti pendant ce temps t3 l'extrémité tc à la température b3. Ainsi l'état du solide après le temps total t{ 4- t2-sr t3 est tel qu'il résulterait de trois causes séparées qui s'appliqueraient à un même prisme dont les premières températures seraient nulles; et ces causes partielles sont : la partie b{ de la température, agissant pendant le temps /, 4- t., 4- /.,, la partie b2, agissant pendant le temps t2 4- t3, et la partie b3, agissant pendant le temps t3 seulement. Ainsi chaque portion de la température appliquée à l'extrémité tc produit son effet comme si elle était seule, et à raison du temps total pendant lequel elle a subsisté. Cette conséquence générale se trouve vérifiée par le calcul; et la

loi qu'elle exprime nous conduira sans aucune incertitude à la solution cherchée.

En effet, la valeur de V(fi+fj+fj+f< ,...) après un temps indéfini est ainsi composée :

-+- bt - — — re-(<,+'.+'3+',4---'-,sinj" — ie-2if'.-K+'s+'l+-)sjn2^ + . . . | - t: L - J

[e-(*I+i,+i<+...)sina; — ie-22('»+'3+V--)sin2.z: -+-...]

' + 63- — — [e-(l3+t*+-) sinx - le-s'C+V»--) sinaa; +...]

.r ^rr((]+...,sinr

.Le-22(«,-i-...)