OC

z/(°) ~~ £/(°) (e-Tsina; — -J-e-2ÎTsin2.r + ie-3iTsin3^ 4- . . .); donc la valeur complète de VT est ainsi exprimée

7(o) + /" f\t)di

ùnœ f(o) + f f'(t)e'dt\ — ie-22Tsiii2.r /(o) + f f'(t)e*udt -+-Ae-31Tsin3a: /(o)+ f f'(t)e*cd't

Le premier terme /(o) -f- j f'(i)dt est la valeur de/(T), et, si l'on

fait T = o dans l'expression de VT, on trouve, pour les températures initiales du système,

— J (°) — z /(°) (s'n,r — |sin2a; + {sin3a? — £sin4a? + -|sin5a; — . . .),

quantité qui se réduit à zéro, parce que la valeur connue de la série est ia?; ainsi les températures initiales sont en effet nulles, comme

l'exige le calcul.

Solution générale.

Si, dans la même hypothèse des températures initiales nulles, on suppose que c'est l'extrémité - qui est retenue à la température constante zéro, tandis que le point o à l'origine est assujetti à une tempé- II. 22

17o SUR LA THÉORIE ANALYTIQUE

rature variable o(7), on résoudra par les mêmes principes cette seconde (jiiestion; et l'on déduit aussi la solution de l'équation (24) en écrivant t. — ce au lieu de x, ce qui donne, en désignant par UT la température variable qui convient à celte seconde question,

(o) -h I o'(/)e'dt\ 1 0 J

— \e~ 2'Tsin2.r cp(o) -+- I cp' 4-|e-3ÎTsin3.r cp(o) -h /

(t)ci"-'dt y'(t)esttdt

L'expression de UT sera ainsi représentée

;„> Dl=«^T(T)-2 2«-

dt

Quant à la valeur de Y,., elle prend cette tonne :

(27) vt=-/(t;

COSJ7: sini.r

/(o) + /' f'{t)e^dt

(les valeurs de VT et Ur deviennent nulles pour / = o, quelle que soit la distance ce; elles conviennent l'une et l'autre au cas où les températures initiales des points intermédiaires, de o à û, sont supposées nulles. Si l'on détermine séparément, comme nous l'avons dit (art. IV), l'état variable d'un prisme égal aux deux précédents, dont les températures initiales, pour tous les points intermédiaires, sont représentées par une fonction quelconque '\>{x), et dont les extrémités o etsont retenues à la température zéro, on trouve, en désignant par WT l'expression de l'état où le solide est parvenu après le temps écoulé T :

'!(/•) sin/V dr

11 ne reste plus qu'à réunir les solutions des trois questions séparées, et l'on a

(29) Vt + Ut + Wt.

Ce sont les trois parties de la température cherchée, qui avait été désignée par WT dans les articles I, II, On doit mettre pour VT, Ur, WT

leurs valeurs exprimées par les équations (26), (27), (28), et l'on reproduit ainsi l'équation (1), qui donne la solution complète de la question proposée. Elle fait connaître quel est, après le temps écoulé T, l'état du prisme dont les températures initiales aux points intermédiaires, de o à tc, sont exprimées par ty(r), et dont les extrémités o et sont assujetties aux températures variables, <p( '/) au point o, et /( 1 1 au point -.

On a prouvé que la valeur de Vr satisfait : i° à l'équation à différences partielles du mouvement de la chaleur; 20 à l'état initial ; 3° aux conditions des extrémités. On a donc établi la vérité de la solution; on a montré aussi (art. V) comment on parviendrait à cette solution en déterminant sous le signe ^ une fonction inconnue qui satisfait aux conditions proposées. Enfin, on a exposé dans les articles VI, VII, VIII, IX, X les considérations qui ont fait découvrir la solution, ce qui complète l'analyse de la question.

I. Pour ne pas différer la publication de ce nouveau Volume, on n'y comprend que la première Partie du présent Mémoire; les autres Parlies ne tarderont pas à être imprimées : je vais indiquer les matières qui y sont traitées.

II. Le second paragraphe contient l'exposé des conséquences principales de la solution qu'on vient de rapporter. En examinant la formule générale (1), on reconnaît d'abord que la partie du phénomène qui dépend de l'état initial du système change continuellement; cette partie de l'effet produit s'affaiblit de plus en plus, à mesure que le

( «'in ps augmente. Ainsi, lorsqu'il s'est écoulé un temps assez considérable, la disposition initiale, qui esl une cause contingente, et que l'on doit regarder comme fortuite, a cessé d'influer sur l'état du système; cet état est celui qui aurait lieu si la disposition initiale était différente. Il n'en est pas de même des causes toujours présentes qui agissent aux extrémités, ou qui dépendent du principe de la communication de la chaleur; elles règlent à chaque instant le progrès du phénomène. Ces conséquences dérivent d'un principe cosmologique qui se présente de lui-même, et qui s'applique à tous les effets de la nature. Mais non seulement l'Analyse mathématique le confirme; elle montre aussi, dans la question actuelle, par quels progrès insensibles et suivant quelle loi l'effet de la disposition primitive s'affaiblit, jusqu'il ce qu'il disparaisse entièrement.

On a ensuite appliqué, dans ce même paragraphe, la solution générale aux deux cas les plus différents, savoir : i° celui où les fonctions qui règlent les températures des deux extrémités sont périodiques, el 2° au cas où ces fonctions sont du nombre de celles qui changent par des différentiations successives, et tendent de. plus en plus à devenir constantes, ou le deviennent en effet comme les fonctions algébriques.

Dans le premier cas (celui des fonctions périodiques), le calcul exprime de la manière la plus distincte les changements successifs que subissent les températures, et l'état final du système, qui est évidemment périodique. Cette solution confirme celle que j'ai donnée autrefois pour représenter les oscillations de la chaleur solaire dans l'enveloppe du globe terrestre.

Dans le second cas, les résultats ne sont pas moins remarquables, et l'analyse en est très simple. L'état final n'est plus périodique; il a un caractère particulier, qu'il est facile de reconnaître parce que toutes les intégrations peuvent être effectuées.

III. La troisième Partie du Mémoire est historique; elle contient d'abord rémunération des premières recherches qui, ayant pour objet les propriétés de la chaleur, ont quelques rapports avec la théorie que j'ai formée. Il m'a paru utile d'indiquer toutes les recherches anté-

rieures. Voici les Ouvrages que j'ai cités principalement. On a rappelé quelques passages du Livre des Principes mathématiques de la Philosophie naturelle; car il était dans la destinée de ce grand Ouvrage d'exposer, ou du moins d'indiquer les causes des principaux phénomènes de l'univers. J'ai dû citer aussi un autre Ouvrage de Newton, qui intéresse plus directement la Théorie mathématique {Tabula calorum). On rappelle ensuite une expérience assez remarquable, quoique très imparfaite, d'Amontons; les expériences peu précises, mais nombreuses, de BuiFon et les vues générales de ce grand écrivain sur l'état primitif du globe terrestre; puis un Traité important et très peu connu de Lambert, l'un des plus célèbres géomètres de l'Allemagne. De là, on passe à des Mémoires d'Eulcr, d'Emilie du Châtelet, de Voltaire, imprimés dans la Collection de l'ancienne Académie des Sciences de Paris; car cette illustre compagnie n'a jamais perdu de vue l'étude mathématique des lois de la propagation de la chaleur et l'avait proposée aux géomètres dès 1738. J'ai cité ensuite un Mémoire remarquable de MM. Laplace et Lavoisier; les recherches de M. Leslie; celles du comte de Rumford; les Ouvrages de M. le professeur Prevot, et un Ecrit de M, Biot, inséré dans un Ouvrage scientifique.

Je n'ai pas borné cette énumération aux recherches expérimentales. Il n'était pas moins utile d'indiquer les résultats analytiques antérieurs qui ont quelques rapports avec la Théorie de la chaleur. Dans ce nombre, il faut surtout remarquer une série très simple donnée par Euler, celles que Daniel Bernoulli appliquait à la question des cordes vibrantes, et une formule que Lagrange a publiée dans ses Mémoires sur la propagation du son.

Les découvertes capitales de d'Alembert sur l'intégration de certaines équations différentielles, et surtout son analyse de la question des cordes vibrantes, avaient ouvert une carrière nouvelle, qui fut agrandie par les recherches d'EuIer et de Lagrange. Cette question diffère beaucoup de celle de la distribution de la chaleur; mais les deux théories ont des éléments communs, parce que l'une et l'autre sont fondées sur l'analyse des différences partielles.

17V SUR LA THÉORIE ANALYTIQl E

J'ai ajouté à ces citations celle d'un Mémoire posthume d'Euler, beaucoup moins connu que les précédents, et qui m'a été indiqué par notre savant Confrère, M. Lacroix. Cet écrit a été publié par l'Académie de Pétersbourg, onze ans après la mort d'Euler. Il contient une formule qui dérive de l'emploi des intégrales définies, mais sans aucun examen de la convergence des séries, de la discontinuité des fonctions, ou des limites de la valeur de la variable.

Quoi qu'il en soit, on peut conclure de ces remarques que les principes de la Théorie analytique de la chaleur, loin d'être opposés à ceux que les géomètres avaient employés dans d'autres recherches, s'accordent avec plusieurs résultats précédents. Ceux que l'on vient de citer sont des cas particuliers et isolés d'une analyse beaucoup plus étendue, qu'il était absolument nécessaire de former pour résoudre les questions, même les plus élémentaires, de la Théorie de la chaleur. J'ai indiqué aussi, en terminant cette énumération, l'analyse dont M. Laplace s'est servi dans ses recherches sur l'attraction des sphéroïdes. Cette analyse, convenablement modifiée, a des rapports remarquables avec celle qui convient à certaines questions du mouvement de la chaleur. Voilà, autant que j'ai pu les connaître jusqu'ici, les principales formules analytiques dont la publication a précédé mes propres recherches, et qui ont quelque analogie avec les questions que j'ai traitées. Je me borne ici à rappeler ces premiers résultats, laissant aux géomètres et à l'histoire des sciences le soin de les comparer avec la théorie que l'on possède aujourd'hui. 11 sera.nécessaire, si l'on entreprend cette discussion, de consulter les derniers Ouvrages publiés par Lagrange, et une Note de ce grand géomètre, insérée dans ses Manuscrits appartenant aux Archives de l'Institut de France.

Le caractère principal des nouvelles méthodes d'intégration que j'ai ajoutées à l'analyse des did'érences partielles est de s'appliquer à un grand nombre de questions naturelles très importantes, que l'on avait tenté inutilement de résoudre par les méthodes connues. Celles que j'ai données conduisent à des résultats simples, qui représentent clairement tous les détails des phénomènes.

Dans ce troisième paragraphe du Mémoire, on considère la nature des équations déterminées qui appartiennent à la Théorie de la chaleur, et l'on a joint à cette discussion quelques remarques sur l'emploi des fonctions arbitraires.

Les exposants des termes successifs des séries qui expriment le mouvement variable de la chaleur dans les corps de dimensions finies sont donnés par des équations transcendantes, dont toutes les racines sont réelles. Il ne serait point nécessaire de démontrer cette proposition, qui est une conséquence, pour ainsi dire évidente, du principe de la communication de la chaleur. Il suffit de remarquer que ces équations déterminées ont une infinité de racines; car ces racines ne peuvent être que réelles; s'il en était autrement, les mouvements libres de la chaleur seraient assujettis à des oscillations, ce qui est impossible sans l'action de causes périodiques extérieures.

Il était utile de considérer aussi la proposition dont il s'agit comme un théorème abstrait, fondé sur les seuls principes du calcul; et je l'ai présentée sous ce point de vue dans différentes recherches. Mais, celte question n'ayant pas été examinée avec une attention suffisante, on a contesté la vérité de la proposition fondamentale. On a soutenu, pendant plusieurs années, que ces équations transcendantes ont des racines imaginaires; et l'on a cherché à le prouver de différentes manières. Os objections ayant été réfutées, on a enfin reconnu que la proposition est vraie, et l'on se borne maintenant à en proposer diverses démonstrations. En effet, ce théorème a cela de commun avec la plupart des vérités mathématiques qu'étant une fois connues, on en peut aisément multiplier les preuves.

En rappelant cette discussion dans une partie de mon Mémoire, j'ai eu principalement pour objet de faire connaître toute l'étendue de la proposition, et de remonter au principe dont elle dérive.

Si l'on considère, par exemple, une suite d'enveloppes concentriques, de dimensions et de formes quelconques; si l'on donne à ces vases, quel qu'en soit le nombre, des températures initiales arbitraires, et, ce qui augmente beaucoup la généralité de la question, si l'on attribue

des capacités spécifiques quelconques aux liquides contenus dans ces vases, en supposant aussi que les facultés conductrices des enveloppes sont arbitraires, depuis le premier vase jusqu'à l'enveloppe extérieure, qui communique à l'air, entretenu à la température zéro, la question du mouvement de la chaleur dans ce système de vases est très composée; tous les éléments en sont arbitraires. Or on prouve, et même sans calcul, que les racines des équations déterminées qui conviennent à ces questions sont toutes réelles. Il suffit, pour le conclure avec certitude, de considérer la suite des variations de signes que présentent les valeurs des températures, et les changements qui surviennent dans ce nombre des variations, depuis l'état initial du système jusqu'à l'état final dont il s'approche de plus en plus pendant la durée infinie du phénomène.

Au reste, dans chacune des questions du mouvement de la chaleur, ce théorème sur la nature des racines se déduit aussi de l'analvse gênéraie des équations.

L'application que j'ai faite de cette analyse a donné lieu {Journal de V Ecole Polytechnique, XIXe Cahier, p. 382, 383) à des objections qu'il m'avait paru inutile de réfuter, parce qu'aucun des géomètres qui ont traité depuis des questions analogues ne s'est arrêté à ces objections; mais, comme je les trouve reproduites dans le nouveau Volume de la collection de nos Mémoires (nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences, Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques. t. VIII, p. 367), cette réfutation est devenue en quelque sorte nécessaire; je l'ai donc insérée dans un Article du présent Mémoire. Elle a pour objet de prouver que l'exemple cité par M. Poisson (Journal de l'École Polytechnique, XIXe Cahier, p. 383), en alléguant que, dans ce cas, l'application du théorème serait fautive, donne au contraire une conclusion conforme à la proposition générale.

L'erreur de l'objection provient : i° de ce que l'auteur ne considère

point le nombre infini des facteurs égaux de la fonction rrou ( 1 H ] >

où h- nombre « est infini; 2" de ce qu'il omet dans l'énoncé du théo-

rème le mot réel, qui en exprime le véritable sens. (Voir Théorie delà chaleur, p. 33;, et aussi p. 344» a,,t- 312.)

Les théorèmes de l'analyse des équations déterminées ne sont nullement restreints aux équations algébriques; ils s'appliquent à toutes les fonctions transcendantes que l'on a considérées jusqu'ici, et spécialement à celles qui appartiennent à la théorie de la chaleur. Il suffit d'avoir égard à la convergence des séries, ou à la figure des lignes courbes dont les limites de ces séries représentent les ordonnées. En général, les théorèmes et les méthodes de l'Analyse algébrique conviennent aux fonctions transcendantes et à toutes les équations déterminées. Le premier membre peut être une fonction quelconque. Il suffit qu'elle soit propre à faire connaître les valeurs de la fonction correspondantes aux valeurs de la variable, soit que ce calcul n'exige qu'un nombre limité d'opérations, soit qu'il fournisse seulement des résultats de plus en plus approchés, et qui diffèrent aussi peu qu'on le veut des valeurs de la fonction.

Il y a des cas où la résolution exige que l'on considère toute la suite des fonctions dérivées : il y en a une multitude d'autres où l'examen d'un nombre très limité de fonctions dérivées suffit pour rendre manifestes les propriétés des 'courbes que ces fonctions représentent, et pour déterminer les racines. On y parvient, ou par la seule comparaison des signes, ou, pour d'autres cas, par la séparation successive de certains facteurs dans les équations dérivées. La recherche des limites, les relations singulières du nombre des variations de signes avec les valeurs des racines, le théorème dont la règle de Descartes est un cas particulier, et qui s'applique, soit aux nombres des variations de signes, soit aux différences de ces nombres, enfin les règles pour la distinction des racines imaginaires, s'étendent certainement à tous les genres de fonctions. Il n'est pas nécessaire qu'en poursuivant les différentiations on puisse toujours former une équation dont on sait que toutes les racines sont réelles. Ce serait retrancher une des parties les plus importantes et les plus fécondes de l'art analytique que de borner les théorèmes et les règles dont nous parlons aux seules fonctions algé-