II

briques, ou d'étendre seulement ces théorèmes à quelques cas particuliers. La considération des courbes dérivées successives jointe au procédé que j'ai donné (Bulletin de la Société philomathique, année 1820, p. i85, 187), et qui fait connaître promptement et avec certitude si deux racines cherchées sont imaginaires ou réelles, suffit pour résoudre toutes les équations déterminées.

Je regrette de ne pouvoir donner à ces remarques théoriques les développements qu'elles exigeraient. J'ai rapporté plusieurs éléments de cette discussion dans la suite de ce Mémoire; elle sera exposée plus complètement dans le Traité qui a pour objet l'analyse générale des équations déterminées.

J'ai ajouté à cette même Partie du Mémoire quelques remarques sur la question du mouvement des ondes; elles se rapportent aussi à la théorie analytique de la chaleur, parce qu'elles concernent l'emploi des fonctions arbitraires. Le but de ces remarques est de prouver que la question des ondes ne peut être généralement résolue si l'on n'introduit pas une fonction arbitraire qui représente la figure du corps plongé.

Les conditions que supposent les équations différentielles propres à cette question, et les conditions relatives aux molécules de la surface, n'empêchent aucunement l'emploi d'une fonction arbitraire. Ces conditions s'établissent d'elles-mêmes, à mesure que les mouvements du liquide deviennent de plus en plus petits par l'effet des causes résistantes. Le calcul représente ces dernières oscillations, qui s'accomplissent pendant toute la durée du phénomène après que les conditions sont établies. C'est toujours sous ce point de vue qu'il faut considérer l'analyse des petites oscillations, car les résistances dont on fait d'abord abstraction subsistent dans tous les cas, et finissent par anéantir le mouvement; mais il est nécessaire de ne point particulariser l'état initial.

En effet, l'état qui se forme après que la continuité s'est établie dépend lui-même et très prochainement de la disposition initiale, qui est entièrement arbitraire. La continuité est compatible avec une

infinité de formes qui différeraient extrêmement du paraboloïde; et l'on ne peut pas restreindre à cette dernière figure celle du petit corps immergé sans altérer, dans ce qu'elle a d'essentiel, la généralité de la question. Dans le cas même du paraboloïde, l'état initial du liquide est discontinu, et les premiers mouvements diffèrent de ceux que le calcul représente.

En répondant, il y a quelques années, à des observations que M. Poisson a publiées au sujet d'un de mes Mémoires {Bulletin des Sciences, Société philomathique, année 1818, p. 1 29-1 33), je n'ai pu me dispenser de remarquer que, pour satisfaire à l'étendue de la question des ondes, il faut conserver une fonction arbitraire; et j'ai dû contredire cette proposition que, quelle que soit la forme du corps plongé, s'il est très peu enfoncé, on peut remplacer ce petit segment par le paraboloïde oscillateur. Il est certain, en effet, que cette substitution de la parabole à une figure quelconque ne peut conduire qu'à un résultat très particulier. Si l'on ajoute présentement {Nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences, t. VIII, Note sur le problème des ondes, p. 216-217) que c'est la condition de la continuité à la surface qui donne lieu à cette restriction, la conséquence n'est pas plus fondée, parce qu'il y a une infinité de cas où la continuité subsiste, quoique la figure du corps plongé s'écarte beaucoup, et dans tous ses éléments, de celle du paraboloïde. Les cas où l'auteur reconnaît maintenant que cette substitution ne serait pas permise ne se réduisent point à quelques-uns; ils sont au contraire infiniment variés, et l'analyse donne une solution incomparablement plus générale, qui n'exclut point les conditions relatives à la surface.

IV. Dans la quatrième et dernière Partie du Mémoire, on applique la solution générale, qui est l'objet du premier paragraplie, aux principales questions de la tbéorie de la chaleur. On supposera donc que la capacité spécifique, la conducibilité intérieure ou perméabilité, la conducibilité extérieure qui dépend du rayonnement et de l'action du milieu, ne sont point exprimées par des coefficients entièrement constants, mais que ces qualités spécifiques sont assujetties à des varia-

tions qui dépendent de la température, ou de la profondeur, ou de la densité; et l'on se propose de déterminer les changements que ces variations introduisent dans les formules déjà connues qui conviennent à des coefficients constants.

Or dans ces diverses questions, par exemple dans celles du prisme, de la sphère, etc., on reconnaît que le calcul peut se ramener dans les cas les plus composés à l'application de la formule générale (i), qui satisfait à l'équation différentielle du mouvement de la chaleur, et contient trois fonctions arbitraires. C'est pour cette raison que nous avons expliqué avec beaucoup de soin, dans la première Partie de notre Mémoire, la solution de cette question fondamentale.

Il est d'abord nécessaire, pour fonder la théorie, de considérer les coefficients spécifiques comme constants, et l'on peut maintenant ajouter au résultat principal un ou plusieurs termes dus aux variations qui seraient indiquées par des expériences précises. Nous avons présenté ces vues, dès l'origine de nos recherches, en 1807, 1808 ou 181 1, et nous les avons reproduites dans la Théorie de la chaleur, p. 38, 53q, 54o et 54i .

En rappelant ici ce genre de questions, on doit citer surtout un Mémoire que M. Guillaume Libri a présenté à l'Institut de France en 1825, et qui a été imprimé depuis à Florence. L'auteur, qui a cultivé avec le plus grand succès les branches principales de l'Analyse mathématique, a traité la question du mouvement de la chaleur dans Parmille, en ayant égard aux petites variations des coefficients : la méthode qu'il a suivie et les résultats auxquels il est parvenu méritent toute l'attention des géomètres. Au reste, cette recherche analytique est fondée sur les observations que l'on doit à MM. Dulong et Petit, et qui ont été couronnées par l'Académie. Elles ne sont pas moins remarquables par les conséquences théoriques que par la précision des résultats.

Nous venons d'indiquer l'objet de cette dernière Partie de notre Mémoire. La conclusion générale de ces recherches est que la Théorie analytique de la chaleur n'est point bornée aux questions où l'on sup-

pose constants les coefficients qui mesurent la capacité de chaleur, la perméabilité des solides, la pénétrabilité des surfaces. Elle s'étend, par la méthode des approximations successives, et surtout par l'emploi de la solution qui est démontrée dans le premier paragraphe de ce Mémoire, à toutes les perturbations du mouvement de la chaleur.