A IX
(Lu à l'Académie royale des Sciences, le 9 mars 1829.)
Mémoires de l 'Académie royale de< Sciences- de l'Institut de France, I. X. p. 1 19 à 146.
Paris, Didot, i83i.
Avant do traiter la question qui est l'objet principal de cette Note, je discuterai, dans un premier article, une objection proposée plusieurs fois par M. Poisson, et que ce savant géomètre a reproduite récemment dans un Ecrit présenté à l'Académie.
Pour résoudre la question du mouvement de la chaleur dans le cylindre solide, j'ai appliqué un théorème d'analyse algébrique à l'équation transcendante propre à cette question. M. Poisson n'admet point celte conséquence. Il ne se borne pas à dire que l'on n'a point encore publié la démonstration de ce théorème en faisant connaître qu'il s'applique aux équations transcendantes : il soutient que l'on arriverait ;» une conclusion fausse si l'on étendait cette proposition à l'équation exponentielle
(1) e' — bertx—<>.
Il assure que, si l'on lait, dans ce cas, l'application littérale du tbéo- II. 24
rème, on trouve que l'équation (i) et ses dérivées ont toutes leurs racines réelles; et, comme il est évident que cette équation a des racines imaginaires, l'auteur en conclut que la proposition conduirait ici à une conséquence erronée. Je me propose : i° de discuter cette objection spéciale, et de montrer qu'elle n'a pas de fondement; 2° de prouver que le théorème dont il s'agit s'applique exactement à l'équation transcendante propre au cylindre.
En général, cette proposition, exprimée dans les termes dont je me suis servi, doit s'étendre aux équations transcendantes; en sorte que l'on commettrait une erreur grave en restreignant le théorème aux équations algébriques.
Dans ce premier article, qui se rapporte à l'équation citée (i), je montrerai que le théorème n'indique nullement que cette équation (i) n'a point de racines imaginaires. Au contraire, il fait connaître qu'elle n'est pas du nombre de celles qui réunissent les conditions que le théorème suppose, et qui distinguent les équations dont toutes les racines sont réelles.
M. Poisson a présenté, pour la première fois, cette objection dans le XIXe Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique , p. 382. Il ne citait point le théorème dont j'ai fait usage, mais une proposition très différente, puisqu'il y omet une condition qui en est une partie nécessaire, et qu'il ne regardait point comme sous-entendue. La réfutation aurait donc été, pour ainsi dire, superflue; mais le même auteur a reproduit son objection plusieurs années après, et c'est alors seulement qu'il a cité la proposition dont il s'agit telle qu'on la trouve dans la Théorie de la chaleur, p. 33o et 33G.
Voici l'énoncé du théorème :
Si l'on écrit l'équation algébrique
X = o, et toutes celles qui en dérivent par la différentiation X'=o, X'=o, X"=o,
et si l'on reconnaît que toute racine réelle d'une quelconque de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signes contraires, il est certain que la proposée X = o a toutes ses racines réelles, et que, par conséquent, il en est de même de toutes les équations subordonnées
Or, en proposant l'objection dont il s'agit, on n'a point fait l'application littérale du théorème, parce qu'on a omis de considérer les racines réelles du facteur e*— o. Ce facteur coïncide avec celui-ci,
r h j = o, lorsque le nombre m croit sans limites et devient plus
grand que tout nombre donné. L'équation ex = o a donc une infinité de facteurs dont on ne doit point faire abstraction lorsqu'on entreprend d'appliquer textuellement la proposition. On ne peut pas dire
que l'équation
ex — beax = o
a une seule racine réelle et une infinité de racines imaginaires; car cette équation, qui a une infinité de racines imaginaires, a aussi une infinité de racines réelles. Or l'auteur n'emploie qu'une seule de ces racines réelles : il en omet une infinité d'autres égales entre elles, savoir celles qui réduisent à zéro le facteur ex .
Lorsque, dans ce facteur, on attribue à x une valeur réelle négative dont la grandeur absolue surpasse tout nombre donné, la fonction ex approche continuellement de zéro, et devient plus petite que tout nombre donné. C'est ce que l'on exprime en disant que l'équation
a pour racine réelle une valeur infinie de x prise avec le signe — . Une fonction telle que ex diffère essentiellement de celles qu'on ne pourrait jamais rendre nulles, ou plus petites que tout nombre donné, en attri-
huant ;i x des valeurs réelles. Lorsqu'on assimile deux fonctions aussi différentes, on doit arriver à des conséquences erronées.
On connaît encore la nature de l'équation ex= o si on la transforme
en écrivant x = — — ; car la transformée
a certainement zéro pour racine réelle, puisque la ligne dont l'équa-
tion serait y = e ': coupe l'axe a l'origine des a;'.
Pour faire l'application complète du théorème que nous avons énoncé
à l'équation
eJ — beax-=^ o,
il ne faut pas se borner à une seule des racines réelles de cette équation, mais les considérer toutes. Or, si l'on rétablit ces racines réelles auxquelles l'auteur de l'objection n'a point eu égard, on voit que la règle n'indique nullement que toutes les racines de l'équation sont réelles. Elle montre, au contraire, que cette équation ne satisfait pas aux conditions que le théorème suppose.
Pour établir cette conséquence, nous allons rappeler le calcul même qui est employé par l'auteur; et, afin de rendre les expressions plus simples, sans altérer en rien les conclusions que l'on en déduit, nous considérerons seulement l'équation
Le lecteur pourra s'assurer facilement qu'il n'y a ici aucune différence entre les conséquences qui conviennent à l'équation
e* — beax= o,
a et b étant positifs, et celles que l'on déduirait de l'équation tirs
simple
ex— e"-x—o.
Écrivant donc
X = ex — e'2x = o,
— =ex— 2neix, dxn
>«-t-l olX
rfffl+3X
-; r = eJ
et posant l'équation
tf"+' X
on en tire la valeur de r' pour la substituer dans les deux valeurs de et —
ou
-7 et , „ ', ■ Par cette élimination, on trouve
rf"X , d"^\ , .
d" X rf" 4" X et l'on détermine la valeur du produit -j-77 ^ n+ï ' <ïu' est " 2-"'rlr.
L'auteur en conclut que toute racine réelle de l'équation intermédiaire
<7"~,1X . ra+1 ? étant substituée dans l'équation qui précède et dans celle qui
suit, donne deux résultats de signes contraires : c'est cette conclusion que l'on ne peut pas admettre. En effet, si la valeur réelle de x qui rend nulle la fonction intermédiaire ex — 2n+l e2x réduit à zéro le facteur ex commun aux deux termes, cette même valeur de x étant substituée dans la fonction qui précède, savoir ex — 2V2', et dans celle qui suit, savoir ex — 2n+2e2x, réduira l'une et l'autre à zéro. Les deux résultats ne sont donc point de signes différents, ils sont les mêmes. Pour que l'un des résultats fût positif et l'autre négatif, il faudrait ne considérer parmi les racines réelles de l'équation
que celles de ces racines qui ne rendent point nul le facteur ex. Or il n'y en a qu'une seule, savoir la racine réelle du facteur
Cette racine, qui rond ex égale à -^> donne certainement deux résultats de signes opposés; mais l'application du théorème ne consiste pas à substituer dans les deux fonctions intermédiaires une seule des racines réelles de l'équation
elle exige que l'on emploie toutes ces racines, et il est nécessaire qu'il n'y ait aucune de ces racines réelles qui, étant substituée dans les deux fonctions intermédiaires, ne donne deux résultats de signes opposés. C'est ce qui n'arrive point ici; car il y a, au contraire, une infinité de valeurs réelles de x dont chacune, étant mise pour x dans les deux fonctions intermédiaires, donne le même résultat, savoir zéro.
Pour appliquer à une équation X = o la proposition dont il s'agit, il faut reconnaître avec certitude qu'il n'y a dans le système entier des fonctions dérivées aucune fonction intermédiaire que l'on puisse rendre nulle en mettant pour x une valeur réelle quelconque qui, substituée dans la fonction précédente et dans la suivante, donne deux résultats de même signe. S'il y a une seule de ces valeurs réelles de x qui, rendant nulle une quelconque des fonctions intermédiaires, donne deux résultats de même signe pour la fonction précédente et la fonction suivante, ou si l'on ne peut reconnaître avec certitude que les signes des deux résultats sont différents, on ne doit point conclure que toutes les racines de X = o sont réelles.
Donc on n'est point fondé à objecter qu'il résulterait du théorème algébrique que l'équation
a toutes ses racines réelles.
Il en est exactement de même de l'équation
ex — 6ea*= o,
où l'on suppose a et b des nombres positifs. Pour conclure que la proposition indique dans ce cas que toutes les racines sont réelles, il faudrait nécessairement omettre toutes les racines réelles du fac-
teur ex=o. Il faudrait donc démontrer que ce facteur n'a point de racines, ou qu'elles sont toutes imaginaires; et faisant, comme nous
l'avons dit plus haut, x = ^> il faudrait supposer que l'équation
transformée e x'° = o n'a point zéro pour racine réelle, en sorte que la
courbe dont l'équation est y = e "'ne rencontrerait point l'axe des x'
à l'origine O. Toutes ces conséquences sont contraires aux principes
du calcul. Au lieu de conclure que, dans l'exemple cité, le théorème
est en défaut, ce sont les expressions de l'auteur, tome VIII des nouveaux
Mémoires de V Académie royale des Sciences, il faut reconnaître que, dans
cet exemple, les conditions qui indiqueraient que toutes les racines
sont réelles ne sont point satisfaites.
Le résumé très s.imple de notre discussion est que la difficulté assignée s'évanouit entièrement si, au lieu de faire une énumération incomplète des valeurs réelles de x qui rendent nul le facteur commun ex, et par conséquent la fonction ev— beax , on considère que cette fonction devient plus petite que tout nombre donné lorsqu'on met pour a? une quantité réelle négative dont la valeur absolue devient plus grande que tout nombre donné.
Je rappellerai maintenant l'équation déterminée propre à la question du cylindre et les principes qui m'ont conduit à appliquer avec certitude à cette équation un théorème d'Analyse algébrique. L'équation qui sert à représenter le mouvement de la chaleur dans le cylindre solide est commune à plusieurs questions physiques; elle exprime les effets du frottement dans un système de plans qui glissent les uns sur les autres, et elle se reproduit dans des recherches dynamiques très variées : ainsi il est utile d'en discuter avec soin la nature.
M. Poisson a pensé que la proposition énoncée plus haut, concernant les conditions des racines réelles, ne s'applique point aux fonctions transcendantes, si ce n'est dans des cas très particuliers (XIXe (làhier du Journal de l'Ecole Polytechnique, p. 383); mais, par rapport à l'équation déterminée qui convient au cylindre, il a adopté successi-
veinent deux opinions différentes. Dans le tome VIII des Nouveaux Mémoires de l'Académie des Sciences (p. 367), après avoir affirmé de nouveau que le théorème cité serait en défaut si on l'appliquait à
l'équation exponentielle
ex — beaJC = o,
il ajoute que la règle convient cependant à l'équation
.r2 x:i xk
qui appartient à la question du cylindre. Le même auteur a énoncé une autre conclusion dans un second écrit présenté à l'Académie; il y rappelle qu'il avait d'abord pensé qu'à cause de l'accroissement des dénominateurs le théorème s'appliquait à l'équation (2), mais qu'en y réfléchissant de nouveau il a reconnu que cette conséquence n'est pas fondée.
Il serait inutile de discuter ici ces conclusions, qui, en effet, ne peuvent être toutes les deux vraies, puisqu'elles sont opposées. Je dirai seulement que l'application du théorème algébrique à la question du cylindre doit être déduite d'une analyse exacte qui exclue toute incertitude.
Quant aux principes que j'ai suivis pour résoudre les équations algébriques, ils sont très différents de ceux qui servent de fondement aux recherches de de Gua ou à la méthode des cascades de Rolle. L'un et l'autre auteur ont cultivé l'analyse des équations; mais ils n'ont point résolu la difficulté principale, qui consiste à distinguer les racines imaginaires. Lagrange et Waring ont donné les premiers une solution théorique de cette question singulière, et la solution ne laisserait rien à désirer si elle était aussi praticable qu'elle est évidente. J'ai traité la même question par d'autres principes, dont l'auteur de l'objection parait n'avoir point pris connaissance. Je les ai publiés, il y a plusieurs années, dans un Mémoire spécial (Bulletin des Sciences, Société philomathique, p. 61, années 1818, et p. i56, 1820).
J'ai eu principalement en vue, dans cet écrit, la résolution des équations algébriques; je pense que personne ne peut contester l'exactitude de celle solution, dont l'application est facile et générale. En terminant ce Mémoire très succinct, j'ai ajouté que les propositions qu'il renferme ne conviennent pas seulement aux équations algébriques, mais qu'elles s'appliquent aussi aux équations transcendantes. Si j'avais omis cette remarque, j'aurais donné lieu de croire que je regardais la méthode de résolution comme bornée aux fonctions algébriques, proposition entièrement fausse : car j'avais reconnu depuis longtemps que les mêmes principes résolvent aussi les équations non algébriques. Je pensais alors qu'il suffisait d'énoncer cette remarque. Il me semblait qu'en lisant avec attention la démonstration des théorèmes, on distinguerait assez facilement ce qui convient à toutes les fonctions et ce qui peut dépendre des propriétés spéciales des fonctions algébriques entières. Il est évident que ces dernières fonctions ont un caractère particulier, qui provient surtout de ce que les différentiations répétées réduisent une telle fonction à un nombre constant; mais les conséquences principales dont le Mémoire contient la démonstration ne sont point fondées sur cette propriété des fonctions entières. Les conclusions que l'on tire des signes des résultats, les procédés d'approximation, les conditions auxquelles il est nécessaire que ces procédés soient assujettis, la mesure exacte de la convergence, les différentes règles que j'ai données autrefois dans les cours de l'École Polytechnique pour suppléer à l'usage de l'équation aux différences, et qui conduisent toutes à distinguer facilement les racines imaginaires, les conséquences que fournit la comparaison des nombres de variations de signes en ne considérant que les différences de ces nombres, toutes ces propositions fondamentales, qui constituent la méthode de résolution, s'appliquent aux fonctions non algébriques.
Quant aux conditions données par de Gua pour reconnaître qu'une équation a toutes ses racines réelles, elles conviennent certainement ii toutes les équations, soit algébriques, soit transcendantes, qui sont composées d'un nombre fini ou infini de facteurs. Je n'ai point regardé
