SI R LA PROPAGATION DE LA CHALEUR

duc de celte distance s'élèveront graduellement et finiront par arriver à un état stationnaire, dans lequel leurs élévations seront d'autanl moins grandes qu'ils seront plus éloignés du foyer.

M. Biot a fait voir par une expérience directe (Physique de Fischer. p. Hl\) que ces élévations décroissantes forment une progression géométrique, lorsque les thermomètres sont équidistants.

C'est, en effet, ce qui doit avoir lieu si, d'après le principe connu de Newton, la perte de la chaleur dans l'air, en chaque point de la barre, est proportionnelle à l'excès de la température de ce point sur celle de l'air, et s'il en est de même à l'égard de la chaleur communiquée par une tranche quelconque de la barre à la suivante; l'expérience que nous citons peut donc servir de démonstration à ce principe, le seul que M. Fourier emprunte de la Physique, et sur lequel il appuie toute son Analyse.

Maintenant, si l'on retire le foyer constant de chaleur et que l'on abandonne la barre à elle-même, les thermomètres s'abaisseront, et l'on peut demander quelle sera, après un terme donné, la hauteur de l'un quelconque d'entre eux. On conçoit donc que la distribution de la chaleur dans un corps solide offre deux problèmes principaux à résoudre : i° ce corps étant soumis à l'action d'un ou plusieurs foyers de chaleur constante, déterminer la température de chacun de ses points, intérieurs on extérieurs, lorsque cette température sera parvenue à l'état stationnaire; 2° les foyers de chaleur étant supprimés et le corps abandonné à lui-même, ou, plus généralement, le corps ayant été chauffé d'une manière quelconque, détermine]', après un temps donné, la température de chacun de ses points, ce qui fera connaître la loi suivant laquelle s'effectue leur refroidissement.

Cette température varie avec le temps et la position du point auquel elle appartient ; elle est donc une fonction des coordonnées de ce point et du temps. M. Fourier obtient, pour la déterminer, une équation aux différences partielles, savoir

de / d^v d1 v d*v

dans laquelle v est la température, / le temps, ce, y, z les trois coordonnées rectangulaires du point, et a un coefficient constant. Cette équation convient à tous les points d'un corps homogène de figure quelconque; mais M. Fourier y joint, dans chaque cas particulier, d'autres équations qui n'ont lieu qu'à la surface, et qui servent à déterminer une partie des arbitraires qu'introduit l'intégration. La recherche de ces nouvelles équations est un point délicat de la Théorie de la chaleur, qui mérite de fixer l'attention des physiciens géomètres.

Lorsque le corps est parvenu à l'état stationnaire, les températures de tous les points sont invariahles; on a donc

ôv

-.- = o dt

et, par conséquent,

d2v à2 v d1 c ô7- + dp + dV1 ~°'

Cette équation, quoique plus simple que la précédente, n'est point encore intégrable sous forme finie.

Après avoir donné les équations générales relatives au mouvement de la chaleur et à son état stationnaire, M. Fourier considère différents cas particuliers, parmi lesquels nous choisirons le suivant, pour faire connaître les procédés d'Analyse qu'il emploie.

On demande la température des différents points d'une lame rectangulaire, d'une longueur indéfinie et d'une épaisseur constante, lorsque cette température est parvenue à l'état stationnaire.

Les côtés de la lame parallèles à la longueur sont entretenus constamment à zéro, qu'on suppose être la température primitive de la lame entière. Les points de l'une de ses extrémités sont des foyers de chaleur constante, de sorte que leur température est donnée et peut être différente d'un point à un autre. On fait abstraction de l'épaisseur de la lame et du rayonnement, en sorte que, en prenant le plan de la lame pour celui des oev, on pourra supprimer la coordonnée s, et IL 28