SUR LA PROPAGATION DE LA CHALEUR

l'équation relative à l'état stationnaire se réduira à

(P v fy- v

dx* ' a/2-0'

dont l'intégrale est

v = fond, (.a? + y\J — i ) -+- fonct.(j? — jk V^ — J )•

Au lieu de cette intégrale complète, qui a l'inconvénient de renfermer des imaginaires, M. Fourier emploie la somme d'une infinité d'intégrales particulières, savoir

p = -h (ae-"x -+- be"*) cosny -+- {a1 e~n'x -+- b' en'x) cosn'/ •+ . . . + (ke-"ix+ Bemx)smmy + (A' e~mie -t- B'em'x) cos m' y -+-...,

a, a , ..., b, b', ...; A, A', ..., B, B', ...; n, n', ..., m, m', ... étant des constantes arbitraires. Si l'on suppose, pour simplifier, la lame scmblablement échauffée de part et d'autre de la ligne qui la partage en deux parties égales dans le sens de sa longueur, et que l'on prenne cette ligne pour axe des a?, les sinus sin/wy, sinra'j, ... devront être exclus de la valeur de v. De plus, en prenant pour unité la demi-largeur de la lame, la condition qu'on ait v = o quand J = ± i, quelle

que soit la valeur de v, exige que les arbitraires n, n', n", ... soient la

,35 suite des quantités -it, -it, - u, ..., -rr désignant la demi-circonférence.

Enfin, la température devant décroître à mesure que l'on s'éloigne du foyer de chaleur constante, la valeur de v ne doit pas renfermer les exponentielles e"x, en'x, ... dont les exposants sont positifs; cette valeur deviendra donc

ii v = ae 2 cos — -+- a ' e 2 cos3 — + a e 2 cos a — -+-....

Il ne reste plus que les coefficients a, a', a", ... à déterminer; or, si l'on fixe l'origine des x au foyer de chaleur constante, la valeur de v relative à x — o sera donnée en fonction de j; soit alors v= 9(7), on aura

(2) ',(>') = a cos— - -h a'cos3 — — \- a"cos5— - H- . . . .

Multipliant do part et d'autre par cos(2?'+ i) — > et intégrant ensuit»' depuis v = — r jusqu'à y = -h i, il vient

a,— f 9(7) COS(2« -f- 1) — ^ <7j,

car il est facile de s'assurer que l'intégrale

/ COS(2i -I- l) -^- C0S(2/'+ 1) -^- dy,

prise depuis j = — 1 jusqu'à j = -h 1, est nulle, excepté dans le cas de i= ï, où elle est égale à 1. Dans quelques cas particuliers, l'intégrale définie devra être prise entre d'autres limites, sans quoi l'on trouverait at = o, pour toutes les valeurs de i.

Les coefficients a, a', a", . . . étant ainsi déterminés, M. Fourier substitue la série (2) à la fonction %(y), en observant que ces deux quantités ne sont égales que depuis y = — 1 jusqu'à y = + 1: hors de ces limites, la série ne coïncidera plus avec la fonction, à moins que les valeurs de la fonction ne soient périodiques comme celles de la série.

Maintenant la série (1) ne renferme plus rien d'inconnu; par conséquent, elle donnera la température de la lame en un point quelconque, ce qu'il s'agissait de trouver. Tous les termes décroissent à mesure que Ton s'éloigne du foyer, le premier beaucoup moins rapidement que les autres; de sorte qu'à une grande distance ceux-ci peuvent être négligés par rapport à ce premier terme, et alors on a simplement

TZ.r

v = a c 2 cos — ;

d'où il suit qu'à cette distance la loi des températures devient indépendante du mode d'échauffement du foyer.

Le cas particulier de la lame est le plus simple de ceux que M. Fourier a considérés. C'est, pour ainsi dire, une hypothèse purement mathématique, qui ne saurait avoir lieu dans la nature, et où les conditions relatives aux limites du corps sont de simples conventions.