A = <PM

Nous allons maintenant indiquer les résultats de cette solution : i° On reconnaît d'abord que le degré de réchauffement, c'est-à-dire l'excès A de la température finale de l'air intérieur sur la température de l'air extérieur, ne dépend point de la forme de l'enceinte, ni du volume qu'elle détermine, mais du rapport - de la surface dont la chaleur

sort à la surface qui la reçoit, et de l'épaisseur e de l'enceinte.

2° La capacité de chaleur de l'enveloppe solide et celle de l'air n'entrent point dans l'expression de la température finale. Cette qualité influe sur réchauffement variable, mais elle ne concourt pas à déterminer la valeur des dernières températures.

3° Le degré de réchauffement augmente avec l'épaisseur de l'enceinte, et il est d'autant moindre que la conducibilité de l'enveloppe solide est plus grande. Si l'on doublait l'épaisseur, on aurait le même résultat que si la conducibilité était deux fois moindre. Ainsi, l'emploi des substances qui conduisent difficilement la chaleur permet de donner peu de profondeur à l'enceinte. L'effet que l'on obtient ne dépend que du rapport de l'épaisseur à la conducibilité spécifique.

4° Les deux coefficients h et H, relatifs aux surfaces intérieure et extérieure, entrent de la mémo manière dans l'expression de la température. Ainsi la qualité des superficies ou de l'enveloppe qui les couvre procure le même résultat final, soit que cet état se rapporte à l'intérieur ou à l'extérieur de l'enceinte.

5° Le degré de réchauffement ne devient point nul lorsqu'on rend l'épaisseur infiniment petite. La résistance que les surfaces opposent à la transmission de la chaleur suffit pour déterminer l'élévation de la température. C'est pour cette raison que l'air peut conserver assez longtemps sa chaleur lorsqu'il est contenu dans une enveloppe flexible très mince. Dans ce cas, la température de la première surface ne diffère point de celle de la seconde, et, si elles ont la même conducibilité relative à l'air, leur température est moyenne entre celles de l'air intérieur et de l'air extérieur.

6° En comparant la température acquise par l'air intérieur à la quantité de chaleur qui sort du foyer et traverse l'enceinte, on voit que, sans augmenter la dépense de la source, on peut augmenter le degré final de réchauffement, soit en donnant une plus grande épaisseur à l'enceinte, soit en la formant d'une substance moins propre à conduire la chaleur, soit en changeant l'état des surfaces par le poli ou les teintures.

7° Les coefficients h, K, H qui dépendent de l'état des surfaces ou de la matière de l'enceinte sont regardés ici comme des quantités données. En effet, ils peuvent être déterminés directement par l'observation. Mais les expériences propres à mesurer la valeur de K n'ont encore été appliquées qu'à une seule substance (le fer forgé); on ne connaît cette valeur pour aucune autre matière. Il faut remarquer qu'il entre, dans l'expression delà température, un coefficient composé M, dont on peut trouver la valeur numérique par une observation, ce qui dispenserait de mesurer séparément les quantités h, H, e, K. Ce coefficient composé est le rapport de l'élévation A de la température à la dépense I du foyer pour l'unité de surface. Il exprime la qualité physique que l'on a en vue lorsque, en comparant plusieurs habitations, on estime que les unes sont plus chaudes que les autres.

Plus la valeur de ce coefficient est grande, plus il est facile de procurer une haute température, dans un espace donné, sans augmenter la dépense de la source. Il change avec l'épaisseur et la nature de IL 3o

l'enceinte, et mesure précisément, pour plusieurs sortes de clôtures, la propriété qu'elles ont de retenir la chaleur, en opposant une résistance plus ou moins grande à son passage dans l'air extérieur.

Si le même espace est échauffé par deux ou par un plus grand nombre de foyers de différentes espèces, ou si la première enceinte est elle-même contenue dans une seconde enceinte séparée de la première par une masse d'air, on détermine suivant les mêmes principes le degré de réchauffement et les températures des surfaces. Les solutions générales de ces deux questions ont été rapportées dans le Mémoire. On suppose dans la première un nombre indéfini de foyers, qui diffèrent par leurs températures et leur étendue; on suppose dans la seconde un nombre indéfini d'enceintes qui difièrent par l'espèce de la matière et par la dimension.

Les expressions que cette analyse fournit montrent clairement l'effet de chaque condition donnée. On voit, par exemple, que des enveloppes solides séparées par l'air, quelque petite que soit leur épaisseur, doivent contribuer pour beaucoup à relèvement de la température. On reconnaît aussi qu'en divisant l'enceinte en plusieurs autres, en sorte que l'épaisseur totale demeurât toujours la même, on procurerait, avec le même foyer, un très haut degré d'échauffement, par la séparation des surfaces.

Plusieurs des résultats que l'on vient d'indiquer étaient devenus sensibles par l'expérience même. Il est difficile, en effet, qu'un long usage ne fasse point connaître des résultats aussi constants. La théorie actuelle les explique, les ramène à un même principe et en donne la mesure exacte. Au reste, toutes les remarques qui précèdent sont beaucoup mieux exprimées par les équations elles-mêmes; il n'y a pas de langage plus distinct et plus clair. On aurait omis cette énumération, s'il ne s'agissait point ici d'une question qui n'a pas encore été traitée, et sur laquelle il peut être utile d'appeler l'attention.

8. On sait que les corps animés conservent une température sensi-

blement fixe, qui est pour ainsi dire indépendante de celle du milieu. La chaleur est inégalement distribuée dans les différentes parties, et leur température est modifiée par celle des objets environnants. Mais il existe certainement une ou plusieurs causes propres à l'économie animale qui retiennent la température intérieure entre des limites assez rapprochées. Ainsi les corps vivants sont, dans leur état habituel, des foyers d'une chaleur presque constante, de même que les substances enflammées dont la combustion est devenue uniforme. On peut donc, à l'aide des remarques précédentes, prévoir et régler avec plus d'exactitude l'élévation des températures dans les lieux où l'on réunit un grand nombre d'hommes. Il suffirait d'y observer la hauteur du thermomètre, dans les circonstances données, pour déterminer d'avance quel serait le degré de chaleur acquise si le nombre d'hommes rassemblés devenait beaucoup plus grand.

A la vérité, il y a toujours plusieurs conditions accessoires qui modifient les résultats, telles que l'inégale épaisseur des parties de l'enceinte, la diversité de leur exposition, l'effet résultant des issues, l'inégale distribution de la chaleur dans l'air. On ne peut donc point faire ici une application rigoureuse des règles données par le calcul. Toutefois, ces règles sont précieuses en elles-mêmes, parce qu'elles contiennent les vrais principes de la matière; elles préviennent des raisonnements vagues et des tentatives inutiles ou confuses.

On résout encore par les mêmes principes la question où l'on suppose que le foyer est extérieur, et que la chaleur qui en sort traverse successivement des enceintes diaphanes, et pénètre l'air qu'elles renferment. Ces résultats fournissent l'explication et la mesure des effets que l'on observe en exposant aux rayons du Soleil des thermomètres recouverts par plusieurs enveloppes de verre transparent, expérience remarquable qu'il serait utile de renouveler. Cette dernière solution a un rapport direct avec les recherches sur l'état de l'atmosphère et sur le décroissement de la chaleur dans les hautes régions de l'air. Elle fait connaître que l'une des causes de ce phénomène est la transparence

de l'air, et l'extinction progressive des rayons de chaleur qui accompagnent la lumière solaire. En général, les théorèmes qui concernent réchauffement des espaces clos s'étendent à des questions très variées. On peut y recourir lorsqu'on veut estimer d'avance et régler les températures avec quelque précision, comme dans les serres, les ateliers, ou dans plusieurs établissements civils, tels que les hôpitaux, les lieux d'assemblée. On pourrait dans ces diverses applications avoir égard aux conditions variables que nous avons omises, comme les inégalités de l'enceinte, l'introduction de l'air, et l'on connaîtrait avec une approximation suffisante les changements que ces conditions apportent dans les résultats. Mais ces détails détourneraient de l'objet principal, qui est la démonstration exacte des éléments généraux.

9. Nous avons remarqué plus haut que les trois coefficients spécifiques qui représentent la capacité de chaleur, la conductibilité extérieure et la conductibilité propre sont sujets à quelques variations dépendantes de la température. Les expériences les indiquent; mais elles n'en ont point encore donné la mesure précise. Au reste, ces variations sont presque insensibles si les différences de température sont peu étendues. Cette condition a lieu pour tous les phénomènes naturels qu'embrasse la théorie mathématique de la chaleur. Les variations diurnes et annuelles des températures intérieures de la Terre, les impressions les plus diverses de la chaleur rayonnante, les inégalités de température qui occasionnent les grands mouvements de l'atmosphère et de l'Océan sont comprises entre des limites assez peu distantes pour que les coefficients dont il s'agit aient des valeurs sensiblement fixes.

10. On a considéré jusqu'ici la partie de la question qu'il importe le plus de résoudre complètement : savoir l'état durable dans lequel les températures acquises demeurent constantes. La même théorie s'applique à l'examen de l'état variable qui précède, et de celui qui

aurait lieu si, le foyer étant supprimé ou perdant peu à peu sa chaleur, l'enceinte solide et Ijair qu'elle contient se refroidissaient successivement. Les conditions physiques relatives à ces questions sont rigoureusement exprimées par l'analyse qui est l'objet du Mémoire. Ainsi, toute recherche de ce genre est réduite à une question de Mathématiques pures, et dépendra désormais des progrès que doit faire la science du calcul. Les équations qui se rapportent à l'état permanent sont résolues par les premiers principes de l'Algèbre ; celles qui expriment l'état précédent appartiennent à une autre branche de calcul. Ces questions sont analogues à celle qui a pour objet de déterminer le mouvement varié de la chaleur dans un prisme rectangulaire. C'est pour cette raison que l'on a réuni dans ce Mémoire les recherches sur la température des habitations à celle de la distribution de la chaleur dans les prismes. Cette dernière question est l'objet de la seconde Partie.

On terminera cet Extrait de la première Partie en rapportant les équations différentielles qui expriment réchauffement variable de l'air dans une enceinte exposée à l'action constante d'un foyer. Outre les quantités connues dont on a déjà fait rémunération, on désignera par V le volume de l'air intérieur, par C la capacité de chaleur de la substance qui forme l'enceinte.

Les températures de l'air intérieur et de l'enceinte ne sont point des quantités constantes comme dans les cas précédents. Elles varient avec le temps. Celle de l'air est une fonction a du temps /; celle d'un point m quelconque de l'enceinte est une fonction v de deux indéterminées, dont l'une est le temps écoulé t, et l'autre est la distance a? du point à la surface.

11. La variation de température qu'un point quelconque subit à la surface pendant un instant infiniment petit est proportionnelle à la différence entre la quantité de chaleur qu'il reçoit et celle qu'il perd. 11 est facile d'exprimer cette condition au moyen des propositions élémentaires dont on a donné ailleurs la démonstration. On en

déduit les quatre équations suivantes :

(x = e), 1g , s hs i s doc .

La première est linéaire et aux différences partielles du second ordre, mais ne devant contenir dans son intégrale qu'une fonction arbitraire.

Les deux suivantes se rapportent aux extrémités de l'enceinte; elles expriment les conditions du mouvement de la chaleur à l'une et h l'autre surface.

La dernière équation différentielle représente les variations de la température de l'air.

Ces équations contiennent tous les éléments physiques de la question, et suffisent pour déterminer les inconnues lorsque les températures initiales sont données.

12. Pour les appliquer au cas où les températures s'abaissent après la suppression du foyer, il faudrait supposer nulle l'étendue ou la conductibilité de la surface qui communique la chaleur. On aurait un résultat très différent si l'on se bornait à supposer nulle la température de cette surface.

On peut aussi déduire de ces expressions générales la connaissance de l'état final; il suffit de considérer que les variations qui dépendent du temps doivent être nulles, puisque le système des températures ne subit point de changement. Si, en effet, on introduit cette condition, en omettant les termes différentiels relatifs au temps, on trouve les mêmes équations que celles qui ont été rapportées plus haut. On les trouverait encore au moyen des intégrales des équations précédentes,

en attribuant une valeur infinie au temps écoulé. Au reste, ces considérations sont toutes de la même nature; elles ne diffèrent que par la manière de les exprimer. On voit par ces remarques que la recherche des températures constantes appartient à une question plus étendue, qui comprend tous les états variables, depuis les systèmes entièrement arbitraires des températures initiales, jusqu'au système final, qui est toujours le même, quel que soit le premier état. Mais on peut déterminer directement les valeurs constantes des températures. Les résultats de cette recherche offrant des applications multipliées, il est utile d'en répandre la connaissance, en les déduisant des premiers éléments du calcul.