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Bulletin des Sciences par la Société philomathique, p. ( j i - G 7 ; avril 1818.

i. Étant donnée une équation algébrique o(.r) = o, dont les coefficients sont exprimés en nombres, si l'on connaît deux limites a et A entre lesquelles une des racines réelles est comprise, il est facile d'approcher de plus en plus de la valeur exacte de cette racine. Le procédé le plus simple que l'on puisse suivre dans cette recherche est celui que Newton a proposé. Il consiste à substituer, dans l'équation

a 4- y au lieu de x. On omet dans le résultat tous les termes qui contiennent les puissances de y supérieures à la première, et l'on a une

équation de cette forme

dans laquelle les quantités m et n sont des nombres connus. On en conclut la valeur de y qui, étant ajoutée à la première valeur approchée a, donne un résultat a -\ > beaucoup plus voisin de la racine

cherchée que ne l'était la première valeur. Désignant ce résultat par a', on emploie de nouveau le même procédé pour obtenir une troisième valeur beaucoup plus rapprochée que a', et l'on continue ainsi à déterminer des valeurs de plus en plus exactes de la racine réelle comprise entre les premières limites, etc. On pourrait aussi appliquer ce calcul à la limite b, considérée comme une première valeur appro-

chée, et l'on déduirait des valeurs successives qui seraient de plus en plus voisines de la même racine.

Cette méthode d'approximation est un des éléments les plus généraux et les plus utiles de toute l'Analyse; c'est pour cela qu'il importe beaucoup de la compléter et d'obvier a toutes les difficultés auxquelles elle peut être sujette.

2. On a remarqué depuis longtemps que, si les deux premières limites ne sont point assez approchées, aucune d'elles ne peut servir à donner des valeurs successives; au lieu de conduire à des valeurs approchées de la racine, elles donneraient des nombres qui s'éloigneraient de plus en plus de cette racine.

L'inventeur supposait que la valeur de la racine était déjà connue à moins d'un dixième près de cette valeur. Mais il est évident que cette condition, ou n'est point nécessaire, ou n'est point suffisante, selon la grandeur des coefficients. L'illustre auteur du Traité de la résolution des équations numériques remarque (') que cette question a d'autant plus de difficulté que la condition qui doit rendre l'approximation exacte dépend des valeurs de toutes les racines inconnues.

On voit donc qu'il est nécessaire d'assigner un caractère certain, d'après lequel on puisse toujours distinguer si les limites sont assez voisines pour que l'application de la règle donne nécessairement des résultats convergents.

3. De plus, la méthode dont il s'agit fournit seulement des valeurs très peu différentes de la racine; mais elle ne donne point la mesure du degré de l'approximation; c'est-à-dire que, en exprimant le résultat en chiffres décimaux, on ignore combien il y a de chiffres qui sont exacts, et quels sont les derniers que l'on doit omettre comme n'appartenant point à la racine.

On peut se former une idée du degré de l'approximation en ayant

(1) Traite de la résolution des équations numériques. Lngrange, i" édition, page ilo; édition de 1808, page 129 (a).

{<*) OEui'res de Lngrange, t, \|II. p. r„j. C. D.

QUESTION D'ANALYSE ALGÉBRIQUE. 2i5

égard à la valeur de la quantité que l'on néglige lorsqu'on omet les puissances supérieures de la nouvelle inconnue. Mais cet examen suppose beaucoup d'attention, et, si l'on cherche des règles certaines et exactes, propres à le diriger dans tous les cas, on trouve celle que nous indiquons dans l'article 6.

Certaines méthodes d'approximation ont l'avantage de procurer des valeurs alternativement plus grandes ou moindres que l'inconnue. Dans ce cas, la comparaison des résultats successifs indique les limites entre lesquelles la grandeur cherchée est comprise, et l'on est assuré de l'exactitude des chiffres décimaux communs à deux résultats consécutifs; mais la méthode que nous examinons n'a point cette propriété. On démontre, au contraire, que les dernières valeurs qu'elle fournit sont toutes plus grandes que l'inconnue, ou qu'elles sont toutes plus petites.

On parviendrait, à la vérité, à connaître combien il y a de chiffres exacts, en faisant plusieurs substitutions dans la proposée; mais, en opérant ainsi, on perdrait l'avantage de la méthode d'approximation, dont le principal objet est de suppléer à ces substitutions.

A l'égard des dernières valeurs approchées que l'on obtiendrait en employant la seconde limite, elles passent toutes au-dessous de la racine ou toutes au-dessus, selon que les valeurs données par la première limite sont inférieures ou supérieures à cette racine; ainsi le propre de la méthode d'approximation, dans son état actuel, est de ne jamais donner des valeurs alternativement plus grandes ou plus petites que l'inconnue.

4. Les remarques que l'on vient de faire conduisent aux questions suivantes :

i° Lorsque deux nombres a et b, substitués dans une équation

fournissent deux résultats de signe contraire, et lorsque l'équation a une seule racine réelle entre ces deux limites a et b, peut-on découvrir un moyen de reconnaître promptement et avec certitude si cette pre-

mière approximation est suffisante pour que les substitutions opérées suivant la méthode de Newton donnent nécessairement des valeurs de plus en plus approchées; et comment doit-on distinguer ce cas de celui où les substitutions pourraient conduire à des résultats divergents?

2° L'application de la méthode ne pouvant donner que des valeurs qui sont toutes plus grandes ou toutes plus petites que la racine cherchée, quel procédé faut-il suivre pour mesurer facilement le degré d'approximation que l'on vient d'obtenir, c'est-à-dire pour distinguer la partie du résultat qui contient des chiffres décimaux exacts appartenant à la racine?

L'objet de cette Note est de donner des règles certaines et générales pour résoudre les deux questions que l'on vient d'énoncer.

5. Pour satisfaire à la première question, il faut différentiel' successivement la proposée cp(^) = o, en divisant par la différentielle de la variable. On formera ainsi les fonctions

ç'(ar), ?'(*), ■■■»

et Ton substituera chacune des deux limites a et b à la place de x dans la suite complète <p(a?)> 9'(^)» ^"{x)i •••; on obtiendra ainsi deux séries de résultats dont il suffira d'observer les signes.

i° Il suit de l'hypothèse même que le signe du premier terme, dans la suite correspondante à la limite a, diffère du signe du premier terme dans la suite que donne la substitution de b. S'il n'y a aucune autre différence entre les deux suites de signes, c'est-à-dire si tous les termes, excepté le premier, ont le môme signe dans l'une et l'autre suite, l'application de la méthode donnera nécessairement des valeurs de plus en plus approchées; il est impossible que, dans ce cas, on soit conduit à des valeurs divergentes.

2° Si la condition que l'on vient d'exprimer n'a pas lieu, on reconnaîtra que les deux limites a et b ne sont point assez approchées, et l'on substituera un nombre intermédiaire, en examinant si le résultat

de la substitution, comparé à celui de a ou à celui de b, satisfait à cette condition. On arrivera très promptement au but par ces substitutions, et l'on ne doit, en général, commencer l'approximation que lorsqu'on aura trouvé deux suites de signes qui ne diffèrent que par le premier terme, résultat qu'on ne peut manquer d'obtenir si l'on connaît deux limites a et b d'une racine réelle.

3° Pour trouver les valeurs convergentes, il ne nuit pas employer indifféremment l'une ou l'autre des limites; il faut, en général, choisir celle des deux limites pour laquelle la suite des signes contient, au premier terme <p(a?) et au troisième '^"(jr), deux résultats de même signe. Nous désignons ici cette limite par a et l'autre par [}.

Si l'on ne se conformait point à la remarque précédente, et que l'on employât la limite $ qui donne à o{x) et à ^"(oc) des signes contraires, on pourrait être conduit à des résultats divergents. On pourrait aussi obtenir des valeurs de plus en plus approchées; mais, dans ce cas, elles seraient de la même espèce que celles qui proviennent de la première limite.

4° Les valeurs approchées que l'on déterminera seront toutes plus petites que la racine, si la limite choisie est au-dessous de cette racine ; et elles seront toutes plus grandes, si la limite choisie est celle qui surpasse la racine.

5° Il n'est pas rigoureusement nécessaire que les deux suites de signes ne diffèrent que par les signes des premiers termes o(a) et o(b). La condition absolue à laquelle les deux limites a et b doivent satisfaire avant que l'on procède à l'approximation est la suivante :

On comparera les deux suites

o(«), <p'(a), «p'(fl), 9"V), .... o(b), <p'(&), 9"(b), o"\b), ....

Il est nécessaire, premièrement, qu'en retranchant les termes cp(tf) et o(b) les deux suites de signes restantes aient autant de variations de signes l'une que l'autre; et, secondement, qu'en retranchant aussi les deux termes o'(a) et o'(b) les deux suites restantes aient encore

autant de variations de signes l'une que l'autre ('). Lorsque cette double condition n'a pas lieu, la méthode d'approximation ne doit point être employée : il faut, dans ce cas, diviser l'intervalle b — a des racines; mais, si les deux conditions sont remplies, les approximations linéaires seront nécessairement convergentes. Cette convergence aura lieu à plus forte raison si la condition énoncée dans le paragraphe (i°) du présent article est satisfaite.

6. Nous passons à la solution de la seconde des questions énoncées dans l'article 4, paragraphe (2"); voici l'énoncé de la solution :

i° Si l'on connaît deux limites a et b, entre lesquelles une racine réelle est comprise, et si l'on détermine une valeur plus approchée oc', suivant le procédé de l'article 1, et en se conformant aux règles exposées dans les paragraphes (i°), (20), (3°) de l'article 5, on mesurera comme il suit le degré d'approximation que l'on vient d'obtenir.

L'expression de a' est

où l'on désigne par a celle des deux limites a et b qui donne le même signe pour <p(a) et 9"(a)- On prendra, pour seconde valeur approchée fi', la quantité fi — , p \\ le diviseur <p'(a) sera le même dans l'expression de a' et dans celle de fi' . La racine cherchée sera toujours comprise entre a' et fi'.

Par conséquent, les chiffres décimaux exacts qui appartiennent à la racine sont les chiffres communs qui se trouvent au commencement

(') D'après le théorème de Fourier et de Budan, la condition énoncée ici contient la suivante : 11 ne doit y avoir, entre les limites a et b, aucune racine ni de la dérivée première, ni de la dérivée seconde. Cette règle môme est trop absolue. Il suffira, pour qu'on puisse appliquer la méthode, qu'il n'y ait, entre les limites a et b, aucune racine de la dérivée seconde. On le démontre très simplement au moyen de la formule

tp(x -4-Zî) = o(.r) + h<f'(x) -+- - o"(x + 6// ).

Le lecteur pourra consulter sur ce sujet la Note que nous avons publiée en 1869 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (V série, t. VIII, p. 17). G. D.

de a' et au commencement de (3', les chiffres suivants doivent être omis. On continuera ainsi l'approximation, en joignant toujours à la valeur donnée par le procédé connu une autre valeur approchée (3 qui serve de limite, et l'on déterminera facilement par ce moyen les chiffres exacts de la racine.

20 On détermine la première valeur approchée a' en substituant a

au lieu de x dans l'expression x — ' , . \ ou x rV — : on pourrait

r o (x) do(x) r

dx

trouver une seconde valeur approchée [3' en substituant la même limite

a dans l'expresion x —- — -, Ax désignant la différence finie a — 8

Ax des deux limites; mais cette règle, que nous avions donnée autrefois, parce qu'elle est clairement indiquée par les constructions, ne fait pas connaître le degré de l'approximation aussi facilement que celle qui est énoncée dans le paragraphe (i°) du présent article.

3° Cette règle du paragraphe (i°) de cet article, qui sert à obtenir une seconde valeur approchée, complète l'approximation, puisqu'elle donne toujours des limites opposées à celles qui se déduisent du procédé de l'article 1. On connaît par là combien les approximations de ce genre sont rapides. On en conclut que, si l'on emploie une valeur approchée a pour déterminer une nouvelle valeur a', et si la première a contient déjà un très grand nombre n de chiffres décimaux exacts (c'est-à-dire qui appartiennent à la racine cherchée), la seconde valeur a' contiendra un nombre in de ces chiffres exacts. Le nombre des chiffres qui appartiennent à la racine devient double à chaque opération. On a fait depuis longtemps une remarque semblable par rapport aux chiffres décimaux que fournit la méthode d'extraction des racines carrées; mais ce résultat convient à toutes les équations, quelle que soit la nature de la fonction <p(a?) : c'est un caractère commun aux approximations du premier degré qui proviennent des substitutions successives.

Voici l'énoncé exact de cette proposition : si le nombre des chiffres