àv

ox

de fixer son attention sur l'équation (8), parce qu'elle contient un résultat très simple dans l'analyse des températures du globe. Cette équation se rapporte à l'état de la surface; elle montre que l'élément v de la température de la surface au-dessus de la température zéro de l'espace vide a une relation nécessaire avec la valeur qui appartient,

pour ce même instant, à -r-- On connaîtrait cette valeur de -j- en 1 dx ox

observant, dans le même moment, la température v de la surface et la température v + àv d'un point inférieur placé à une profondeur médiocre Ace. Le rapport -v— est la mesure de l'accroissement de température, à partir de la surface. Or cet accroissement change avec la valeur de v, et, dans la question actuelle, il est sensiblement proportionnel à cette valeur, c'est-à-dire que le rapport de l'accroissement

-r- à la température de la surface est une quantité constante t^dx l » K

En général, le flux normal de la chaleur à la surface d'un corps, tel qu'il est déterminé par l'action mutuelle des molécules solides, équivaut à la chaleur qui se dissipe à la surface en vertu du rayonnement et de l'action du milieu extérieur. Nous avons montré, dans les Mémoires déjà cités de 1807 et de 181 1, que cette relation est totalement indépendante de la figure du corps et des substances dont la masse intérieure est formée, ou de leurs températures. Le rapport constant dont il s'agit ne dépend que des deux qualités physiques de l'enveloppe qui ont été désignées par K et h.

Voici la formule qui contient la solution générale de la question précédente (' )

< = *> s\npjX j y. F (a) sin/?,a dx iptt

,, X sin2/>,-X

ipi

La quantité désignée par/;, est une racine de l'équation transcendante

(10) pX = (i— g-XjtangjoX.

1 ' ) Théorie de la chaleur, p. 3 12 cl 3i4- G. D.

Celte équation a toutes ses racines réelles, dont chacune doit être mise à la place de pt dans l'expression de v. Ces racines, rangées par ordre en commençant par la plus petite, sont/>,, p2, ps, Le signe

I = ao

V indique que l'on doit donner au nombre entier i toutes ses valeurs

i, 2, 3, ..., et prendre la somme des termes. L'indéterminée a, qui

entre sous le signe d'intégrale, disparait par l'intégration définie, qui a

lieu depuis a = o jusqu'à a = X. On trouve ainsi pour v une fonction

de x et de t, du rayon total X et des coefficients D, C, h, K. C'est sous

cette forme que doit être mise l'intégrale des équations (7) et (8),

pour représenter distinctement le phénomène physique qui est l'objet

de la question. On peut connaître, au moyen de cette formule, toutes

les circonstances du refroidissement d'un globe solide dont le diamètre

n'est pas extrêmement grand.

Une des conséquences de cette solution consiste en ce que le mouvement de la chaleur dans l'intérieur du solide devient de plus en plus simple, à mesure que le temps augmente. Lorsque le refroidissement a duré pendant un certain temps que l'on peut déterminer, l'état variable du solide est exprimé sans erreur sensible par le premier terme de la valeur de v; alors toutes les températures décroissent en même temps et demeurent proportionnelles, en sorte que les rapports de ces températures variables sont devenus des nombres constants.

Nous avons reconnu, en effet, dans nos expériences, que cette disposition finale et régulière des températures s'établit, dans les corps de dimensions médiocres, après un temps assez court. Mais, pour une sphère solide d'un rayon comparable à celui de la Terre, les rapports des températures ne deviendraient fixes qu'après un temps immense, et l'on n'a aucun moyen de connaître si ce temps est écoulé. Pour découvrir les lois naturelles du refroidissement du globe, il était donc nécessaire de considérer les phénomènes pendant toute la durée de l'état qui précède cette distribution finale, durée qui doit surpasser plusieurs millions de siècles. C'est dans cette vue que nous avons traité séparément la question relative au solide d'une profondeur infinie,

dont toutes les parties auraient reçu la même température initiale b. Or la solution de cette dernière question doit donner le même résultat que celle qui exprime l'état variable d'une sphère d'un rayon infini, et dont tous les points auraient eu la température initiale b. Il faut donc, dans l'équation (9), remplacer la fonction F(a) par une constante b et attribuer une grandeur infinie au rayon total X. Si l'on procède à ce calcul avec beaucoup d'attention, en supposant d'abord la valeur infinie dans l'équation (10), afin de déterminer toutes les valeurs de/;, on reconnaît que chaque terme de la valeur de v dans l'équation (9) devient une quantité différentielle, en sorte que v est exprimé par une intégrale définie; et l'on trouve exactement pour cette intégrale le résultat donné par l'équation (3), à laquelle on était parvenu en suivant une analyse entièrement différente.

On ne connaît point la densité des couches intérieures du globe, ni les valeurs des coefficients K, h. Ces deux derniers coefficients n'ont été déterminés jusqu'ici que pour une seule substance, le fer forgé dont la surface serait polie. Les expériences que nous avons faites pour mesurer ces coefficients ne se rapportaient point à la question actuelle; elles avaient pour objet de comparer quelques résultats théoriques avec ceux des observations, et surtout de déterminer, du moins pour une substance, les éléments qu'exigent les applications numériques. Nous ne pouvons donc aujourd'hui appliquer les formules précédentes qu'à une sphère solide de fer, d'un rayon comparable à celui de la Terre; mais cette application donne une idée exacte et complète des phénomènes. Il est facile ensuite de modifier les solutions générales, en supposant que les coefficients D, C, h, K varient avec l'espèce de la matière, avec la profondeur, la pression et la température. Il serait nécessaire surtout d'éprouver l'effet de la pression sur la propagation de la chaleur. On ne pourrait aujourd'hui former sur ces questions que des hypothèses fort douteuses, parce qu'on manque totalement d'observations exactes et anciennes. Au reste, les changements qui peuvent résulter de ces diverses conditions affecteraient surtout les températures à de très grandes profondeurs, et ils laissent subsister les conséquences II. 36

générales qui étaient l'objet de notre recherche, et que nous allons exposer en donnant l'extrait du dernier article du Mémoire. Toutefois il est nécessaire de remarquer que ces conséquences ne sont entièrement exactes que si on les rapporte à une sphère de fer solide et homogène, d'un diamètre égal à celui de la Terre. Notre objet est moins de discuter les applications spéciales de la théorie à la masse du globe terrestre, dont la constitution intérieure nous est inconnue, que d'établir les principes mathématiques de cet ordre de phénomènes.

Conséquences générales.

I. Si la Terre était exposée depuis un grand nombre de siècles à la seule action des rayons du Soleil, et qu'elle n'eût point reçu une température primitive supérieure à celle de l'espace environnant, ou qu'elle eût perdu entièrement cette chaleur d'origine, on observerait, au-dessous de l'enveloppe où s'exercent les variations périodiques, une température constante qui serait la même pour les divers points d'une même ligne verticale. Cette température uniforme aurait lieu sensiblement jusqu'aux plus grandes distances accessibles. Dans chacun des points supérieurs, sujets aux variations et compris dans la même ligne, la valeur moyenne de toutes les températures observées à chaque instant de la période serait égale à cette température constante des lieux profonds.

II. Si l'action des rayons solaires n'avait pas été prolongée assez longtemps pour que réchauffement fût parvenu à son terme, la température moyenne des points où s'exercent les variations, ou la température actuelle des lieux plus profonds, ne serait pas la même pour tous les points d'une même verticale; elle décroîtrait à partir de la surface.

III. Les observations paraissent indiquer que les températures sont croissantes lorsqu'on descend à de plus grandes profondeurs. Cela posé, la cause de cet accroissement est une chaleur d'origine, propre

au globe terrestre, qui subsistait lorsque cette planète s'est "formée, et qui se dissipe continuellement à la superficie.

IV. Si toute cette chaleur initiale était dissipée et si la Terre avait perdu aussi la chaleur qu'elle a reçue du Soleil, la température du globe serait celle de l'espace planétaire où il est placé. Cette température fondamentale, que la Terre reçoit des corps extérieurs les plus éloignés, est augmentée, premièrement, de celle qui est due à la présence du Soleil; secondement, de celle qui résulte de la chaleur primitive intérieure non encore dissipée. Les principes de la Théorie de la chaleur, appliqués à une suite d'observations précises, feront un jour connaître distinctement la température extérieure fondamentale, l'excès de température causé par les rayons solaires, et l'excès qui est dû à la chaleur primitive.

V. Cette dernière quantité, l'excès de température de la surface sur celle de l'espace extérieur, a une relation nécessaire avec l'accroissement des températures observé à différentes profondeurs. Une augmentation d'un degré centésimal par 3om suppose que la chaleur primitive que la Terre a conservée élève présentement la température de sa surface d'environ un quart de degré au-dessus de celle de l'espace. Ce résultat est celui qui aurait lieu pour le fer, c'est-à-dire si l'enveloppe du globe terrestre était formée de cette substance. Comme on n'a encore mesuré pour aucun autre corps les trois qualités relatives à la chaleur, on ne peut assigner que dans ce seul cas la valeur assez exacte de l'excès de température. Cette valeur est proportionnelle à la conductibilité spécifique de la matière de l'enveloppe; ainsi, elle est pour le globe terrestre beaucoup moindre qu'un quart de degré. La surface du globe, qui avait dès l'origine une température très élevée, s'est refroidie dans le cours des siècles, et ne conserve aujourd'hui qu'un excédent de chaleur presque insensible, en sorte que son état actuel diffère très peu du dernier état auquel elle doit parvenir.

VI. Il n'en est pas de même des températures intérieures; elles sont.

au contraire, beaucoup plus grandes que celles de l'espace planétaire; elles s'abaisseront continuellement, mais ne diminueront qu'avec une extrême lenteur. A des profondeurs de ioo111, 200"1, 3oom, l'accroissement est très sensible : il parait qu'on peut l'évaluer à i° pour 30™ ou 4om environ. On se tromperait beaucoup si l'on supposait que cet accroissement a la même valeur pour les grandes distances; il diminue certainement à mesure qu'on s'éloigne de la surface. Si l'on possédait une suite d'observations assez précises et assez anciennes pour donner la mesure exacte des accroissements, on pourrait déterminer, par la Théorie analytique que nous avons exposée, la température actuelle des points situés à une certaine profondeur; on connaîtrait à quelles époques les diverses parties de la surface avaient une température donnée, combien il a dû s'écouler de temps pour former l'état que nous observons; mais cette étude est réservée à d'autres siècles. La Physique est une science si récente, et les observations sont encore si imparfaites, que la théorie n'y puiserait aujourd'hui que des données confuses. Toutefois, on ne peut douter que l'intérieur du globe n'ait conservé une très haute température, quoique la surface soit presque entièrement refroidie. La chaleur pénètre si lentement les matières solides que, suivant les lois mathématiques connues, les masses placées à deux ou trois myriamètres de profondeur pourraient avoir présentement la température de l'incandescence.

VU. Si l'ensemble des faits dynamiques et géologiques prouve que le globe terrestre avait, à son origine, une température très élevée, comme celle de la fusion du fer, ou seulement celle de 5oo°, qui est plus de dix fois moindre, il faut en conclure qu'il s'est écoulé une très longue suite de siècles avant que la surface soit parvenue à son état ' actuel. L'équation

exprime la relation entre le temps / écoulé depuis l'origine du refroidissement et compté en minutes sexagésimales, la température ini-

tiale b comptée en degrés centésimaux, et l'accroissement observé, qui

peut être ^ ou ~. Le rapport -^- est environ io33 pour le fer; il est, de

plus, huit fois plus grand pour les matières communes de l'enveloppe terrestre.

VIII. L'accroissement A ou la différence que l'on observe à des profondeurs médiocres, comme de ioo,n à 5oom, entre la température fixe d'un certain point d'une verticale et la température fixe d'un second point de cette verticale placé à im au-dessous du premier, varie avec le temps suivant une loi fort simple. Cet accroissement a été, à une certaine époque, double de ce qu'il est aujourd'hui. Il aura une valeur deux fois moindre que sa valeur actuelle lorsqu'il se sera écoulé, depuis le commencement du refroidissement, un temps quatre fois plus grand que celui qui s'est écoulé jusqu'à ce jour. En" général , l'accroissement A varie en raison inverse de la racine carrée des temps écoulés.

IX. La température d'un lieu donné de la surface diminue par l'effet du refroidissement séculaire du globe; mais cette diminution est énormément petite, même dans le cours de plusieurs siècles. La quantité dont la température de la surface s'abaisse pendant une année est égale à l'excès actuel de la température, divisé par le double du nombre d'années écoulées depuis l'origine du refroidissement.

Nous avons démontré, dans le Mémoire, que la variation séculaire w de la température de la surface est exprimée par l'équation

On désigne par A le nombre de degrés dont la température augmente lorsque la profondeur augmente de ira; T est le nombre de siècles écoulés depuis l'origine du refroidissement; w est la quantité dont la température de la surface s'abaisse pendant le cours d'un siècle. Le rapport y est d'environ 7, 5 pour le fer; il peut être neuf fois moindre

pour le globe terrestre. A peut être supposé ~ ou -^. Quant au nombre T, il est évident qu'on ne peut l'assigner; mais on est du moins certain qu'il surpasse la durée des temps historiques, telle qu'on peut la connaître aujourd'hui par les annales authentiques les plus anciennes : ce nombre n'est donc pas moindre que soixante ou quatre-vingts siècles. On en conclut, avec certitude, que l'abaissement de la température pendant un siècle est plus petit que 77}^ d'un degré centésimal. Depuis l'École grecque d'Alexandrie jusqu'à nous, la déperdition de la chaleur centrale n'a pas occasionné un abaissement thermométrique d'un 288e de degré. Les températures de la superficie du globe ont diminué autrefois, et elles ont subi des changements très grands et assez rapides; mais cette cause a, pour ainsi dire, cessé d'agir à la surface : la longue durée du phénomène en a rendu le progrès insensible, et le seul fait de cette durée suffit pour prouver la stabilité des températures.

X. D'autres causes accessoires, propres à chaque climat, ont une influence bien plus sensible sur la valeur moyenne des températures à l'extrême surface. L'expression analytique de cette valeur moyenne contient un coefficient numérique qui désigne la facilité avec laquelle la chaleur des corps abandonne la dernière surface et se dissipe dans l'air. Or cet état de la superficie peut subir, par les travaux des hommes, ou par la seule action de la nature, des altérations accidentelles qui s'étendent à de vastes territoires : ces causes influent progressivement sur la température moyenne des climats. On ne peut douter que les résultats n'en soient sensibles, tandis que l'effet de refroidissement du globe est devenu inappréciable. La hauteur du sol, sa configuration, sa nature, l'état superficiel, la présence et l'étendue des eaux, la direction des vents, la situation des mers voisines, concourent, avec les positions géographiques, à déterminer les tempéra I nres des climats. C'est à des causes semblables, et non à l'inégale durée des saisons, que se rapporteraient les différences observées dans les températures «les deux hémisphères.

XI. On peut connaître d'une manière assez approchée la quantité de chaleur primitive qui se perd dans un lieu donné, à la surface de la Terre, pendant un certain temps. En supposant la conducihilité propre neuf fois moindre que celle du fer, ce qui paraît résulter d'une expérience de M. H.-B. de Saussure, on trouve que la quantité de chaleur qui se dissipe pendant un siècle par l'effet du refroidissement progressifdu glohe, et qui traverse une surface d'un mètre carré, équivaut à celle qui fondrait un prisme de glace dont ce mètre carré serait la hase, et dont la hauteur serait environ 3,u. L'abaissement de la température pendant un siècle est insensible, mais la quantité de chaleur perdue est très grande.

XII. La quantité de chaleur solaire qui, pendant une partie de l'année, pénètre au-dessous de la surface de la Terre et cause les variations périodiques est beaucoup plus grande que la quantité annuelle de chaleur primitive qui se dissipe dans l'espace; mais ces deux effets diffèrent essentiellement en ce que l'un est alternatif, tandis que le second s'exerce toujours dans le même sens. La chaleur primitive qui se perd dans l'espace n'est remplacée par aucune autre; celle que le Soleil avait communiquée à la Terre, pendant une saison, se dissipe pendant la saison opposée. Ainsi, la chaleur émanée du Soleil a cessé depuis longtemps de s'accumuler dans l'intérieur du globe, et elle n'a plus d'autre effet que d'y maintenir l'inégalité des climats et les alternatives des saisons.

Nous ne rappelons point ici les conséquences que nous avons démontrées dans les Mémoires précédents en donnant l'analyse des mouvements périodiques de la chaleur à la surface d'une sphère solide; nous remarquerons seulement que l'étendue des variations, les époques successives qui les ramènent, la profondeur où elle cesse d'être sensible, la relation très simple de cette profondeur avec la durée de la période, en un mot, toutes les circonstances du phénomène, telles qu'on les a observées, sont clairement représentées par la solution analytique. II suffirait de mesurer avec précision quelques résultats principaux, dans

un lieu donné, pour en conclure la valeur numérique des coefficients qui mesurent la conducibilité. C'est l'examen de quelques expériences de ce genre qui nous a donné lieu d'évaluer à un trente-sixième de degré l'élévation actuelle de la température de la surface du globe audessus de la température fixe des espaces planétaires.

Nous ajoutons, en terminant cet Extrait, que les valeurs numériques qui y sont rapportées ne peuvent être regardées comme exactes, ou même comme très approchées; car elles sont sujettes à toutes les incertitudes des observations. Mais il n'en est pas de même des principes de la théorie; ils sont exactement démontrés et indépendants de toute hypothèse physique sur la nature de la chaleur. Cette cause générale est assujettie à des lois mathématiques immuables, et les équations différentielles sont les expressions de ces lois. Les expériences montrent jusqu'ici que les coefficients qui entrent dans ces équations ont des valeurs sensiblement constantes lorsque les températures sont comprises dans des limites peu différentes. Quelles que puissent être ces variations, les équations différentielles subsistent; il faudrait seulement modifier les intégrales pour avoir égard à ces variations. Les équations fondamentales de la Théorie de la chaleur sont, a proprement parler, pour cet ordre de phénomènes, ce que, dans les questions de Statique et de Dynamique, sont les théorèmes généraux et les équations du mouvement.

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