THÉORÈME DE DESCARTES

Bulletin des Sciences pue la Société philomathique de Paris; p, i 50 ù 1 65, octobre i8uo,

el p. i<Si à 187. décembre 1820.

Si, clans le premier membre X d'une équation algébrique X = o dont les coefficients sont des nombres donnés, on substitue successivement deux nombres a et b, et si les deux résultats A et B de ces substitutions ont des signes différents, l'équation X = o a au moins une racine réelle comprise entre les limites a et b. Le nombre des racines réelles comprises entre ces mêmes limites pourrait être i, ou 5, ou 5, ou un nombre impair quelconque. Si, au contraire, les deux résultats A et B ont le même signe, l'équation peut avoir un nombre pair de racines réelles entre les limites a et />; et il peut arriver aussi qu'il n'y ait aucune racine entre ces mêmes nombres. Il suit de ces propositions, qui sont démontrées dans tous les Traités élémentaires d'Algèbre, que la substitution des deux nombres proposés a et b dans la fonction X ne suffit point pour faire reconnaître combien l'équation a de racines comprises entre ces deux nombres.

Pour résoudre cette dernière question, il est nécessaire de substituer

ces deux limites a et b dans la fonction et dans les fonctions X', X", X'", . . . que l'on en déduit par des différentiations successives.

L'objet de cette Note est d'exposer la méthode que l'on doit suivre pour déterminer les limites des racines en substituant ainsi divers nombres dans les fonctions différentielles, et d'ajouter à cette méthode' une règle spéciale pour distinguer facilement les racines imaginaires. Supposons donc que l'on considère les fonctions suivantes :

dX (FX

' dx d.r-

et qu'on les écrive toutes dans l'ordre inverse,