XIV, X'", X", X', X

la dernière étant le premier membre de la proposée. Le nombre des fonctions écrites est m-\-i, si le degré de l'équation est m, et la première fonction est un nombre constant positif.

Si l'on substitue un nombre a dans la suite des fonctions et si l'on écrit le signe -+- ou le signe — de chaque résultat, on formera une suite de signes que nous désignerons par (a); substituant aussi un nombre b, plus grand que a, dans la même suite des fonctions, et remarquant les signes des résultats, on formera une seconde suite de signes que nous désignerons par (j3). Cela posé, on examinera combien, dans la première suite de signes (a), il y a de changements de signe en passant d'un terme à un autre, c'est-à-dire combien de fois, dans cette suite, il arrive que deux signes voisins sont -h ou — . On examinera aussi combien il y a de ces changements de signe dans la seconde suite ((3). On comparera, sous ce rapport, les deux suites de signes (a) et ((3), et l'on déduira de cette comparaison les conséquences suivantes, que nous allons d'abord énoncer, et dont nous donnerons ensuite la démonstration :

i° Si les deux suites de signes (a) et ((3) ont un égal nombre de changements de signe, il est impossible que l'équation X = o ait aucune racine entre les limites a cl b; en sorte qu'il serait entièrement inutile de chercher des racines dans cet intervalle.

20 La seconde suite ne peut, dans aucun cas, avoir plus de changements de signe qu'il n'y en a dans la première.

3° Si, dans la seconde suite, il se trouve un seul changement de signe de moins que dans la première, la proposée a une racine réelle comprise entre a et b, et il ne peut pas y avoir plus d'une racine dans cet intervalle. Dans ee cas, la racine comprise entre a et b est entièrement séparée de toutes les autres. Alors il est facile de procéder à la recherche de cette racine, soit par la méthode exégétique de Viète, ou par la règle des fractions continues de Fontaine ou de Lagrange, ou en faisant usage, comme Daniel Bernoulli et Euler, des séries récurrentes, ou enfin, et par la voie la plus courte, en suivant la méthode d'approximation de Newton, à laquelle il est nécessaire d'ajouter les remarques que nous avons puhliées dans ce Recueil. En général, l'emploi de toute méthode d'approximation suppose que la racine cherchée; est séparée de toutes les autres, c'est-à-dire que l'on connaît deux limites a et b entre lesquelles la proposée ne peut avoir que cette seule racine.

4° Si, dans la première suite, on compte un plus grand nombre de changements de signe que dans la seconde, et si l'excès du premier nombre sur le second est 2, l'équation X = o peut avoir deux racines entre les limites a et b\ il peut arriver aussi que ces deux racines soient imaginaires. Le sens exact de cette dernière proposition est que, si l'on peut s'assurer d'une manière quelconque qu'il n'y a aucun nombre, compris entre a et b, qui rende nulle la fonction X, il est certain que cette équation a au moins deux racines imaginaires.

La différence des deux nombres de changements de signe dans les suites (a) et ((3) étant supposée 2, il est nécessaire qu'il y ait deux racines réelles dans l'intervalle de a à b ou qu'il n'y en ait aucune; il • •si impossible qu'il y en ait une seule. On doit donc, dans ce cas, chercher deux racines entre les limites proposées; et, si ces racines manquent dans cet intervalle, elles manquent aussi dans l'équation.

5° Si, dans la première suite (a), on compte trois changements de signe de plus que dans la seconde suite (^), il y a nécessairement une

■29k SUR L'USAGE DU THÉORÈME DE DESCARTES

racine réelle dans l'intervalle de a à b; il ne peut pas y en avoir deux, mais il peut y en avoir trois; et, s'il n'y en a pas trois, les deux qui manquent dans l'intervalle manquent aussi dans l'équation.

En général, la proposée ne peut pas avoir dans l'intervalle des limites a et b plus de racines qu'il y a d'unités dans l'excès du nombre des changements de signe de la suite (os) sur le nombre des changements de signe de la suite ($); nous désignons par/ cet excès, ou différence entre les deux nombres de changements de signe des deux suites. Si, dans l'intervalle de a à b, l'équation n'a pas un nombre de racines réelles égal à y, celles qui manquent sont en nombre pair ii; elles correspondent à un pareil nombre ii de racines imaginaires qui manquent dans l'équation proposée : ainsi le nombre des racines imaginaires de l'équation est toujours égal au nombre des racines qui manquent dans tous les intervalles.

Il était nécessaire d'expliquer en ces termes la proposition générale que nous voulons démontrer pour faire connaitre directement son usage dans la recherche des limites des racines. On voit que cette règle indique avec précision les intervalles dans lesquels on doit chercher les racines et le nombre des racines qu'il peut y avoir. En effet, si le nombre/ est zéro, c'est-à-dire si dans la suite (a) on ne compte pas plus de changements de signe que dans la suite (jJ), l'intervalle des nombres a et b est un de ceux dans lesquels on ne doit chercher aucune racine. Une méthode d'approximation qui conduirait à diviser de pareils intervalles en moindres parties, dans la vue d'y découvrir quelques racines, serait par cela même extrêmement imparfaite. C'est ce qui arrive lorsqu'on procède à la séparation des racines en substituant dans la proposée une quantité moindre que la plus petite différence de ces racines.

La proposition générale que l'on vient d'énoncer n'est autre chose que l'extension du théorème qui exprime la relation connue entre le nombre des racines positives d'une équation et le nombre des changements de signe que présente la suite des coefficients; et cette application de la règle de Descaries se présente d'elle-même dans la recherche

des limites des racines. En effet, si l'on diminue d'une certaine quantité positive a toutes les racines d'une équation en substituant x '+ a au lieu de x, et si l'on remarque que l'équation en x' n'a plus, dans la suite de ses coefficients, autant de changements de signe qu'il y en avait dans l'équation en x, cette différence indique combien on doit chercher de racines dans l'intervalle de o à a ; or le calcul de la transformée en x' est le même que celui de la substitution de a dans les fonctions différentielles ('). Ce procédé est beaucoup plus simple que la méthode des cascades, d'ailleurs incomplète et confuse.

La proposition générale que nous avons rapportée peut être déduite du théorème de Descartes; elle peut aussi être démontrée directement comme il suit, et alors ce théorème en devient une conséquence nécessaire. Cette démonstration est celle qui a été donnée autrefois dans les cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique : elle n'avait point encore été imprimée.

Démonstration.

i° Si, dans la suite (e) des fonctions