XIV, X'", X", X\ X

on substitue une quantité négative —a, et si le nombre est infiniment grand, tous les résultats de la substitution seront alternativement positifs et négatifs; en sorte que dans la suite il ne se trouvera que des changements de signe. En effet, l'équation X = o étant du degré m, la première fonction de la suite est 1.2. 3. ..m; la seconde a pour premier terme 2.3.4 •••'»*! la troisième a pour premier terme 3-4 ...rnx2; la quatrième t\...mxÀ; ainsi de suite. Donc, le nombre substitué étant — oo, les signes des résultats sont

il ne peut v avoir que des changements de signe dans la suite (a). Le nombre de ces changements est/w.

(>) Algèbre latine de Haies. Dublin, 1784. — Recherches de M. Budan, de l'Université de France. — Résolution des équations numériques de Lagrange.

2° Si le nombre substitué a est oo, tous les résultats ont le signe + , et il ne reste aucun changement de signe dans la suite (a).

3° Si le nombre substitué a, qui est d'abord égal à — ce, augmente par degrés infiniment petits, depuis — oo jusqu'à + ce, il deviendra successivement égal à chacune des racines réelles que peut avoir l'équation X = o, et nous allons prouver que, lorsque a deviendra égal à une de ces racines, la suite (a) perdra un changement de signe.

En effet, le nombre a augmentant par degrés insensibles, la suite (a), qui avait d'abord tous ses signes alternatifs, s'altère progressivement; elle ne peut commencer à subir quelque changement que si le nombre substitué fait évanouir une des fonctions ..., X,v, X'", X", X', X; car aucune de ces quantités ne peut changer de signe si elle ne devient d'abord nulle. Il se présente ici deux cas différents : le premier a lieu lorsque la substitution du nombre a fait évanouir la dernière fonction X, c'est-à-dire lorsque le nombre substitué est une des racines réelles de l'équation; le second cas a lieu lorsque la substitution de a rend nulle une des fonctions intermédiaires, telles que XIV, X'", X", X'. On pourrait aussi supposer que le même nombre a fait évanouir à la fois plusieurs de ces fonctions, mais nous ferons d'abord abstraction de ce cas singulier, parce qu'il suppose entre les fonctions une certaine relation qui n'a point lieu en général.

Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque la valeur de X est la seule qui devienne nulle, le signe du dernier résultat, dans la suite (a), est remplacé par o. Si le résultat de la substitution de «, dans la fonction précédente X', est -h, la suite (a) est ainsi terminée ..., + , o. Concevons maintenant que l'on substitue, au lieu de a, deux nombres infiniment peu différents, l'un moindre que a et l'autre plus grand que a ; il est facile de voir que la suite (a) aura pris trois états successifs indiqués par la Table suivante

c'est-à-dire que, les deux derniers termes de la suite (a) donnée par

la substitution de a étant par hypothèse -i-o, les deux derniers termes de la suite qui répond à <asont nécessairement +, —, et que les deux derniers termes de la suite qui répond à >a sont -t-, -h. Cette conséquence se prouve comme il suit :

Désignant la fonction X par ç(#) et X' ou -3— par o'(oc), et co étant une quantité infiniment petite, on a

o(a — u) = o)(fl) — a)ç'(a) et <p(a 4- co) = 9(0 ) + gj cp'(a).

Or, par hypothèse, <p(#) est nulle et <p'(a) es^ positive. Donc la substitution du nombre <^a donne un résultat négatif, savoir — oxp'(a). Quant au nombre >a, il donne, par la substitution, un résultat affecté du signe -1-, savoir 4-a>çp'(a).

Donc la suite de signes (a), en prenant les états successifs qui répondent a << a, a, > a, a perdu un changement de signe, la succession h — étant devenue +0 et ++.

Il en sera de même si le résultat de la substitution de a dans X' donne le signe — . En effet, la valeur cp'(a) es^ a'ors négative; donc cp(« — w), ou — a> cp'(a)» est une quantité positive, et o(a 4- w), ou cocp'(a), est une quantité négative; donc la Table précédente (1) est remplacée par la Table

On voit par là que la suite des signes (a) a perdu un changement de signe lorsque le nombre substitué a passé par la valeur a qui fait évanouir la dernière fonction.

Il est donc démontré que la suite des signes (a) perd un changement de signe toutes les fois que le nombre substitué devient égal à l'une des racines réelles de la proposée.

4° Si le nombre substitué fait évanouir une des fonctions intermédiaires ..., Xv, X,v, X", X", X', et non la dernière X, la suite (a) conserve autant de changements de signe qu'elle en avait auparavant, ou IL 33

elle perd deux changements de signe à la fois. Il ne peut arriver que

l'un de ces deux cas. Voici la preuve de cette proposition.

Considérons trois fonctions consécutives, savoir celle qui devient nulle, celle qui précède et celle qui suit. Supposons que les deux premières donnent les résultats suivants, qui sont ceux de la Table (i) :

Si la troisième fonction donne un résultat positif, on formera la

Tahle suivante :

On en conclura que, le nombre substitué étant devenu égal à a et plus grand que a, la suite des signes a perdu deux changements de signe, savoir h et — h, qui sont remplacés par +-+- et -+--K

Si, au contraire, la troisième fonction donne un résultat négatif, on aura la Table suivante :

Dans ce cas, le nombre substitué passant par la valeur a, la suite (a) des signes ne perd aucun changement de signe.

On a supposé que les deux premières fonctions donnaient les résultats indiqués dans la Table (i). Si, au contraire, la première fonction a le signe —, les résultats donnés par les deux premières fonctions seront ceux de la Table (i), savoir :

Dans ce cas, la troisième fonction donnera le signe + ou le signe — . Si sa valeur est positive, on aura la Table suivante :

en sorte que la suite (a) des signes n'aura perdu aucun changement de signe.

Mais si la troisième fonction donne le signe — , on aura la Table suivante :

ce qui prouve que la suite (a) des signes aura perdu deux changements de signe.

Ainsi, le nombre a que l'on substitue dans la suite des fonctions prenant successivement toutes les valeurs possibles depuis — x jusqu'à -f-co, la suite (a) des signes des résultats ne demeure pas la même; elle s'altère de la manière suivante. Il ne peut y survenir de changement que lorsque le nombre a fait évanouir une des fonctions. Si ce nombre devient égal à une racine réelle de la proposée, la suite (a) perd un changement de signe. Si la fonction qui s'évanouit n'est point la dernière X, mais une des fonctions intermédiaires, la suite (a) conserve tous les changements de signe qu'elle avait auparavant, ou elle en perd deux à la fois. Par conséquent, cette suite ne peut point acquérir de nouveaux changements de signe à mesure que le nombre augmente, elle ne peut qu'en perdre; et c'est ainsi qu'elle passe progressivement de son premier état, où l'on compte m changements de signe, à son dernier état, où elle n'a plus aucun changement de signe. On déduit de ces remarques les conséquences suivantes :

Si la proposée X = o a toutes ses racines réelles en nombre m, il arrive nécessairement un nombre m de fois qu'elle perd un seul changement de signe; et comme le nombre total des changements de signe qu'elle peut perdre est m, il s'ensuit que les valeurs de a qui font évanouir une des fonctions intermédiaires ne donnent lieu à aucune diminution du nombre des changements de signe. Ce nombre se conserve lorsque la valeur de a rend nulle une des fonctions intermédiaires, et il diminue d'une unité lorsque cette valeur de a rend nulle la dernière fonction.

Si la proposée a m — i racines réelles et deux racines imaginaires, il arrive un nombre de fois égal à m — 2 que la suite (a) perd un seul changement de signe; et, par conséquent, il arrive seulement une fois que, la valeur de a faisant évanouir une fonction intermédiaire, deux changements de signe disparaissent ensemble.

En général, si la proposée a un nombre m — ii de racines réelles, et un nombre 21 de racines imaginaires, il est évident que m — ii changements de signe disparaissent un à un dans la suite (a), et, par conséquent, il arrive un nombre de fois égal à /que, la valeur de a faisant évanouir une fonction intermédiaire, deux changements de signe disparaissent ensemble.

Nous avons supposé jusqu'ici que le nombre substitué ne fait pas évanouir en même temps deux ou plusieurs fonctions différentielles, mais seulement une de ces fonctions. On pourrait se dispenser de considérer les cas où une même valeur de a, substituée au lieu de ce, rend nulles plusieurs fonctions à la fois : car ces valeurs singulières du nombre substitué n'auraient plus la même propriété si les coefficients de la proposée subissaient un changement infiniment petit. Mais, comme il s'agit ici des principes élémentaires de l'Analyse algébrique, il convient de démontrer explicitement que le cas où plusieurs fonctions s'évanouissent ensemble est en effet compris dans celui où l'on suppose qu'une seule des fonctions devient nulle ; il est facile de prouver cette dernière proposition, comme on le verra dans la seconde Partie de cette Note, qui sera insérée dans le Bulletin suivant. Nous terminons celle-ci par l'exposé des conséquences générales de la démonstration précédente.

On en conclut immédiatement le théorème que nous allons énoncer, et que nous regardons comme un des éléments principaux de l'analyse des équations :

Une équation du degré m, X — o, étant proposée, si l'on forme la suite

\i"0 V(m-l) \{m-ï) \m \n \ri \-

qui comprend toutes les fonctions différentielles dérivées de X, et si l'on

substitue au lieu de x un nombre continuellement croissant a, qui reçoit toutes ses valeurs successives depuis — oo jusqu'à -+- se, on observe la relation suivante entre les racines réelles ou imaginaires de la proposée et les changements de signe que présente la suite des résultats numériques des substitutions :

Le nombre des changements de signe, qui était m, diminue de plus en plus, jusqu'à ce qu'il devienne nul; il ne peut jamais augmenter; autant il arrive de fois que la suite perd un seul changement de signe, autant l'équation a de racines réelles ; et autant il arrive de fois que la suite perd deux changements de signe en même temps, autant l'équation a de

racines imaginaires.

Ce théorème comprend, comme on le verra dans la seconde Partie de cette Note, les cas particuliers où plusieurs fonctions s'évanouissent en même temps.

Les propositions énoncées ci-dessus dans les paragraphes i°, 2°, 3°, 4°, page 292, sont des corollaires évidents de ce théorème. Il en est de même de la proposition générale qui termine le paragraphe 5°. Si les valeurs substituées a et b sont respectivement -» et o ou o et + ^, les signes des valeurs numériques des fonctions différentielles sont les signes mêmes des coefficients de la proposée, et l'on obtient ainsi la règle connue pour la distinction des racines positives ou négatives. On voit que cette règle, qui a été donnée pour la première fois par Descartes, dans sa Géométrie, et la proposition plus générale à laquelle elle appartient, dérivent clairement des propriétés de la suite des signes que l'on forme en substituant dans les fonctions différentielles une grandeur continuellement croissante depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif. L'application de cette règle à la recherche des limites des racines est aussi une conséquence manifeste du théorème précédent, qui exprime ces propriétés.

On a démontré dans la première Partie de cette Note qu'en substituant dans la suite des fonctions différentielles X("'\ X(m~4i, . . . , X', X un nombre a continuellement croissant depuis — ce jusqu'à -f- oc, on fait disparaître successivement les m ebangements de signe de la suite que nous avons désignée par (a). Autant de fois cette suite perd un seul ebangement de signe, autant l'équation X = o a de racines réelles; cl autant de fois cette suite perd deux ebangements de signe ensemble, autant l'équation a de couples de racines imaginaires. Il faut maintenant examiner avec attention le cas où la substitution du nombre a fait évanouir à la fois plusieurs fonctions.

Nous supposons donc que la valeur de a, substituée dans les fonctions différentielles, rend nulles plusieurs fonctions intermédiaires consécutives, en nombre i, en sorte que la suite des signes (a) contient un nombre i de zéros intermédiaires, et qu'elle est ainsi représentée :

Il s'agit d'abord de former les deux suites qui répondent, l'une à < a, el l'autre à >a. On suppose ici que les deux signes extrêmes et différents de zéro sont -h et -h; on pourrait ainsi supposer — et -k ou -h et —, ou — et —; mais, quels que soient les signes extrêmes, on pourra toujours déterminer, comme il suit, les signes intermédiaires des deux suites qui répondent à < a et > a.

En effet, soit/(x) l'une quelconque des fonctions différentielles qui répondent à l'un des zéros intermédiaires, par exemple au cinquième; on aura l'équation générale

/(a U) =/(a) - t>f (a) + £/'(«) - £$/"(<*) ■I, comme les cinq premiers termes deviendraient nuls par hypothèse,

la valeur de /(a — a>) sera t~t~k f\a)- Or /Xrt) '"^pond au pre-

mier des signes extrêmes, qui est -+- ; donc le signe que l'on doit écrire au-dessus du cinquième zéro, et qui fait partie de la suite correspondante à <a, est contraire au signe de /v(#); ainsi l'on doit écrire le signe — au-dessous du cinquième zéro intermédiaire.

Mais si l'on considère le quatrième zéro intermédiaire, l'équation (E)

fait connaître que la valeur de f{a — a>) est — ~ f"(a). Dans ce

cas, f"'(a) répond au premier signe extrême, qui est -h. Donc le signe que l'on doit écrire au-dessus du quatrième zéro intermédiaire, et qui entre dans la suite correspondante à < a, est le même que le premier des signes extrêmes, qui est ici -)-.

En général, on prouve, de la même manière, que, pour former la suite de signes correspondants à <^a, il faut écrire au-dessus de chaque zéro intermédiaire un signe différent du premier signe extrême si ce zéro intermédiaire est de rang impair; et que, si ce zéro intermédiaire est de rang pair, il faut écrire au-dessus un signe semblable à celui du premier signe extrême; et il est évident que cette règle doit être suivie soit que le premier signe extrême soit -+- ou — .

Quant à la suite de signes qui répond à >a, elle se déduira de l'équation générale

j f(a H- m) =/(a) -H uf(a) + ^ /"(a)

et l'on en conclut que, pour former cette suite de signes, qui répond à >«, il faut écrire au-dessous de chaque zéro le même signe que le premier signe extrême.

Il est donc très facile maintenant d'écrire les deux suites de signes qui répondent à <a et à >«. Il faut, pour la première, écrire au-dessus du premier zéro intermédiaire un signe contraire au premier signe extrême, au-dessus du second zéro un signe semblable au premier

30i SUR L'USAGE DU THEOREME DE DESCARTES

signe extrême, au-dessus du troisième zéro un signe contraire, au-dessus du quatrième zéro un signe semblable, ainsi du reste, en changeant alternativement de signe, ce qui donne à la première suite le plus grand nombre possible de changements de signe. Mais, pour former la seconde suite de signes qui répond à >• a, il faut répéter audessous de chaque zéro intermédiaire le premier signe extrême, qui est connu, ce qui donne à la seconde suite le moindre nombre possible de changements de signe.

Il suit nécessairement de cette manière de former les deux suites : i° que, si le nombre de zéros intermédiaires est pair, la première suite qui répond à << a présente un nombre h de changements de signe plus grand que le nombre k de changements de signe comptés dans la seconde, et que la différence h — k est un nombre pair; i° que, si le nombre de zéros intermédiaires est impair, le nombre h de changements de signe de la première suite peut, dans un seul cas, être égal au nombre k de changements de signe de la seconde, mais que, dans tous les autres, h est plus grand que k, et que la différence h — k est encore un nombre pair.

Ainsi, cette différence h — k ne peut être ni négative, ni un nombre impair; il est nécessaire qu'elle soit un des nombres o, 2, 4» 6

Mais si les fonctions différentielles consécutives qui s'évanouissent par la substitution de a comprennent la dernière <p(#), on conclut facilement des remarques précédentes que le nombre h des changements de signe de la première suite surpasse le nombre k de changements de signe de la seconde, et que la différence h — k, qui alors peut être un nombre pair ou impair, est toujours égale au nombre des fonctions extrêmes qui s'évanouissent. Or l'équation proposée a, dans ce cas, selon le théorème de Huddes, autant de racines égales au nombre a qu'il se trouve de ces fonctions extrêmes qui s'évanouissent; donc la suite (a) des signes perd dans ce cas autant de changements de signe que l'équation a de racines réelles égales au nombre a.

Enfin, on pourrait supposer que le nombre substitué fait évanouir plusieurs fonctions différentielles, ou intermédiaires, ou extrêmes, et

qu'il rend nulles en même temps d'autres fonctions dans différentes parties de la même suite, séparées les unes des autres par des fonctions non évanouissantes : dans ce cas, on connaîtrait le nombre total de changements de signe que la suite (a) a perdus en ajoutant les divers résultats donnés par les règles précédentes.

Ayant donc énuméré toutes les conséquences possibles de la substitution d'un nombre croissant a, nous sommes parvenu à la démonstration du théorème général dont voici l'énoncé :

Si l'on forme la suite des fonctions

par la différentiation du premier membre de l'équation X = o,et si, ayant substitué dans ces fonctions un même nombre a, on remarque combien il

y a de fois -\ ou h dans la suite des résultats des substitutions, le

nombre des changements de signe de la suite sera d'autant plus grand que la râleur substituée a sera moindre.

Si l'on donne au nombre a une valeur continuellement croissante depuis une valeur négative très grande A Jusqu'à une valeur positive très grande B, on fera disparaître successivement tous les changements de signe de la suite des résultats. La suite perd un changement de signe toutes les fois que le nombre substitué devient égal à l'une des racines réelles, en sorte que l'équation a autant de racines réelles, égales ou in~ égales, que la suite perd de changements de signe par la substitution des valeurs de a qui rendent nulle la dernière fonction,

La même équation a autant de racines imaginaires que la suite perd de changements de signe par la substitution des valeurs de a qui rendent nulles une ou plusieurs des fonctions intermédiaires, et qui ne rendent point nulle X.

C'est à ce théorème que se rapportent la règle de Descartos et les applications qu'on en a faites pour la recherche des limites des racines. Il résulte évidemment de la démonstration précédente qu'il ne peut y avoir, dans l'intervalle de deux limites quelconques a et b, plus de II. 39

racines que la suite perd de changements de signe lorsque le nombre substitué passe de la valeur a à la valeur b; on connaît ainsi combien on doit chercher de racines dans cet intervalle. Celles qui sont ainsi indiquées dans l'intervalle de a à b, et qui ne s'y trouvent point, ne peuvent être qu'en nombre pair; elles correspondent à autant de racines imaginaires. Ainsi, il y a de certains intervalles où les racines imaginaires manquent deux à deux, comme il y a des intervalles où les racines réelles subsistent.

Il nous reste à donner une règle générale pour distinguer facilement les intervalles où manquent les racines imaginaires de ceux où les racines réelles subsistent.

Nous nous bornerons présentement à l'énoncé de cette dernière règle, qui résout une des difficultés principales de l'analyse des équations.

Si l'équation X = o avait toutes ses racines réelles inégales et que l'on connût cette propriété, le théorème précédent, ou même la seule application de la règle de Descartes, suffirait pour séparer toutes les racines, c'est-à-dire pour assigner à chacune deux limites entre lesquelles elle serait seule comprise. En effet, on donnerait au nombre substitué a différentes valeurs, telles que — ioo, — 10, — i, o, -j-i, + 10, +100, et l'on connaîtrait les intervalles dans lesquels on doit chercher les racines, et le nombre des racines qui peuvent s'y trouver; on subdiviserait ensuite ces intervalles, et, pour le faire avec-ordre, on pourrait suivre le procédé que nous allons décrire.

Désignant par a et b les deux limites d'un intervalle où l'on cherche plusieurs racines, on comparera la suite (a) des résultats de la substitution de a à la suite ((3) des résultats de la substitution de b; écrivant sur une ligne horizontale la première suite, et procédant de la gauche à la droite, on marquera, au-dessus de chaque terme, combien la suite contient de changements de signe jusqu'à ce terme, et y compris ce terme. Le nombre ainsi marqué, que nous désignerons, en général, par //, augmentera, ou du moins ne pourra pas diminuer, depuis le premier terme de la suite jusqu'à dernier X, pour lequel il aura sa va-

leur complète H. Ayant écrit au-dessous de la suite (a) la suite ((3) du résultat de la substitution de b, on comptera pareillement dans cette seconde suite le nombre k des changements de signe, à partir du premier terme à gauche jusqu'à un terme quelconque, et y compris ce terme. Ainsi, ce nombre augmente, ou du moins ne peut pas diminuer, lorsqu'on passe d'un terme à un autre vers la droite; les premières valeurs de h et k sont o et o, et les dernières, qui correspondent au terme X, sont H et K.

On prendra aussi la différence des deux nombres correspondants // et k, et l'on écrira chaque valeur de cette différence o entre les deux termes qui répondent à h et k; la première valeur de o sera o, et la dernière H — K, ou A; les valeurs successives de ces nombres h, k, o et leurs valeurs complètes H, K, A se déterminent facilement à la seule inspection des suites (a) et ((51).

Considérant la suite des nombres o, à partir du dernier à droite, qui répond à X, et passant de la droite à la gauche, on s'arrêtera au premier de ces nombres que l'on trouvera être égal à l'unité. Désignant paro("'(j?) la fonction qui répond à ce terme i de la suite (ô), on substituera au lieu de x, dans cette fonction et dans toutes celles qui la suivent à droite, un nombre a' compris entre a et b, limites de l'intervalle. Ce nombre intermédiaire a doit être du même ordre décimal que a et b, si cela est possible, ou il doit être de l'ordre immédiatement inférieur. Ayant fait ces substitutions de a' dans o{n)(x) et dans toutes les fonctions placées à la droite de celle-ci, on aura divisé l'intervalle des deux limites en deux autres intervalles moindres et, si toutes les racines de la proposée étaient réelles, on trouverait, par ces subdivisions, deux limites distinctes pour chacune des racines.

Si l'équation X= o peut avoir des racines imaginaires, la subdivision des intervalles ne suffit pas pour déterminer la nature des racines, mais on y parviendra au moyen de la règle suivante :

Ayant désigné la fonction ^"(x) correspondante an terme i, marqué, comme on l'a dit plus haut, dans la suite (o ), on examinera si, clans celle

suite, ce terme i est précédé à gauche du terme o. Si cela n'a point lieu, on procédera à la subdivision de l'intervalle comme on le ferait si toutes les racines étaient réelles; mais si ce terme, qui est nécessairement suivi

min— ')(,£•)

de 2, est précédé de o, on écrira l'expression — T -, et, y faisant

x = a, on trouvera la râleur — ■ , . , — — > ce qui se réduit à prendre le

cp("J(a) J r

quotient de deux quantités déjà connues. Si ce quotient n'est pas moindre que la différence b — a des deux limites, on sera assuré qu'il manque deux racines dans l'intervalle de a à b; dans ce cas, on retranchera i de chacun des termes de la suite (o) à partir de celui qui répond à ^n~t](x) jusqu'au dernier terme à droite, qui répond à X, et l'on conservera les valeurs précédemment trouvées, pour les termes de cette suite (o) qui sont à la gauche de y{"~,](x); cela étant, on aura une nouvelle suite (S) pour ce même intervalle compris entre a et b. On continuera donc l'application littérale de la présente régie, et, en opérant ainsi, on parviendra promptement, et sans aucune incertitude, à la séparation de toutes les racines (' ).

Nous n'examinons point ici les cas singuliers où les fonctions différentielles ont des facteurs communs, parce qu'ils se résolvent facilement au moyen des théorèmes connus sur les racines égales.

Au lieu de substituer l'une des limites^ dans l'expression — ,„,,'->

on peut aussi substituer la plus grande limite b, et comparer le quo-

tient -h Y ,„,, . , à la différence b — a. Si ce quotient n'est pas moindre

<pw(6) l r

que b — a, on est assuré qu'il manque deux racines dans l'intervalle ; enfin, on tirerait encore la même conclusion si la somme des deux

(iiiotients — T ,„w , et -f- T ,,,,.,-r- n «tait pas moindre que b — a.

Ainsi, toutes les fois que la différence b — a des deux limites n'est pas plus grande que la somme des deux quotients, on est assuré que deux racines manquent dans l intervalle , et qu'elles correspondent à deux racines imaginaires dans l'équation X = o. Au moyen de ce caractère et de la

(' ) Coite règle est entièrement démontrée dans le Premier Livre de Y Analyse des équations déterminées, publiée en 18J0, après la mort do Fourier. G. D.

subdivision des intervalles, on arrive nécessairement à distinguer toutes les racines. C'est pour effectuer cette distinction que MM. Lagrange et Waring ont proposé autrefois d'employer l'équation dont les racines sont les différences des racines de l'équation donnée; et cette solution considérée en elle-même est exacte; mais, dans le plus grand nombre de cas, elle ne peut être d'aucun usage. Les difficultés propres à cette dernière méthode sont trop connues pour qu'il soit nécessaire de les rappeler; celle que nous venons d'exposer conduit immédiatement à la désignation des limites des racines. Nous pourrions aussi indiquer divers autres procédés pour distinguer les racines imaginaires; mais il serait inutile de chercher une méthode exégétique plus simple que celle que nous proposons ici. On jugera par l'examen approfondi de la question, autant que par l'application même, que cette règle est générale, et qu'elle exige très peu de calcul. Les principes dont nous l'avons déduite font connaître : i° qu'il y a des intervalles extrêmement grands dans lesquels on ne doit chercher aucune racine : ce sont les intervalles pour lesquels la valeur A de la différence est o; 2° qu'il y a autant d'intervalles distincts qu'il y a de racines réelles : ce sont ceux pour lesquels la différence A est. l'unité; 3° qu'il y a des intervalles d'une troisième sorte, dans lesquels les racines manquent deux à deux; c'est-à-dire qu'il suffit d'être assuré que l'équation n'a point de racines dans ces mêmes intervalles pour en conclure avec certitude qu'elle a un pareil nombre de racines imaginaires : ces inter-

valles sont ceux pour lesquels 1 un des quotients — ' ,„,,\ > -+- T . ,,)., ii t cp<"'(a) o{"'(b)

ou leur somme, n'est pas moindre que la différence h — a des deux limites.

Les propositions que nous avons rapportées dans cette Note ne concernent pas seulement les équations algébriques; elles s'appliquent aussi à la recherche des limites des racines, quelle que soit la nature des équations, pourvu que l'on considère les fonctions différentielles de tous les ordres.

NOTE RELATIVE AU MEMOIRE PRECEDENT

Par M. Gaston DARBOUX.

L'écrit de Fourier que nous venons de reproduire mérite, par la nouveauté des idées aussi bien que par la clarté de la rédaction, d'être placé à côté du Mémoire justement admiré où Sturm a exposé la démonstration complète et définitive de son célèbre théorème ('). C'est à Descartes que l'on doit faire remonter la considération des variations et des permanences de signes dans une série linéaire; mais Fourier a, le premier, substitué aux constantes qui figurent dans la suite de Descartes des fonctions, dont les signes peuvent changer lorsque la variable indépendante prend toutes les valeurs possibles. Sturm, d'ailleurs, s'est toujours plu à reconnaître tout ce qu'il devait à Fourier, comme le montrera le passage suivant, que nous empruntons à un Article du Bulletin de Férussac {-) :

« M. Fourier a fait connaître les principes de sa belle théorie dans le Bulletin de la Société philomathirjue de 1820; il a donné quelques autres fragments dans divers Mémoires qu'il a lus à l'Académie; mais l'Ouvrage qui doit renfermer l'ensemble de ses travaux sur l'Analyse algébrique n'a pas encore été publié. Une partie du manuscrit qui contient ces précieuses recherches a été communiquée à quelques personnes. M. Fourier a bien voulu m'en accorder la lecture et j'ai pu l'étudier à loisir. Je déclare donc que j'ai eu pleine connaissance de ceux des travaux inédits de M. Fourier qui se rapportent à la résolution des équations, et je saisis cette occasion de lui témoigner la reconnaissance dont ses bontés m'ont pénétré. C'est en m'appuyant sur les principes qu'il a posés et en imitant ses démonstrations que j'ai trouvé les nouveaux théorèmes que je vais énoncer. »

La proposition fondamentale démontrée par Fourier dans le Mémoire précédent est souvent attribuée à Budan de Bois-Laurent. Un passage de l'éloge

I 1 i Mémoire sur la résolution des équations numériques (Mémoire des Savants- étrangers, t. VI; 18:55).

(-) Anal) ie d'un Mémoire sur la résolution des équations numériques ; par M. C.11. Sturm 1 lu à l'Académie des Sciences le 2'3 mai 182g). — Bulletin de Férussac, t. XI, p. 4"j-

NOTE RELATIVE VI MEMOIRE PRECEDENT. 311

de Fourier par Arago, où la question est trop nettement tranchée en faveur de Budan, a beaucoup contribué à répandre celte opinion, qu'un examen détaillé et attentif ne paraît pas confirmer. L'éclat et l'importance des découvertes de Fourier dans la théorie de la chaleur ont surtout attiré l'attention des géomètres; on n'a pas rendu assez de justice aux découvertes de l'illustre savant relatives à la résolution des équations numériques. Comme Fourier n'a pas eu le temps d'y mettre la dernière main et de les publier dans leur ensemble, on ne les a peut-être pas étudiées avec toute l'attention qu'elles méritaient. La méthode de séparation des racines qui est exposée dans le .Mémoire précédent, si elle le cède en précision et en élégance à ceHe que l'on déduit immédiatement du théorème de Sturm, est bien supérieure dans la pratique à celle de Lagrange, qui repose sur la considération de la plus petite racine de l'équation aux. différences. La Préface que Navier a placée au commencement de l'Analyse des équations déterminées établit, d'ailleurs, de la manière la plus incontestable, non seulement que Fourier a connu sou théorème dès 1787, mais encore qu'il l'a exposé publiquement à l'École Polytechnique dans les années 1796, 1797 et i8o3. D'après cela, voici l'ordre dans lequel se présentent les publications respectives de Fourier et de Budan :

1. Exposition du théorème dans l'enseignement de Fourier à l'Ecole Polytechnique en 1796, 1797 et i8o3. Nous négligeons ici plusieurs Communications aux Instituts de France et d'Egypte dont on connaît les dates, mais dont il ne reste aucune trace écrite.

2. Publication faite en 1806 par Budan d'un Ouvrage intitulé Nouvelle méthode pour la résolution des équations de degré quelconque. Ce Traité Con = tient une méthode absolument insignifiante pour la séparation et le calcul des racines. Voici tout ce qu'on y trouve sur le théorème de Fourier (p. 26, n° 39) :

« On peut déduire de la règle de Descartes les deux propositions suivantes :

i° Une équation en x dont toutes les racines sont réelles a autant de racines comprises entre zéro et p qu'il y a de permanences de signes dans la transformée en x — p, de plus que dans l'équation en x.

20 Une équation de cette espèce ne peut avoir, soit une, soit deux, soit n ra cines comprises entre zéro et p si la transformée en x — p n'a pas respectivement une, ou deux, ou n permanences de signes, de [>lus que l'équation en x.

312 NOTE RELATIVE AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT

» Nous avons de fortes raisons de croire que la seconde proposition est applicable à une équation quelconque. »

Et plus loin (p. 36) :

« Si la seconde proposition mentionnée au n° 39 était admise comme un principe général, ce principe fournirait, etc., .... Mais comme nous n'apportons point ici de preuve de la généralité de ce principe, etc »

Ainsi Rudan soupçonne seulement la vérité de la proposition, et il n'en fait d'ailleurs aucun usage. C'est à propos de cet Ouvrage de Budan que Poisson écrivait à Fourier, le 24 avril 1807 :

a Un docteur en médecine vient de publier un Ouvrage sur la résolution numérique des équations.... Le docteur a entrevu votre théorème sur les changements de signes; il a de fortes raisons de penser qu'il a lieu dans le cas des racines imaginaires; j'en ai de bien plus fortes que les siennes, puisque vous m'avez dit autrefois que vous aviez une démonstration générale de celte proposition. Vous devriez bien publier au moins les différents théorèmes sur lesquels est fondée votre méthode pour résoudre les équations, .... »

3. En 181 1, Budan présente à la première classe de l'Institut (Académie des Sciences) un Mémoire où la proposition se trouve enfin nettement énoncée et démontrée. Les commissaires Lagrange et Legendre font un Rapport favorable avec quelques restrictions; mais ni le Rapport, ni le Mémoire ne sont imprimés.

k. En 1820, publication par Fourier du Mémoire précédent.

5. En 1822, Rudan imprime une seconde édition de sa Nouvelle méthode pour la résolution des équations de degré quelconque. Un appendice à cet Ouvrage contient le Mémoire de 181 1 et le Rapport des commissaires.

La démonstration de Rudan, bien inférieure à celle de Fourier, est purement algébrique et ne s'applique pas aux équations transcendantes; elle a aussi l'inconvénient d'exiger la démonstration préalable de la règle de Descaries et d'un lemme de Segner qui n'est exact d'ailleurs que pour les équations complètes ('). Elle repose toutefois sur un principe qui mérite d'être connu.

Étant donnée une suite de nombres

(') Si l'on multiplie un polynôme algébrique ordonné par.r-4-tf, le nombre des permanences du produit ne peut être inférieur à celui du polynôme primitif.

NOTE RELATIVE AU MEMOIRE PRECEDENT

formons les sommes

nous aurons la suite

que Budan appelle la première suite sommatoire de la suite donnée. Appliquant la môme méthode à cette première suite, on aura la deuxième suite sommatoire A2, B2, ... et l'on pourra continuer ainsi indéfiniment. On écrira le Tableau

dont le mode de formation est identique à celui du triangle arithmétique, puisque chaque nombre du Tableau est égal à la somme de celui qui est audessus et de celui qui est placé à gauche. Cela posé, Budan démontre les deux lemmes suivants :

Le nombre des variations contenues dans la première suite, de A à F par exemple, est toujours inférieur ou égal à celui des variations comprises dans la partie correspondante, de A,- à F,-, de l'une quelconque des suites sommait tires.

De plus, si l'on forme des suites en diagonale, telles que celles-ci

A,; As, B,; A3, B2, C,; A», B3) C2, I),; ...,

le nombre des variations qu'elles présentent est toujours inférieur ou égal éi celui des variations qui se traînent dans les parties correspondantes

de la première suite.

Le reste de la démonstration ne présente rien qui mérite d'être signalé. II. 4o

:3li NOTE RELATIVE AU MEMOIRE PRECEDENT.

Le lecteur peut juger maintenant si les faits que nous venons d'exposer justifient l'affirmation d'Arago et l'attribution du théorème à Rudan. Pour nous, la conclusion s'impose. Si le théorème doit porter le nom d'un seul géomètre, c'est à Fourier que nous devons le restituer. En cherchant à mettre cette conclusion hors de doute, nous n'avons pas été guidé par le désir, commun à trop de commentateurs, d'exalter leur auteur aux dépens de tous les autres. Mais il nous a toujours paru que l'admirable démonstration de Fourier, la seule qui soit reproduite dans les Ouvrages modernes, a un intérêt scientifique bien supérieur à celui de la proposition, considérée en ellemême; c'est ce qui nous a déterminé à étudier les différents éléments de la question, et à entreprendre les recherches précédentes, qui n'offraient d'ailleurs aucune difficulté.

SOLUTION D'UNE QUESTION PARTICULIÈRE

nr