CALCUL DES INÉGALITÉS

Nouveau Bulletin des Sciences par la Socie'tc philomatliujue de Paris,

La question suivante offre une application du calcul des inégalités linéaires. Cet exemple, très simple, est propre à donner une première notion des résultats de ce calcul et des constructions qui les représentent.

On propose de diviser l'unité en trois parties, qui peuvent être inégales, mais qui sont assujetties à cette condition que la plus grande des trois parties ne doit pas surpasser le produit de la plus petite par 1 -1-/'; le nombre donné /■ exprime la limite de l'inégalité. Si ce nombre était nul, les trois parties devraient être égales, et le problème aurait une seule solution. Lorsque la limite donnée a une valeur positive quelconque, la question est indéterminée; elle a une infinité de solutions.

Il est très facile d'exprimer par des inégalités toutes les conditions de la question, et de résoudre ces inégalités par l'application des règles générales. On arrive ainsi à la construction suivante, qui fait connaître distinctement toutes les solutions possibles, exprime leur caractère commun et mesure l'étendue de la question.

La ligne mm" représente la longueur de l'unité (fig. 1). Avant formé le carré mm'm"n, on prolonge indéfiniment le côté nm" et l'on prend

318 SOLUTION D'UNE QUESTION PARTICULIÈRE

m" n' égale à l'unité mm' : on prolonge aussi nm! et l'on fait m n" égale à mm'; ensuite, désignant par nb la quantité donnée qui est la limite de l'inégalité, on forme trois carrés dont le côté est /•, et on les place comme l'indique la figure, aux points n, n', n". Cela posé, on trace : t° du point /w les droites ma, mb; i° du point m' les deux droites

Fis. i.

m'a', m'b' ; 3° du point m" les deux droites m'' a", m"b". Ces trois systèmes, dont chacun est formé de deux lignes, et qui partent des points m, m , m", se coupent et forment, par leurs intersections, un hexagone irrégulier ia3456. Si l'on marque un point quelconque jx de l'aire de cet hexagone et si l'on prend les coordonnées de ce point par rapport à la ligne proposée mm', ces coordonnées orthogonales, qui sont p.a et am, expriment une solution de la question proposée; l'abscisse