DU CALCUL DES INEGALITES

ma est l'une des parties, l'ordonnée au. est la seconde partie, et, portant cette ordonnée ai/, sur l'axe, on trouve \>.'m' pour la troisième partie cherchée.

L'aire de l'hexagone est le lieu de toutes les solutions possibles; c'est-à-dire que chaque point de cette aire fournit une solution, et qu'il n'y a de solutions possibles que celles qui répondent aux points de l'aire.

A mesure que la limite rde l'inégalité diminue, le polygone formé par les trois systèmes de droites devient de plus en plus petit, et, lorsque r= o, il se réduit à un seul point, qui est le centre de gravité du triangle mm'm" .

Si la valeur de r augmente indéfiniment et sans limites, l'aire de l'hexagone augmente de plus en plus; les lignes ma, mb se rapprochent des lignes mm", mm et finissent par coïncider avec elles. La ligne m'b' se rapproche de l'axe mm et se confond avec cet axe ; la ligne m'a' se rapproche de la diagonale m' m" et coïncide avec elle. Il en est de même des lignes m"a", m'b", qui se rapprochent respectivement de la perpendiculaire m"m et de la diagonale m" m'; ainsi, en supposant la limite /-infinie, l'hexagone se confond avec le triangle mm'm".

Le rapport de l'aire de l'hexagone à l'aire totale du triangle mm'm" est la mesure exacte de l'étendue de la question proposée. Si l'on demande quelle probabilité il y a qu'en partageant au hasard la ligne mm' en trois parties, il arrivera que la plus grande de ces parties ne surpassera pas le produit de la plus petite par i -+- r, on aura, pour la mesure de cette probabilité, le rapport de l'aire de l'hexagone à l'aire du triangle.

On pourrait se proposer une question semblable en considérant un nombre quelconque de parties. Les constructions géométriques ne suffiraient plus pour représenter la solution; mais on déduirait toujours cette solution de l'analyse des inégalités, et l'on déterminerait aussi par les mêmes principes la mesure de l'étendue de la question.

NOTE RELATIVE AU MÉMOIRE PRECEDENT

Par M. Gaston DARBOL'X.

Désignons par x, y, ; les trois parties. On aura

et les inégalités suivantes devront être satisfaites

Les trois dernières, on s'en assure aisément, sont des conséquences des si\ premières. On peut donc les négliger. Si l'on remplace dans les six premières 5 par sa valeur déduite de l'équation (1), on a les inégalités nouvelles

\ x{i -+- /■) -t- y{\ -+- /•) < 1 + /■, x{2 + r)-hy>i,

qui ne contiennent plus que jt et /. Si l'on considère ces deux parties comme les coordonnées rectangulaires d'un point, on est évidemment conduit à la construction de Fourier; car chacune des inégalités exprime que le point i x, y) doit se trouver d'un certain côté par rapport à une droite dont on obtiendra l'équation en remplaçant dans l'inégalité le signe > ou < par le signe d'égalité. Aux six inégalités correspondent les six côtés de l'hexagone de Fourier.

Cette question des inégalités a beaucoup occupé Fourier; il avait l'intention de publier, dans son grand Ouvrage sur la Théorie des équations, une élude

développée sur ce sujet. Nous croyons utile de joindre à la Note qui précède les deux passages suivants, que Fourier a insérés dans Y Histoire de l'Académie, pour les années 1823 et 1824. G. D.