PREMIER EXTRAIT

{Histoire de l'Académie pour 1823, p. xxix.)

M. Fourier a lu, dans les séances du 10 et du 17 novembre 1823, un Mémoire d'analyse indéterminée sur le calcul des conditions d'inégalité. L'auteur s'est proposé de traiter dans ce Mémoire un nouveau genre de questions, et d'établir les principes d'un calcul qui offre des applications variées à la Géométrie, à l'Analyse algébrique, à la Mécanique et à la Théorie des probabilités. Nous allons indiquer le caractère principal de ces recherches, et nous citerons quelques exemples simples, propres à en faire connaître l'objet.

Une question est, en général, déterminée lorsque le nombre des équations qui expriment toutes les conditions proposées est égal au nombre des inconnues. Dans la théorie dont il s'agit, les conditions ne sont pas exprimées par des équations; c'est-à-dire qu'au lieu d'égaler à une constante ou à zéro une certaine fonction des inconnues, on indique au moyen des signes < ou > que cette fonction est plus grande ou moindre que la constante; c'est ce qui constitue une inégalité. On suppose, par exemple, que quatre indéterminées doivent être assujetties à un certain nombre d'inégalités du premier degré, et qu'il faut trouver toutes les valeurs possibles de ces inconnues. Le nombre des inégalités pourrait être moindre que celui des inconnues, ou lui être égal, et même il peut être beaucoup plus grand; il est en général indéfini. Il s'agit de trouver des valeurs des quatre inconnues qui, étant substituées simultanément, satisfont à toutes les conditions proposées, soit que ces conditions consistent seulement dans certaines inégalités, soit qu'elles comprennent aussi des équations. Une question de cette espèce admet une infinité de solutions; elle est indéterminée. 11 faut donner une règle générale qui serve à trouver facilement toutes les solutions possibles. On jugera d'abord que des questions semblables doivent se présenter fréquemment dans les applications des théories mathématiques. Dans plusieurs cas on peut arriver à la solution par des remarques particulières propres à la question que l'on veut résoudre; mais si le nombre des conditions est assez grand, et si elles se rapportent à trois ou à plus de trois variables, si les inégalités ne sont pas linéaires, la suite des raisonnements devient si composée qu'il serait presque impossible à l'esprit le plus exercé de la saisir tout entière. Il faudrait d'ailleurs recourir à des considérations différentes selon la nature de la question, comme cela arrive à l'égard de plusieurs problèmes que l'on résout sans le secours de l'Algèbre. 11 était donc nécessaire de ramener à un procédé général et uniforme lo calcul des conditions d'inégalité; on supplée ainsi, par une combinaison régulière et constante des signes, aux raisonnements les plus difficiles et les plus étendus, ce qui est le propre des méthodes algébriques. L'exposé de ces règles générales est l'objet du Mémoire; nous citerons en premier lieu un exemple très simple de ce genre de questions.

On suppose qu'un plan triangulaire horizontal est porté par trois appuis verticaux pla-