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ces aux sommets des angles. La force de chaque appui est donnée et exprimée par i: c'est-à-dire que, si l'on plaçait sur un appui un poids moindre que l'unité, ce poids serait supporté, mais que l'appui serait aussitôt rompu si le poids surpassait i.

On propose de placer un poids donné, par exemple 2, sur la table triangulaire, en sorte qu'aucun des trois appuis ne soit rompu. La question serait déterminée si le poids donné était 3; elle est insoluble si ce poids surpasse trois; elle est indéterminée s'il est moindre que 3. Désignant par deux inconnues les coordonnées du point où l'on doit placer le poids proposé, et par trois autres inconnues les pressions exercées sur les appuis, et supposant, pour simplifier le calcul, que le triangle est isoscèlc-rectanglc, on voit (pie la question renferme cinq quantités inconnues et une qui est connue, savoir le poids proposé. Or les principes delà Statique donnent immédiatement trois équations; et l'on y joindra, pour chaque sommet, deux inégalités qui expriment que la pression est positive et moindre que 1. Il est évident que toutes les conditions de la question seront alors exprimées. 11 ne s'agit plus que d'appliquer les règles générales du calcul des inégalités linéaires; on en déduira toutes les valeurs possibles des coordonnées inconnues, et l'on désignera ainsi tous les points du triangle où le poids donné peut être placé. Si l'on forme cette solution, on trouve que les points dont il s'agit se réunissent dans l'intérieur de la Table, et composent un hexagone lorsque le poids donné est compris entre 1 et 2. Cette figure devient le triangle lui-môme silo poids est moindre que l'unité; elle est un triangle plus petit si le poids est compris entre 2 et 3, et elle se réduit à un seul point si le poids est égal à 3; enfin, lorsqu'il surpasse 3, la figure n'existe plus, parce que les lignes qui doivent la former cessent de se rencontrer.

Voici la construction qui sert à tracer ces lignes. Désignant par 1 le côté du triangle isoscèle-rectangle, on divise l'unité par le poids donné qu'il s'agit de placer, et l'on porte la longueur mesurée par le quotient : i° sur chaque côté de l'angle droit, à partir du sommet de cet angle, ce qui donne deux points 1 et 2; 20 sur un des côtés de l'angle droit, à partir- du sommet de l'angle aigu, ce qui donne un troisième point 3; 3° sur l'autre côté de l'angle droit, à partir du sommet de l'angle aigu, ce qui donne un quatrième point 4. On élève, par le point 1, une ligne perpendiculaire sur le côté où se trouve ce point, et par le point 2 une deuxième ligne perpendiculaire sur l'autre côté; enfin on mène une troisième ligne droite par les points 3 ou 4- Ces trois lignes ainsi tracées terminent, sur la surface du triangle, l'espace où le point donné peut être placé sans qu'aucun des appuis soit rompu.

Il serait facile do résoudre sans calcul une question aussi simple; mais, si le nombre des appuis est plus grand que 3, si leur force est inégale, si la table horizontale porte déjà en certains points des masses données, ou si l'on doit y placer non un seul poids, mais plusieurs, on ne peut se dispenser de recourir au calcul des inégalités. L'avantage de cette méthode consiste en ce qu'il suffit, dans tous les cas, d'exprimer les conditions de la question, ce qui est facile, et de combiner ensuite ces expressions au moyen de règles générales qui sont toujours les mêmes; et l'on forme ainsi lu solution, à laquelle on n'aurait pu parvenir que par une suite de raisonnements très compliqués.

Les questions que l'on traite clans ce Mémoire sont toutes indéterminées, parce qu'elles ;idmcltent une infinité de solutions; mais elles diffèrent entre elles quanta l'étendue. Dans les unes, les conditions exigées restreignent beaucoup cette étendue; pour d'autres, rémunération de toutes les solutions possibles est moins limitée; il est nécessaire, dans cer-

taines recherches, de considérer les questions sous ce rapport. Un examen attentif prouve que l'étendue propre à chaque question est une quantité mathématique que l'on peut toujours évaluer en nombres : c'est en cela que la Théorie dont on expose les principes se lie à celle des probabilités, et il y a en effet divers problèmes, dépendant de cette dernière science, qui se résolvent par le calcul des inégalités. Or on ne peut mesurer l'étendue ou capacité d'une question sans comprendre dans rémunération toutes les solutions possibles, en sorte qu'on doit ici faire usage du Calcul intégral; et, en effet, l'auteur a reconnu que le nombre qui mesure l'étendue d'une question quelconque est toujours exprimé par une intégrale définie multiple, dont les limites sont données. Il est très facile d'effectuer ces intégrations successives, quel qu'en soit le nombre, et si l'on écrit les limites des intégrales, en se servant de la notation proposée dans la Théorie analytique de la chaleur, la quantité que l'on veut déterminer est exprimée sous la forme la plus générale et la plus simple.

Il est évident que les conditions proposées pourraient être telles que la question n'admit aucune solution possible. Dans ce cas, le calcul développe l'opposition réciproque des conditions, et montre l'impossibilité d'y satisfaire. Ainsi la méthode a pour objet : i° de reconnaître si la question peut être résolue; 1° de trouver dans ce cas toutes les solutions qu'elle admet; 3° de mesurer par un nombre l'étendue propre à la question. Il arrive souvent aussi, dans ce genre de recherches, que l'objet principal n'est pas de trouver toutes les solutions, mais d'en reconnaître une ou plusieurs limites. Sous ce point de vue, la question n'est pas indéterminée ; et il en est de même de celle qui consiste à mesurer l'étendue; mais ces questions dépendent de la même analyse. Nous ne pouvons ici qu'indiquer bien imparfaitement les applications et les résultats de cette méthode : on s'est borné à citer quelques exemples.

Nous venons do rapporter le premier. Le second concerne une question de Mécanique analogue à la précédente, mais qui en diffère en ce que la quantité inconnue est une limite et, par conséquent, a une seule valeur.

On suppose qu'une-surface plane et horizontale, de figure carrée, est portée sur quatre appuis verticaux, placés aux sommets des angles; chacun des appuis peut supporter un poids moindre que l'unité, mais il romprait aussitôt s'il était chargé d'un poids plus grand que cette unité. On marque un point quelconque sur la table horizontale, et l'on demande quel est le plus grand poids que l'on puisse placer en ce point donné, sans qu'aucun des appuis soit rompu. Ce plus grand poids, c'est-à-dire la force de la table en ce lieu, dépend évidemment de la position du point. Concevons qu'on y élève une ordonnée verticale pour représenter le plus grand poids qui répond à ce lieu, et qu'ayant fait cette construction pour chaque point do la table horizontale on trace la surface courbe qui passe par toutes les extrémités supérieures des ordonnées.

Il s'agit de déterminer la nature et les dimensions de cette surface. Or la solution déduite du calcul prouve que la surface qui serait ainsi tracée n'est point assujettie à une loi continue : elle est formée de plusieurs surfaces hyperboliques, différemment situées : la question est résolue par la construction suivante.

On divise le carré on huit parties égales, au moyen des deux diagonales et de deux droites transversales, dont chacune joint le milieu d'un côté au milieu du côté opposé. Chacune de ces huit parties est un triangle rectangle (pie l'on divise en deux segments, dont l'un a deux fois plus de surface que l'autre. Cette division s'opère en menant une

liizne droite do l'angle droit du triangle à l'un des angles du carré. On prend pour base de chacun do ces segments celui de ses trois côtés qui est parallèle à un côté du carré. Pour trouver le plus grand poids qui puisse être placé en un point donné du plus grand segment, il faut, par ce point, mener une parallèle à la base du segment, jusqu'à la rencontre de celle des deux diagonales dont le point est le plus éloigné, et mesurer sur cette parallèle la longueur interceptée entre le point de rencontre et le point donné; l'unité, divisée par cette longueur interceptée, est la valeur cherchée du plus grand poids.

Si ce point donné est situé dans le petit segment, il faut, par ce point, mener une parallèle à la base du segment, jusqu'à la rencontre do celui des côtés du carré dont le point donné est le plus distant, et mesurer la partie de cette parallèle qui est interceptée entre le point de rencontre et le point donné. L'unité, divisée par la moitié de la longueur interceptée, exprime la valeur cherchée du plus grand poids. En appliquant l'une ou l'autre règle à chacun des seize compartiments du carré, on connaîtra le plus grand poids qui puisse être placé en chaque point de la table rectangulaire. On voit que la valeur de l'ordonnée verticale qui mesure ce plus grand poids n'est pas assujettie à une loi continue. Cette loi change tout à coup lorsqu'on passe du grand segment au petit segment. Il serait facile de trouver cette solution sans calcul, et l'auteur l'avait donnée depuis longtemps. Mais, si la figure du plan est différente, si la table supporte déjà en certains points des masses données, il est nécessaire de recourir aux règles qui servent à la combinaison des inégalités.

Parmi les applications que l'auteur a faites de sa méthode, les unes ont, comme les deux précédentes, pour principal objet de faire connaître la nature de ce nouveau genre de problèmes et la forme générale du calcul. D'autres concernent des questions très difficiles et très étendues, dont la solution était nécessaire aux progrès des théories analytiques. L'une se rapporte à l'usage des équations de condition, si important pour la formation des tables astronomiques. Il s'agit de trouver les valeurs des inconnues telles que la plus grande erreur, abstraction faite du signe, soit la moindre possible : ou telles que l'erreur moyenne, c'est-à-dire la somme des erreurs, abstraction faite du signe, divisée par leur nombre, soit la moindre possible.

Une seconde application se rapporte à l'analyse générale; elle a pour objet de former les termes successifs de la valeur de chacune des inconnues qui entrent dans des équations littérales données. L'auteur considère la résolution des équations littérales à plusieurs inconnues comme dépendante de la recherche simultanée de toutes les racines; soit que le nombre de leurs termes soit fini, ce que l'opération indique, soit qu'on développe ces racines en séries infinies.

Dans l'une et l'autre question que l'on vient de citer, les cas où il no se trouve qu'une seule jnconnue sont déjà résolus, et ils ont pu l'être sans le calcul des conditions d'inégalité; mais cette recherche prend un caractère très différent lorsqu'on veut l'étendre à un nombre quelconque d'inconnues. La solution dépend alors d'une théorie particulière, dont les principes se retrouvent dans les questions les plus difficiles et les plus variées. C'est cette théorie que l'auteur s'est proposé de former.