SECOND EXTRAIT

{Histoire de l'Académie pour 1824, p. XL VII. )

Nous avons indiqué, dans les analyses précédentes, l'origine et l'objet du calcul des conditions d'inégalité, dont M. Fourier a fait des applications très variées à la Mécanique, à l'Analyse générale, à la Géométrie et à la Théorie des Probabilités. Une des questions les plus remarquables, dont le Mémoire cité contient la solution, est celle qui se rapporte au Calcul des erreurs des observations. Nous ne pouvons ici faire connaître que très succinctement les principes de cette solution.

On considère des fonctions linéaires de plusieurs inconnues x, y, z, . ..; les coefficients numériques qui entrent dans les fonctions sont des quantités données. Si le nombre des fonctions n'était pas plus grand que celui des inconnues, on pourrait trouver pour x, r, z, . . . un système de valeurs numériques tel que la substitution simultanée de ces valeurs dans les fonctions donnerait pour chacune un résultat nul. Mais on ne peut pas, en général, satisfaire à cette condition lorsque le nombre des fonctions surpasse celui des inconnues. Supposons maintenant que l'on attribue à x,y, z, . . . des valeurs numériques a, (3, y, •••, et que, en les substituant dans une fonction, on calcule la valeur positive. ou négative du résultat de la substitution; on considère comme une erreur ou écart le résultat positif ou négatif qui diffère de zéro; et, faisant abstraction du signe, on prend pour mesure de l'erreur le nombre d'unités positives ou négatives que le résultat exprime.

Cela posé, on demande quelles valeurs numériques X, Y, Z, ... il faut attribuer à x, y, 3, . . . pour que le plus grand écart provenant de la substitution dans les diverses fonctions proposées soit moindre que le plus grand écart que l'on trouverait en substituant dans les fonctions tout autre système de valeurs différent de celui-ci X, Y, Z, ....

On pourrait aussi chercher un système X', Y', Z', ... de valeurs simultanées de x, y, s, . . . tel que la somme des erreurs, prise abstraction faite du signe, fût moindre que la somme des erreurs provenant de la substitution de tout système différent X', V, Z', ....

L'une et l'autre question se résolvent par l'analyse des inégalités, quel que soit le nombre des inconnues. Il suffit d'exprimer les conditions propres à la question, et d'appliquer aux inégalités écrites les règles générales de ce calcul. On supplée ainsi, par un procédé algorithmique, à des raisonnements très composés, qu'il faudrait changer selon la nature de la question, et qu'il serait, pour ainsi dire, impossible de former si le nombre dos inconnues surpassait trois.

Pour faciliter les applications lorsque le nombre des valeurs est assez grand, il convient de réduire les opérations au moindre nombre possible. On y parvient en considérant les propriétés des fonctions extrêmes-. Nous appelons ainsi celles qui peuvent être ou plugrandes ou plus petites que toutes les autres. La construction suivante représente clairement la méthode qui doit être suivie pour arriver sans calcul inutile aux valeurs de x, y, z, . . . qui donnent au plus grand écart sa moindre valeur. Quoique cette construction soit propre au cas de deux variables, elle suffit pour faire bien connaître le procédé général.

x et i sont, dans le plan horizontal, les coordonnées d'un point quelconque. L'ordonnée verticale z mesure la valeur de la fonction; chaque inégalité est représentée par un plan dont la situation est donnée. Dans la question dont il s'agit, le nombre de ces plans est double du nombre des fonctions, parce qu'il faut attribuer à chaque valeur le signe -+- et le signe — . On ne considère que les parties dos plans qui sont placées au-dessus du plan horizontal des xy; et ces parties supérieures des plans donnés sont indéfiniment prolongées. Il faut principalement remarquer que le système de tous ces plans forme un vase qui leur sert de limite ou d'enveloppe. La figure de ce vase extrême est celle d'un polyèdre dont la convexité est tournée vers le plan horizontal. Le point inférieur du vase ou polyèdre a pour ordonnées les valeurs X, Y, Z qui sont l'objet de la question; c'est-à-dire que Z est la moindre valeur possible du plus grand écart, et que X et Y sont les valeurs de x et y propres à donner ce minimum, abstraction faite du signe.

Pour atteindre promptement le point inférieur du vase, on élève en un point quelconque du plan horizontal, par exemple à l'origine des x et y, une ordonnée verticale, jusqu'à la rencontre du plan le plus élevé; c'est-à-dire que, parmi tous les points d'intersection (pie l'on trouve sur cette verticale, on choisit le plus distant du plan des xy. Soit /»i ce point d'intersection placé sur le plan extrême. On descend sur ce même plan depuis le point /«t jusqu'à un point m, d'une arête du polyèdre, et, en suivant cette arête, on descend depuis le point >n2 jusqu'au sommet m3 commun à trois plans extrêmes. A partir du point m3, on continue de descendre suivant une seconde arête jusqu'à un nouveau sommet i/ti ; et l'on continue l'application du même procédé, en suivant toujours celle des deux arêtes qui conduit à un sommet moins élevé. On arrive ainsi très prochainement au point le plus bas du polyèdre. Or cette construction représente exactement la série des opérations numériques que la règle analytique prescrit; elle rend très sensible la marche de la méthode, qui consiste à passer successivement d'une fonction extrême à une autre, en diminuant de plus en plus la valeur du plus grand écart. Le calcul des inégalités fait connaître que le même procédé convient à un nombre quelconque d'inconnues, parce que les fonctions extrêmes ont, dans tous les cas, des propriétés analogues à celles des faces du polyèdre qui sert de limite aux plans inclinés. En général, les propriétés des faces, des arêtes, des sommets et des limites de tous les ordres subsistent dans l'Analyse générale, quel que soit le nombre des inconnues. Les bornes de ces Extraits ne nous permettent point une exposition détaillée, qui pourrait seule donner une connaissance complète de la méthode et de l'ordre qu'il faut établir dans les opérations numériques lorsque le nombre des fonctions est très grand; mais la construction précédente suffit pour montrer le caractère de la solution.

Nous indiquerons maintenant l'objet d'une recherche plus générale, commune à toutes les questions de l'analyse des inégalités, x, y, z, ...,«,< désignant les inconnues, il s'agit de trouver pour ces quantités des valeurs qui satisfassent à un nombre quelconque de conditions linéaires dont chacune est exprimée parle signe > ou <, et qui contiennent x,y, z, ...,«, t. On procédera comme il suit pour éliminer successivement .r, j, z, .... Chacune des inégalités donne évidemment pour x une condition de la forme

«> A -t-B/4-Cz -t-..,

ou de la forme

On compare chacune des conditions de la première forme à chacune des conditions de la seconde, et l'on écrit, pour exprimer celte comparaison,

a + $y -+- y 3 -h . . . > A -+- Bj -+- Cs -h

Par ce moyen on forme de nouvelles inégalités où x n'entre plus. Il arrive presque toujours qu'un assez grand nombre de ces nouvelles inégalités subsistent évidemment, et qu'il est inutile de les écrire. Ces réductions se présentent d'elles-mêmes, et elles simplifient beaucoup le calcul.

Lorsqu'on a remplacé les inégalités qui contenaient x, y, z, ..., u, t par celles qui contiennent seulement y,' z, . . ., u, t, on élimine y suivant le même procédé; et continuant l'application de cette règle, on obtient des conditions finales où il n'entre qu'une seule inconnue t. On en déduit pour cette dernière inconnue des limites numériques, dont les unes sont de la forme t > a, et les autres de la forme t < b. On n'a plus à considérer que la plus petite B des limites b, et la plus grande A des limites a. S'il arrive que A soit un nombre plus grand que B, on en conclut avec certitude que la question proposée n'a aucune solution possible; et c'est à ce caractère que l'on reconnaît si les conditions proposées en x, y, z, . . ., «, t peuvent toutes subsister à la fois. Lorsque la limite B n'est pas moindre que la limite A, la question proposée ne renferme point de conditions incompatibles, et, généralement parlant, elle admet une infinité de solutions. On attribuera donc à t une valeur quelconque comprise entre A et B, et, substituant cette valeur de t dans les conditions qui ne contiennent que u et t, on trouvera des limites numériques pour u. Or il arrivera nécessairement que la plus petite des limites supérieures de u surpassera la plus grande des limites inférieures de u. On prendra donc pour u une valeur quelconque comprise entre ces limites. Substituant pour u et t leurs valeurs numériques dans les conditions qui contiennent u et t, et une autre inconnue seulement, on déterminera de la même manière la limite de cette nouvelle inconnue; l'application de la même règle fera connaître les valeurs de toutes les indéterminées : car il est impossible, comme nous l'avons dit, que l'on ne trouve pas pour chaque inconnue une valeur comprise entre ses deux limites. Cette contradiction no pourrait avoir lieu que pour la dernière inconnue t; et cela arrive lorsque les conditions proposées renferment quelque impossibilité que le calcul a développée.

La règle précédente se présente en quelque sorte d'elle-même; mais il est nécessaire d'en donner une démonstration complète. Celle qui est rapportée dans le Mémoire consiste à prouver qu'après l'élimination d'une inconnue : i° les conditions exprimées eay, z, . . ., a, t doivent toutes subsister, si la question admet une solution possible; 20 que, réciproquement, si ces conditions subsistent, on peut satisfaire à toutes celles qui ont été proposées; ainsi, la question ne perd point de son étendue lorsqu'on élimine une des inconnues. Cette question demeure exactement la même jusqu'à la fin du calcul. Il n'y a aucune solution de la question proposée qui ne puisse être trouvée par l'application de la règle.

Il ne nous reste plus qu'à considérer le système de toutes ces solutions réunies, et à montrer distinctement en quoi consiste cet assemblage. Nous choisissons pour exemple le cas où les conditions linéaires proposées, en nombre quelconque, renferment trois inconnues x, y, z. Car les mêmes conséquences s'appliquent à un nombre quelconque d'indéterminées.

Si l'on résout, par la méthode de l'auteur, des inégalités qui contiennent x, y, z et des coefficients numériques donnés, on peut former séparément chaque solution, c'est-à-dire

chaque système de trois valeurs a, (3, y qui, substituées à x, y, z, satisfont à toutes les conditions exprimées. Ces valeurs simultanées a, (3, y sont les trois coordonnées d'un certain point. Toute solution possible est ainsi marquée par un point dont les coordonnées sont les valeurs de x, j, z\ Or on reconnaît que l'assemblage de ces points forme, dans tous les cas, un volume terminé par un polyèdre; et tout système d'inégalités entre trois inconnues x, y, z, quelle que soit la question d'Analyse, de Mécanique ou de Physique à laquelle ses conditions se rapportent, conduit à une solution générale représentée par un certain polyèdre que l'on peut construire. Chaque point du volume que ce polyèdre termine marque une solution particulière de la question. Si elle n'admet qu'une seule solution, ce qui est le propre des questions déterminées, le volume se réduit à un seul point.

Si les inégalités renferment soulement deux variables x et j, le volume se réduit à l'aire d'une figure plane terminée par un polygone. Lorsque la solution proposée n'admet aucune solution possible, les plans ou les droites qui déterminaient le polyèdre ou le polygone se trouvent dans des situations respectives telles que la figure n'existe point.

Les questions que cette analyse résout ont des étendues inégales. Les unes sont assujetties à des conditions plus restreintes, qui limitent beaucoup le lieu des solutions; les autres ont de telles conditions que le système de toutes les solutions possibles occupe un plus grand intervalle. L'étendue propre à chaque solution est toujours une quantité que l'on peut exprimer en nombre; la mesure de cette étendue est celle du volume que termine le polyèdre correspondant à la solution générale. Quelque diverses que soient les questions proposées, elles peuvent toujours être comparées entre elles sous le rapport de leur étendue; c'est principalement cette considération qui constitue le calcul des inégalités; c'est par là que cette analyse se lie à la théorie des probabilités.

Lorsque le nombre des inconnues ne surpasse pas trois, la valeur du volume ou de l'aire qui répond à la solution donne la mesure de l'étendue de la question. Si l'on considère plus de trois inconnues, l'étendue de la question cesse d'être représentée par une construction géométrique, et toutefois on la détermine encore par des intégrales définies qu'il est très facile d'effectuer, et dont les limites sont indiquées par le calcul analytique. Les fonctions extrêmes remplacent, comme nous l'avons dit, les faces, les arêtes, les sommets, et reproduisent indéfiniment dans l'analyse générale toutes les propriétés des figures et de leurs termes des différents ordres.

Si les conditions sont exprimées par des inégalités non linéaires, la question ne change point de nature, et peut encore être traitée par les mêmes principes; mais l'objet principal du Mémoire est d'établir les éléments de cette branche de l'analyse indéterminée. On voit qu'elle comprend une classe très étendue de questions, susceptibles des applications les plus variées, et qui sont résolues par un calcul uniforme, analogue à la méthode algébrique.

THOISIÈME SECTION.