II

sphère toujours rempli de chaleur. La capacité d'un rayon donné est proportionnelle à l'aire qu'il occupe sur la surface hémisphérique dont le centre est en m et dont le rayon serait i. Si l'on suppose qu'un de ces rayons R occupe un très petit espace s sur la surface de l'hémisphère, dont l'étendue est 2ir, u désignant la longueur de la demi-circonférence dont le rayon est i , la capacité du rayon R sera le rapport -•

On pourrait concevoir que tous les rayons qui sortent du point m ont la même intensité, c'est-à-dire, qu'à égale capacité ils contiennent la même quantité de chaleur, et alors la distribution de la chaleur dans l'hémisphère serait uniforme. L'hypothèse que l'on formerait ainsi est entièrement contraire aux propriétés naturelles de la chaleur. La composition de l'hémisphère n'est point homogène : l'intensité de chaque rayon est exactement proportionnelle au cosinus de l'angle que la direction de ce rayon fait avec la normale à la surface. Ainsi, l'intensité du rayon perpendiculaire est double de celle du rayon qui fait avec la surface un angle égal au tiers d'un droit. Il est très facile de reconnaître que si l'émission de la chaleur est assujettie à cette loi, l'équilibre subsiste de lui-même dans toutes les parties de l'espace, et l'on prouve, par une analyse semblable, que l'équilibre ne peut subsister sans cette condition. Les Mémoires cités dans l'Extrait précédent contiennent la démonstration de ces théorèmes. On ne se propose point ici de la rapporter, mais seulement d'examiner quels seraient les effets de l'émission de la chaleur si tous les rayons avaient une égale intensité.

Pour mesurer l'intensité z d'un rayon R dont la capacité est infiniment petite, on suppose que tous les autres l'ayons qui partent du même point m et remplissent l'hémisphère ont cette même intensité z, et qu'il en est de même de tous les autres points m', ni", m'", ... de l'unité de surface XZ. Dans ce cas, l'accroissement de la chaleur émise pendant l'unité de temps, et qui serait dû à l'élévation de température i, aurait une valeur différente de h. On représente par z cette valeur, et elle est la mesure exacte de l'intensité du ravon. Il est mani-

teste que tous les rayons infiniment petits qui, sortant d'un même point m, font avec la surface XZ un même angle <p sont également intenses, ou plutôt on ne connaît aucune cause physique qui puisse rendre leur intensité inégale. Il n'en est pas de même des deux rayons R et R' qui sortiraient de la surface sous des angles différents ç et o'; le rapport de leurs intensités z- et z' peut être celui d'une certaine fonction du sinus de o à la même fonction du sinus de ©'. En général, on doit représenter l'intensité s par g-F(sincp), g- étant un coefficient constant, et F(sinîp) une fonction dont la nature ne peut être déterminée que par les observations.

III. Si l'arc BNC (fig. 3), dont le rayon est i, tourne autour de l'axe CM, il décrira l'hémisphère, et l'élément NN' décrira une zone qui est

occupée par tous les rayons sortis du point M sous le même angle NMB, désigné par <p; l'étendue de cette zone est 27icoso<7o : ainsi les rayons dont elle est la base ont une capacité totale égale à cosydy. En représentant leur intensité par g-F(sino), le produit ^F(sincp) coso <l-j exprimera la quantité de chaleur émise sous l'angle o par l'unité de surface: c'est-à-dire que si, pour chaque point m, m , m", m'" de l'unité de surface XZ, on prenait tous les rayons qui, sortant sous le même angle a», ont leur base sur une zone hémisphérique égale à 2-cos^/ç-, la quantité de chaleur fournie pendant l'unité de temps par ces seuls rayons serait g-F(sino)eosç< <7o.

Il suit de là qu'en intégrant cette différentielle depuis o = o jusqu'à ç, = ',-. la somme doit être égale au coefficient h\ car ce coefficient mesure par hypothèse le produit de l'émission totale. On doit donc

avoir la condition

h = l ^F(sincp) cosç

do.

En désignant sincp par a, on a h = g I F(a)da; et l'intégrale doit être prise de qp = o à <p = ^tt, ou de 1 —■ o à cr = 1 : ainsi le coefficient g est

f F(<7)rfff

et l'expression générale de l'intensité dans les questions de ce genre est

F(cr)rfa

Si l'on supposait que l'intensité fût la même pour tous les rayons, quel que fût l'angle <p, la fonction F(sincp) serait 1 ; on aurait g = h.

Si l'on suppose que l'intensité est proportionnelle au sinus de l'angle d'émission, ce qui est le cas de la nature, la fonction F(sincp)

est égale à sin<p : on a alors

F(o-) do = { et g rr 2 h.

Dans ce cas, l'intensité z d'un rayon R sorti de la surface sous l'angle <p est 2Àsin<p. La quantité h représente l'intensité moyenne; celle du rayon normal est ih\ c'est-à-dire que, si tous les rayons avaient cette même intensité, le produit de l'émission serait double de ce qu'il est en effet. L'intensité de ce rayon, qui fait avec la surface un angle égal au tiers d'un droit, est h; elle est égale à l'intensité moyenne : c'est elle qu'il faudrait donnera tous les rayons pour que le produit de l'émission fût égal à celui que l'on pourrait mesurer par les observations.

IV. Les principes que l'on vient d'établir suffisent pour déterminer, au moyen d'une analyse fort simple, tous les effets de la chaleur rayon-

nante, tant que l'on n'a point égard à la réflexibilité des surfaces. L'explication complète de cette dernière propriété exigerait des développements plus étendus. On peut en faire abstraction lorsqu'on se propose seulement de calculer les températures dans un cas particulier comme celui de l'égale intensité des rayons. On pourrait aussi omettre l'article précédent; mais la remarque qu'il contient est nécessaire pour comparer l'hypothèse d'une égale intensité à celle d'une intensité proportionnelle au sinus de l'angle d'émission.

V. On suppose maintenant que la distribution de la cbaleur dans l'bémisphère est uniforme, et il s'agit de déterminer, pour ce seul cas où tous les rayons sont également intenses, la température que doit acquérir une molécule sphérique a placée à la distance g du centre de l'espace sphérique. On suppose aussi que l'état de la superficie de la molécule est le même que l'état de la surface intérieure de l'enceinte. Par conséquent le coefficient h est commun aux deux surfaces.

La molécule sphérique dont le centre occupe le point i reçoit pendant cliaque instant une certaine quantité de chaleur de tous les points de l'enceinte S dont la température est a, et elle envoie aussi, par sa propre surface, une certaine quantité de chaleur qui dépend de sa température. Supposons que l'on donne à cette sphère infiniment petite u. une température a telle que la quantité de chaleur envoyée par la molécule pendant un instant soit égale à celle qu'elle recevrait de l'enceinte pendant le même temps; il est manifeste que la température y. ne pourra varier.

Si l'on donne à la sphère [j. une température moindre que a, cette molécule recevra une quantité de chaleur plus grande que celle qu'elle envoie; elle s'échaulïêra de plus en plus, sa température s'approchant continuellement de la valeur a. Si, au contraire, la molécule reçoit d'abord une température plus grande que a, la quantité de chaleur perdue par la molécule surpassera celle qu'elle reçoit, et la température diminuera en s'approchant continuellement de la valeur a.

Pour déterminer la température que doit acquérir la molécule lors-

qu'on la place au point i de l'espace, il faut donc trouver une valeur a de la température qui soit telle que la chaleur perdue par cette sphère \x soit égale à la chaleur reçue pendant le même temps.

p étant le rayon de la sphère \x, la quantité de chaleur qui sort de la molécule pendant l'unité de temps est h.^7zp2a.. Il reste à déterminer la quantité de chaleur que cette molécule reçoit. On considérera d'abord l'action d'un seul point M de la surface sphérique S. On désigne par o l'angle MAB; l'arc MB sera rcp, r étant le rayon de la surface sphérique. L'ordonnée MP sera rsincp; l'abscisse PA sera reosep, et P/ sera reosep — g.

En désignant par v la distance Mi du point M au centre de la molécule, on aura

yi rs S m2 <p + ( /• cos cp — g )2 = /,2 — 2 gr cos cp ■+- g"-.

Le rayon dont le centre est en M, et qui enveloppe la molécule sphérique \x, occupe une certaine partie de la surface hémisphérique dont le centre serait aussi en M, et qui aurait pour rayon la distance y. L'étendue de cette portion occupée par le rayon incident est -np2; ou plus exactement cette étendue ne diffère de ~p- que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, parce que le rayon p est infiniment petit par rapport à y. La surface de ce même hémisphère est

i~y- : donc la capacité du rayon incident est — ~ ou - -*V Si l'on

./ i j 2Ti y >■ y

désigne par co l'aire d'un élément infiniment petit auquel le point M appartient, la quantité de chaleur envoyée par cet élément à la molécule [i. pendant l'unité de temps sera h—^tsxt.

Si l'élément MM' de l'arc BM tourne autour de l'axe BD, il tracera une zone sphérique qui envoie à la molécule une quantité de chaleur <'\ primée par

lia — — 27i/' sinordo ou <ih — -tïo'2 sino do.

En intégrant cette différentielle depuis o = o jusqu'à 9 = -, on connaîtra la quantité totale de chaleur reçue par la molécule u.; cl, comme

la quantité de chaleur perdue est h.^Tzp2ai, on doit avoir l'équation

a — sincp ofcp.

Il est facile de déterminer la valeur de a, ou a f' r2 sincp dy

4J0 r2— 2£TCOSCp-h£'2

On désignera par n le rapport donné ~, et supposant coscp = p, on

i r~x —dp

«=ial ;

L'intégrale / -

aura

inp

est

in

log(i — 2/ip + n2) -+- const.,

et la constante est

log(i — 2« -t- «-),

puisque l'intégrale doit être nulle lorsque /? = i; on a donc

— dp

et faisant

— i, on a dp

I , / I — 2 tt/J + II1

., = - - Iog — — i- r

np -\- n- m \\ — a a -h n2-

,/1 I — 2 AiyD + tt2 2/1 L(i — n)'2 J /J

lOï

Il suit de là que la valeur de a est donnée par l'équation suivante

Si, par exemple, g— -,r, on aura a = |alog3; et lorsqu'on augmen-

tera la valeur de - depuis ^jusqu'à i, le rapport - augmentera depuis ~ log3 jusqu'à l'infini.

Lorsque - est nul, l'expression devient -> et l'on trouvera, par la

règle connue, soit en differentiant, soit en réduisant en série, a = {-a. Ainsi la molécule, étant placée au centre de la sphère, acquerrait seulement une température égale à la moitié de celle de l'enceinte. Lorsqu'on éloignerait cette molécule du centre, elle prendrait une température d'autant plus grande qu'elle serait plus voisine de la superficie. Cette température acquise deviendrait d'abord égale à celle de l'enceinte; ensuite elle augmenterait toujours si l'on rapprochait la molécule de la surface, et elle pourrait devenir aussi grande qu'on le voudrait.

VI. On peut déterminer en quel point la molécule doit être placée pour que sa température ait une valeur donnée égale à ma, m étant un nombre quelconque. Il suffit de résoudre l'équation

{m = - log - n \ i — n J

en regardant comme l'inconnue le rapport n ou -; question qui appartient à la théorie des équations, et dont la solution est facile.

On voit donc que, si les rayons qui sortent d'un point m d'une surface échauffée avaient la même intensité sous toutes les directions, l'équilibre de la chaleur ne pourrait s'établir dans un espace terminé par une surface sphérique entretenue à une température constante.

La molécule sphérique que l'on y placerait changerait de température en changeant de position. On pourrait placer le centre de la molécule en un tel point que la quantité de chaleur qu'elle recevrait fût incomparablement plus grande que pour un autre point. Supposons, par exemple, que la molécule [t. soit d'abord à la température a; sa surface perdrait la même quantité de chaleur A qu'une surface de même étendue qui ferait partie de l'enceinte. Si donc le lieu où l'on place la molécule était tel qu'elle reçût de l'enceinte une quantité de

chaleur égale à A, elle conserverait nécessairement la température a qu'on lui aurait donnée. Or on peut toujours désigner le point de l'espace où la chaleur reçue est égale à A, et c'est en ce point seulement que l'équilibre a lieu; il serait impossible pour tous les autres; la molécule, placée au centre de l'espace, recevrait seulement une quantité de chaleur égale à ^A; et, en l'approchant de la paroi intérieure de. l'enceinte, on trouverait des points pour lesquels la chaleur reçue est cent fois ou mille lois plus grande que A. Il en résulterait donc une température acquise incomparablement plus grande que celle de l'enceinte; ce qui est contraire à toutes les observations.

Mais si le rayon MI qui sort du point M de l'enceinte contient, à égale capacité, d'autant moins de chaleur qu'il fait un plus petit angle avec l'élément de la surface s, et si son intensité est proportionnelle au sinus de cet angle, la quantité totale de chaleur reçue par la molécule (A est égale à A, quelle que soit la distance IA désignée par g. Cette proposition ne dépend ni de la forme de l'enceinte, ni de celle du corps fini ou infiniment petit [x qui reçoit la chaleur.

Vil. On n'a point considéré dans le calcul précédent la propriété que peuvent avoir les surfaces de réfléchir une partie de la chaleur incidente qu'elles reçoivent des corps environnants; et l'on n'a point expliqué la cause physique du décroissement de l'intensité des rayons, et les elfets qui résulteraient de toute autre loi de décroissement. Ces parties de notre Théorie nécessitent un examen plus approfondi : au reste, il est facile de voir que, dans le cas d'une émission homogène, la molécule p., placée au centre de l'espace sphérique, en acquérant la propriété de réfléchir une partie des rayons incidents, ne prendrait point une température égale à celle de l'enceinte.

En elfet, chaque point M de l'enceinte envoie à la molécule un rayon

de chaleur dont l'intensité est ah, et la capacité - '-i-

Donc la quantité de chaleur envoyée à la molécule par un élément w de la surface intérieure de l'enceinte est - - '--,; en multipliant cette

'ii

dernière quantité par le rapport de la surface entière /\izr- à l'élément eu, on trouvera la quantité totale de chaleur iTzp2ak que reçoit la molécule [t.; et cette quantité est deux fois moindre que celle qui est envoyée dans l'espace par la même molécule retenue à la température constante a; car cette dernière quantité est évidemment {\tap2ah. Si maintenant on suppose que la molécule n'est point pénétrée partoute la chaleur incidente, mais qu'elle en repousse une partie, il est visible qu'il n'en peut point résulter que la chaleur reçue devienne équivalente à la chaleur perdue. Il semble même que l'on pourrait en conclure que l'inégalité serait encore plus grande. Mais cette dernière conséquence ne peut être admise. En effet, quoique l'on ne connaisse pas encore la nature de cette force qui, s'exerçant à la surface, repousse vers l'espace extérieur une partie de la chaleur incidente, et l'empêche de pénétrer dans le solide, on sait que cette même cause contient ou réfléchit dans l'intérieur des corps une partie de la chaleur rayonnante qui tend à se porter dans l'espace environnant : l'une et l'autre propriété ont une cause commune. Si l'on change l'état de la surface, et si, en lui donnant un poli plus parfait, on diminue d'une certaine partie d'elle-même la quantité de chaleur émise, on diminue dans le même rapport la quantité de chaleur admise, c'est-à-dire celle qui, étant envoyée au solide par les corps environnants, peut traverser sa surface et pénétrer dans l'intérieur. Dans tous les cas, il est manifeste que la molécule ix, placée au centre de l'espace, soit qu'elle jouisse ou non de la faculté de réfléchir une partie des rayons, ne pourrait prendre dans l'hypothèse de l'émission homogène qu'une température très inférieure h celle de l'enceinte. Or ce dernier résultat n'est pas moins contraire aux faits que si la température était trop élevée. On voit, par exemple, qu'en prenant pour la température constante a de l'enceinte celle qui répond à la fusion d'une certaine substance, on trouverait que la molécule placée au centre doit acquérir la température de la glace fondante. Il suffirait, pour que ce résultat eût lieu, que la température désignée par zéro dans le calcul précédent eût une valeur inférieure à celle de la glace, et telle que la tempéra-

ture de la glace fût moyenne entre celle qui répond à zéro et celle que l'on attribue à l'enceinte.

VIII. On a représenté par A la quantité totale et absolue de chaleur que l'enceinte de surface envoie dans l'espace pendant l'unité de temps lorsque la température de la surface est zéro. Dans le calcul précédent, on a dû faire abstraction de cette quantité A ou la regarder comme nulle; en effet, si l'enceinte S avait la température constante zéro, la molécule jj. placée en un point quelconque de l'espace conserverait la température zéro si elle l'avait reçue d'abord. Pour que cet effet ait lieu, il est nécessaire, ou que la quantité A soit nulle, ou que la chaleur reçue par la molécule soit toujours égale à celle qu'elle envoie elle-même dans l'espace. Dans le premier cas, qui est purement hypothétique, la température prise pour zéro correspondrait à l'état des corps qui n'émettent aucune chaleur. Dans le second cas, l'équilibre a lieu à la température zéro, parce que l'émission est assujettie à la loi de décroissement qui rend cet équilibre possible.

L'analyse précédente prouve donc que, si une partie seulement de la chaleur émise, savoir celle qui est due à l'élévation a de la température, n'était point assujettie à la même loi, et qu'elle fût au contraire uniformément distribuée, on observerait, à partir de la température zéro, des effets énormes opposés à toutes les observations, et l'équilibre de la chaleur rayonnante cesserait entièrement de subsister. Si l'on choisit pour la température désignée par zéro celle qui convient à la congélation du mercure, et si la valeur désignée para est la température de la glace fondante, on trouvera sur le rayon BA un point E tel que la molécule, y étant placée, acquerra aussi une température égale à a, et l'on trouvera entre les points B et E un point E' pour lequel la température serait celle de l'eau bouillante. Enfin, on trouverait entre B et E' un point E" où la température acquise par la molécule serait celle qui répond à la fusion du fer. Pour que ces résultats eussent lieu, il ne serait même pas nécessaire que toute la chaleur émise par les corps fût assujettie à une distribution uniforme; il suffirait que la

loi naturelle du décroissement ne fût point observée au delà du terme qui correspond à la température zéro.

Ainsi le fait général de l'équilibre de la chaleur rayonnante suppose qu'il n'y a aucune partie de la chaleur émise qui ne soit assujettie à la loi que nous avons démontrée. Si, pour une portion quelconque de cette chaleur projetée, l'émission était homogène, l'équilibre serait troublé dans toute la masse, et l'on observerait, à partir d'un point fixe, toutes les températures possibles dans un espace où il ne peut y en avoir qu'une seule.