II

au point m2 une seconde normale m2n2 à la surface de l'enceinte ou des corps contenus, et l'on fait passer un second plan par cette normale m2n2 et par la seconde droite m.,i. Il faut ensuite tracer dans ce second plan, et de l'autre côté de la normale m.,n2, une troisième droite m2i qui fasse en ce point m2 avec la surface un angle égal à o2, et cette droite prolongée rencontre l'une des surfaces en un point ms.

On continue ainsi indéfiniment d'élever des normales aux points où les droites prolongées rencontrent l'enceinte. On fait passer un piaf! par une de ces droites et par la normale correspondante; et dans ce plan on trace, de l'autre côté de la normale, une nouvelle droite qui, formant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence, détermine sur l'enceinte ou sur les corps contenus un nouveau point de rencontre. Cette construction représente la route d'un rayon qui, partant de 0 dans la direction 0/»,, est réfléchi successivement par les surfaces intérieures aux points mt, m2, ra3, ..., wy,, my, et réciproquement l'un de ces points, tel que m,t, envoie, dans la direction m.,,3, un rayon qui est réfléchi successivement par les surfaces aux points m3, m2, /«,, et parvient en 0 suivant la direction m,0. Il en est de même de tous les points m2, m.x, ..., mj, qui entrent dans la série que l'on a formée; au reste, il est évident que les lignes qui joignent ces points 0, m,, m2 ne sont pas en général dans un seul plan; on les a toutes ramenées au plan de lay?g\ 5.

Si l'on applique la même construction à chaque point tel que mt du premier élément w,, on formera un système de rayons qui partent tous du point 0, et qui, étant réfléchis par w,, (m2, w.,, ... sur la surface de l'enceinte ou des corps, interceptent sur cette surface un second élément oi2. Le système des rayons réfléchis par a>2 interceptera sur les surfaces un troisième élément co3, ainsi de suite indéfiniment. Quant au premier élément o>(, il est supposé infiniment petit; c'est-à-dire que ses dimensions décroissent de plus en plus, et deviennent moindres que toute grandeur donnée.

Désignons par r la quantité de chaleur que l'élément w, enverrait

directement au point 0 si, à la surface de cet élément co,, la réflexibilité était nulle, ou, ce qui est la même chose, si le pouvoir d'émission était total. Supposons que toutes les surfaces de l'enceinte et des corps contenus jouissent de cette même propriété d'émission complète, et que l'équilibre des températures soit formé; la chaleur que le point m, envoie sous l'inclinaison cp, au point 0 est égale à celle que le point m, envoie sous la même inclinaison <p, au point m2, et par conséquent elle est aussi égale à la chaleur que m2 envoie à m{ dans la direction contraire m2m{ (art. VI et VII). Ainsi chaque rayon qui part de co, et se dirige vers le point 0 correspond à un rayon équivalent que co2 envoie à co, et dont la direction est telle que, s'il était réfléchi par co,, il parviendrait au point 0. Donc la somme de ces derniers rayons est r.

Si le pouvoir émissif de co, n'est pas complet, cet élément ne projettera plus vers le point 0 le rayon total r, mais seulement a,r, en exprimant par la fraction a, le pouvoir émissif de co, sous l'inclinaison cp,; et, si l'émission à la surface co2 n'est pas complète, la somme des rayons que a>o envoie à co,, et qui parviendraient au point 0 s'ils étaient réfléchis par co,, n'est plus égale à r, mais seulement à a.,r, la fraction a2 mesurant le pouvoir émissif de co2 sous l'inclinaison Ço.

On prouve de la même manière qu'en désignant par a,, a2, a3, ..., olj le pouvoir d'émission à la surface des éléments co,, co2, co.,, . . . , coy, sous les inclinaisons o,, o2> 93> • • • » Oj, la quantité ayr exprime la chaleur totale qui sort de l'élément co7, et tombe sur l'élément précédent suivant de telles directions que, par l'effet des réflexions successives, elle pourrait arriver au point 0.

On calculera maintenant la quantité totale de chaleur ou directe ou réfléchie que l'élément co, envoie au point 0, et l'on examinera si cette chaleur équivaut à/'; car, le calcul donnant ce résultat, la loi du rayonnement serait observée. Une première partie de cette quantité totale de chaleur envoyée par co, au point 0 est celle qui sort, à travers cet

élément, de l'intérieur même de la masse : elle est a,/\ En la comparant à /•, on voit qu'elle en diffère d'une quantité égale à (i — a,)r.

Or l'élément co2 projette sur co, un rayon de chaleur propre exprimée par a2r, et qui, étant réfléchi par co,, se réduit à a2(i — a,)/\

Ainsi les rayons sortis de co, et co2, et qui tombent sur le point 0, apportent une quantité de chaleur exprimée par a,r + a2(i — y.,)r. Cette somme n'est point égale à r; mais la différence, qui était ( i — a, )r lorsqu'on ne tenait compte que du rayon sorti de co,, est diminuée delà quantité a2(i — a, )r envoyée par co2. Elle devient (1 — a,)r — a2(i — a,)r ou (i — a,)(i — a2)r, puisque le facteur (i — a,)r est commun aux deux termes que l'on compare. De plus, l'élément co3 envoie à co2 un rayon a3r qui, étant réfléchi par co2 et ensuite par co,, se réduit à a3(i — a,)(i — a2)r. Donc, en tenant compte de ce troisième rayon sorti de co.,, et comparant toujours la somme des chaleurs reçues par le point 0 à la quantitér, on voit que la différence, qui était (i — a,)(i — a2)r, devient encore moindre. Elle est (i — a, )(i — a2)(i — a3)r. En général, la somme des quantités de chaleur qui sortent d'un nombre quelconque d'éléments co,, co2, coy, et qui, par l'effet des réflexions multipliées, sont envoyées par co, au point 0, diffère de la valeur totale r d'une quantité égale à (i — a,)(i — a2)...(i — a,)/-, c'est-à-dire au produit de cette valeur totale r par toutes les fractions qui mesurent, sous les inclinaisons respectives ç4,<p2, •••>?;> le pouvoir réflecteur des surfaces dont la chaleur est sortie. Cette seule proposition suffit pour expliquer tous les effets des réflexions successives.

On voit que le calcul de ces effets consiste uniquement dans l'application des règles communes de la Catoptriquc, et d'un principe démontré dans nos Mémoires précédents, savoir, l'égalité précise des pouvoirs d'émission et d'absorption selon une direction déterminée.

Si l'un des nombres a,, a2, ...,ay est égal à l'unité, c'est-à-dire si l'une des surfaces a un pouvoir réflecteur nul, il est évident que le rayon reçu par le point 0 est complet, puisque la différence de ce rayon à la valeur totale r est nulle. Dans ce cas, le nombre des réflexions est limité. Mais si aucune des surfaces n'a un pouvoir réflecteur nul, le

produit (i — a,)(i — a2)(i — a3). .. se formera d'un nombre infini de facteurs qui mesurent la réflexibilité des surfaces o>, , w,, w., , ...

sous les inclinaisons <p,, <p2, o.t, On sera assuré que ce produit est

nul s'il y a une infinité de ces facteurs r — a,, i — a2, . .. dont chacun soit plus petit qu'une quantité déterminée A moindre que l'unité; car ce produit serait moindre qu'une puissance entière A' de la fraction A, quelque grand que fût l'exposant i. On pourrait donc prouver que le produit est moindre que toute grandeur proposée : ce qui ne peut être prouvé qu'à l'égard d'une quantité nulle. Admettons maintenant, comme une conséquence sensible de la nature de tous les corps, que la réflexibilité ne puisse devenir totale sous quelque inclinaison que ce soit, en sorte que le plus grand des facteurs i — a,, i — a2, i — a.,, . . . soit, dans tous les cas, un nombre déterminé o moindre que l'unité; on en conclura avec certitude que le produit de tous ces facteurs est nul. Donc la somme des rayons directs ou réfléchis, envoyés au point O par a»,, sera égale à la valeur totale que nous avons désignée par r.

Cette conséquence est rigoureuse, lorsqu'on admet que la réflexibilité ne peut jamais être totale. Mais si l'on concevait un tel état de surfaces que, pour de certaines incidences, la réflexion fût complète, le produit des facteurs i — a,, i — a.,, i — a.,, .. . pourrait n'être point nul. Alors la somme des quantités de chaleur émises par w,, w., co.,, ... à l'infini, et qui tombent sur le point O, ne serait pas égale à r. Mais il ne s'ensuit pas, comme on le verra bientôt, que la loi du rayonnement total ne soit pas conservée. Il en résulte seulement une exception singulière et purement mathématique, analogue à celle que présente l'équilibre non stable dans les théories dynamiques. Avant d'examiner cette question, nous ajouterons une remarque très propre à rendre sensible l'effet des réflexions successives.

On suppose que le point O envoie à oj, la quantité de chaleur que nous avons désignée par /•, et que ce rayon total soit successivemenl

réfléchi parles éléments co,, co2, wa) ..., coy-. Après ces réflexions, dont le nombre est déterminé et égal à y, la valeur du rayon sera réduite à

(i — a,) (i — a,) (i — a3). . .(i - ay)/\

En comparant cette expression à celle de l'article précédent, on voit que la somme des rayons qui sortent de co,, to2, co3, ..., coy, et qui, par l'effet des réflexions successives, tombent sur le point 0, diffère de la valeur totale r d'une quantité précisément égale à celle d'un rayon équivalent r qui, parti du point 0, aurait subi des réflexions successives sur ces mêmes surfaces co(, co2, ..., (Oy. Cette proposition est vraie quel que soit le nombre des réflexions; elle nous montre que la chaleur reçue par le point 0 approche de plus en plus du rayon total r, à mesure qu'elle se forme d'un plus grand nombre de parties qui sortent de w,, co2, ..., coy. Si l'on ne considère ici que des résultats physiques et mesurables, on ne peut douter que ce rayon de chaleur qui, partant du point 0, subirait des réflexions continuelles sur les surfaces co,, CO;,, ... , coy ne finît par devenir totalement insensible. Or ce rayon, qui s'éteint par degrés, est à chaque fois le complément exact de la quantité de chaleur qui, suivant une route contraire, se réunit en co, et arrive au point 0. Donc la somme des rayons que co, envoie à ce point 0 est égale à la valeur complète que l'on a désignée par r.

Énoncer cette dernière proposition, c'est dire, en des termes différents, qu'un- rayon qui subit des réflexions indéfinies s'éteint par degrés et totalement. On pourrait même reconnaître immédiatement et sans aucun calcul l'identité de ces deux propositions. Ce serait la manière la plus simple de démontrer l'effet des réflexions successives; mais nous avons préféré l'exprimer par le calcul.

Il ne nous reste plus qu'à considérer ce qui aurait lieu si l'on pouvait tellement changer l'état de quelques parties des surfaces que pour de certaines incidences la réflexibilité fût totale. L'examen de cette question fournit une conséquence remarquable.

Si toutes les surfaces de l'enceinte et des corps contenus étaient douées d'un pouvoir d'émission complet, la chaleur émise par les molécules solides placées à une très petite profondeur, comme on l'a prouvé (art. VIII), serait assujettie à la loi du rayonnement énoncée dans les articles VI et VII; l'équilibre des températures se formerait de luimême. Lorsqu'il est établi, un élément co, envoie dans une direction déterminée, par exemple, sous l'inclinaison <p0 une quantité de chaleur égale à r. Si présentement on opère un changement quelconque dans l'état des surfaces co,, co2, co.t, ..., il est certain (art. XII) que la quantité de chaleur envoyée au point 0 par co, demeurera toujours égale à r; mais elle ne consiste pas seulement, comme cela avait lieu d'abord, dans la chaleur qui sort de co, ; elle se forme de diverses parties. La première est celle qui est projetée par cot, et qui est devenue moindre que r. Une seconde partie résulte de toutes les quantités de chaleur qui sortent de co2, oo:î, co,(, ... à l'infini, et qui arrivent par des réflexions successives surco,, d'où elles parviennent au point 0. On a désigné par a,, a.-,, a3, ... les fractions qui expriment, sous les inclinaisons respectives, le pouvoir d'émission des surfaces co,, w2, w3, Or, si l'on veut

considérer comme entièrement arbitraires les valeurs de ces fractions, il arrive, dans un nombre de cas infini, que la somme des quantités de chaleur sorties de co,, co2, co3, ..., et qui parviennent au point 0, n'est pas équivalente à r. Il est facile d'assigner des valeurs de à,, a2, a3, . . . pour lesquelles cela n'aurait point lieu. Cependant on a démontré (art. XII) qu'un changement quelconque de l'état des surfaces ne peut diminuer la quantité totale de chaleur envoyée au point 0 par co, ; et cette démonstration s'applique à toutes les valeurs que l'on attribuerait aux fractions a,, a2, as, On se demande comment il se peut

faire que la chaleur totale reçue par le point 0 soit encore égale à r, quoique la somme des quantités sorties de co,, co2, co3, ... et reçue par ce point 0 soit moindre que r. Pour "résoudre clairement cette question, il faut remarquer que, dans le cas dont il s'agit, la chaleur totale reçue par le point 0 comprendrait une troisième partie, savoir, la chaleur contenue qui reste dans l'enceinte, où elle subit des réflexions

continuelles. Cette chaleur s'ajoute à celle'qui est projetée par les éléments tût, oj2, co:j, ...; elle complète la quantité reçue par le point 0, et la rend équivalente à r. En effet, en admettant comme possible un changement d'état des surfaces qui leur donnerait sous de certaines incidences une réflexibilité totale, on admet, par cela même, que la chaleur qui était répandue dans l'enceinte continue de circuler entre les éléments que l'on considère, parce qu'elle subit la réflexibilité totale sous ces mêmes incidences.

Il serait inutile de développer davantage cette remarque; on en pourrait rendre la vérité plus sensible en attribuant à l'enceinte une forme déterminée, comme celle de la sphère ou de l'ellipsoïde. Si donc les fractions a,, a2, a3, ... satisfont aux conditions qui rendent nécessairement nul le produit indéfini (i — a,) (i — a,)(i — a3) . . . , la somme des quantités de chaleur envoyée par w, au point 0 est égale à r, comme elle l'était avant le changement d'état de la surface. Mais s'il était physiquement possible que les valeurs des fractions a,, a2, a3, ... ne rendissent pas ce produit nul, il arriverait encore que la somme des chaleurs reçues serait égale à r. Il n'est pas mathématiquement nécessaire que le produit de tous les facteurs soit nul pour que la loi du rayonnement soit conservée après le changement d'état de la surface.

Si l'on fait abstraction de cette chaleur contenue, on se formera l'idée d'un cas purement rationnel où, les surfaces étant douées de la réflexibilité totale sous de certaines incidences, un point déterminé de l'intérieur de l'enceinte ne recevrait pas des quantités égales de chaleur dans toutes les directions; ce cas n'est pas mathématiquement impossible, mais il ne peut subsister physiquement.

En supposant même que la réflexibilité devînt nulle sous de certaines incidences, la chaleur contenue rétablirait l'uniformité de la distribution, et la quantité de cette chaleur contenue, qui rend la densité homogène, ne pourrait être augmentée ou diminuée, parce qu'il n'y a qu'un seul équilibre possible. Quoi qu'il en soit et indépendamment de toute considération sur la réflexibilité constante ou variable, ou sur l'effet des réflexions infiniment répétées, il est rigoureusement prouvé

DES PROPRIETES DE LA CHALEUR RAYONNANTE. k\l

qu'un changement quelconque de l'état des surfaces ne peut jamais altérer l'équilibre ni la quantité totale de chaleur envoyée par chaque élément. Ce dernier théorème ainsi énoncé est fondé sur une démonstration simple, exempte de toute obscurité, et qui ne suppose point le calcul des réflexions multiples. On connaît maintenant pourquoi il était préférable de choisir la forme de démonstration rapportée dans l'article 99 de notre premier Ouvrage et dans l'article XII du présent Mémoire.

Si l'on compare la construction et les propositions qui sont l'objet des articles précédents (XIV, XV, XVI et XVII) avec celles que l'on trouve dans le Mémoire cité (art. 14), on reconnaîtra que, sur divers points essentiels, nous n'admettons point l'opinion du savant auteur de ce Mémoire.

Nous remarquerons principalement qu'on ne peut point conclure de la Théorie mathématique de la chaleur la proposition exprimée dans cet Écrit, page 23o : que, si une surface acquiert la propriété de réfléchir en partie la chaleur incidente, la chaleur émise sera diminuée suivant un même rapport de n à i dans foules les directions, et qu'il en sera de même à l'égard de la chaleur absorbée, en sorte que la totalité de cette chaleur se trouvera réduite à la fraction n de celle qui tombe sur l'élément. Nous disons au contraire que, pour maintenir l'équilibre de la chaleur rayonnante, quel que soit le nouvel état des surfaces, il suffit que, le pouvoir d'émettre la chaleur suivant une certaine direction étant désigné par la fraction n, le pouvoir d'absorber la chaleur suivant la même direction soit aussi exprimé par //.

On peut montrer, par le calcul des réflexions successives et conformément aux principes énoncés dans l'article XV, que la somme des quantités de chaleur ou directe ou réfléchie envoyées par un élément dans une direction quelconque équivaut à celle qui serait projetée par cet élément si le pouvoir d'émission était total. Mais si, pour déduire cette conséquence, il fallait supposer que le pouvoir d'émettre ou II. 53

d'absorber la chaleur ne varie pas avec l'inclinaison, la proposition no serait pas prouvée. Lorsqu'on examine attentivement les diverses démonstrations que l'on peut donner de cette proposition, et même celle qui est rapportée dans le Mémoire cité, on voit qu'elle exige seulement que les deux effets d'émission et d'absorption soient égaux pour une même direction. C'est la seule conséquence exacte que l'on puisse déduire de la considération de l'équilibre qui s'établit dans un vase fermé. Nous n'examinons point ici la question de savoir si le pouvoir d'émission exprimé par la fraction n demeure le même sous toutes les incidences. Nous disons que cette proposition n'est point démontrée et que, par conséquent, on ne doit pas l'admettre dans le calcul des réflexions successives, qui en est réellement indépendant. Il importe beaucoup de réduire au moindre nombre possible les principes matbématiques d'une théorie.

On avait objecté contre la démonstration proposée dans ce Mémoire, page 234(0, que, s^ l'on prend une certaine partie d'une unité, qu'on y ajoute une certaine partie du reste, puis une certaine partie du second reste, ainsi de suite, il ne s'ensuit pas, comme on le supposait, que ces restes successifs deviennent nécessairement plus petits que toute grandeur donnée. L'auteur, en reconnaissant, dans un article supplémentaire, la vérité de cette remarque (Annales de Chimie et de Physique, août 1824, p. 442)> ajoute que, pour la question pbysique dont il s'agit, les fractions qui mesurent le pouvoir émissif des surfaces ne peuvent pas décroître indéfiniment. Mais cette dernière proposition ainsi énoncée n'est point évidente, parce que l'on ignore suivant quelle loi le pouvoir émissif pourrait décroître avec l'inclinaison.

Dans ce même article supplémentaire, l'auteur remarque que le fait général de l'équilibre suppose une relation nécessaire entre les lois de l'absorption et de l'émission, et que celle relation subsisterait peut-être pour une infinité de lois différentes. Nous disons, à ce sujet, que la rela-

(' ) Il s'agit ici de la page > >i du Mémoire cité plus haut do Poisson. Ce Mémoire est celui qui traite de la chaleur rayonnante, et qui a été inséré, en 1824, au tome XXVI des Annales de Chimie el de Physique, p. 225-246. Ci- D.

lion dont il s'agit est celle que nous avons démontrée dans notre premier Mémoire (art. 99); qu'elle subsiste certainement, puisque l'équilibre est conservé, et qu'elle le maintient quelle que puisse être la loi de l'émission sous les diverses incidences. Ainsi, dans ce premier Mémoire , nous ne nous sommes point borné à remarquer que, si les parois d'une enceinte ont partout la même température et la même faculté rayonnante, la quantité de chaleur qu'elles envoient directement à chaque point de l'espace est partout la même, et indépendante de la forme et de l'étendue de l'enceinte. Nous avons établi, dans cet Ouvrage, tous les autres principes de la Théorie, et considéré très expressément le cas où les différentes parties de l'enceinte posséderaient inégalement à des degrés quelconques la faculté d'émettre la chaleur rayonnante. Nous avons démontré, dans ce cas (art. 99 de la Section XIII) ('), que l'équilibre subsiste nonobstant tout changement arbitraire de l'étal dos surfaces, et que la chaleur totale envoyée ou reçue par chaque élément, sous une inclinaison quelconque, est encore, après ce changement, la même que si la surface était entièrement privée de la propriété de réfléchir les rayons. Quant au calcul des réflexions infiniment multipliées, non seulement il n'était point nécessaire d'y recourir pour démontrer cette proposition, mais il est préférable de rendre la démonstration indépendante de ce calcul; elle est plus claire et plus rigoureuse.

Nous devons aussi faire observer que la construction géométrique rapportée dans le Mémoire (p. 23 1 et i'5i) est entièrement inadmissible, parce qu'elle ne représente point la quantité de chaleur qu'un point donné reçoit d'un élément de l'enceinte.

Suivant cette construction, les points 0', 0", 0'", ... sont les sommets de surfaces coniques, dont les arêtes prolongées dans l'intérieur de l'enceinte interceptent les éléments a', a", a'", .... Nous disons que ces éléments a', a", a'", ... que les surfaces coniqucs^circonscrivent ne sont point, comme on le suppose, les parties de l'enceinte dont la chaleur réfléchie par a, a', a", ... peut arriver au point 0, ou, ce qui

(') Voir p. 5o de ce Volume. G. D.

est la même chose, elles ne sont point celles qui reçoivent par des réflexions successives la chaleur que le point 0 envoie à l'élément a. Les parties infiniment petites qui envoient la chaleur réfléchie reçue par le point 0, ou qui reçoivent par réflexion la chaleur émanée du point 0, sont exactement déterminées par la construction énoncée

(art. XIV). Nous les avons désignées par w2, co3, co, Or elles ne

se confondent point avec les hases a', a", a'", . . . des surfaces coniques. Cette coïncidence n'aurait lieu que dans un cas très particulier. Les dernières raisons des éléments w,, m,, co3, ... sont, en général, très différentes des dernières raisons des quantités a, a', a", ...; c'està-dire que les nombres finis i, m, m', m" , . . . , proportionnels aux dernières valeurs des éléments a>,, co2, o>3, ..., ne sont point les mêmes que les nombres r, n, n', n" , . . . proportionnels aux valeurs finales des éléments a, a', a", ....; par exemple, si les nombres de la première série sont égaux, les nombres de la seconde série croissent rapidement. Il n'y a aucun doute qu'une portion infiniment petite d'une surface courbe ne puisse être regardée comme plane; mais il ne s'ensuit pas que, dans l'application aux effets catoptriques, on puisse supposer que les directions des rayons sortis d'un même point, et réfléchis successivement par divers éléments de la surface, concourent aux sommets des surfaces coniques. Cette remarque a été faite, dès l'origine de l'Analyse différentielle, parles géomètres qui ont traité des surfaces caustiques.

Les propositions que l'on a démontrées dans ce Mémoire forment la Théorie mathématique de la chaleur rayonnante; elles dérivent toutes d'une considération principale, celle de l'équilibre qui s'établit dans l'intérieur d'une enceinte fermée, retenue à une température constante. Cette notion a été présentée pour la première fois, et soumise au calcul, dans un supplément à notre Mémoire de 1807 sur la propagation de la chaleur, et ensuite dans la seconde Partie du Mémoire de 1 8 1 1 , Section XIII. MM. Lambert, Pictel, Prcvot, Leslie et de Rum-

ford avaient publié auparavant de très belles recherches sur les propriétés de la chaleur rayonnante. On trouve aussi, dans divers autres Ouvrages plus récents, des résultats relatifs aux propriétés physiques de la chaleur. Nous citerons, à ce sujet, les observations de MM. Bérard et de La Roche, et les recherches expérimentales et théoriques que MM. les professeurs Petit et Dulong ont publiées dans un Mémoire très important couronné par l'Institut de France.

Plusieurs physiciens avaient conclu des observations que les quantités de chaleur envoyées par une partie infiniment petite d'une surface, dans différentes directions, sont entre elles comme les sinus des angles que font ces directions avec l'élément de la surface. La Théorie mathématique confirme et explique très distinctement ce résultat. Elle montre qu'il est une conséquence nécessaire du fait général de l'équilibre des températures dans une enceinte fermée de toutes parts. L'application des Sciences mathématiques aux questions naturelles a surtout pour objet de découvrir les lois très générales, et par conséquent très simples, auxquelles les phénomènes sont assujettis; ces lois sont empreintes dans l'ensemble des observations. Les lois de la propagation de la chaleur dans la matière solide sont exprimées par des équations différentielles; celles de l'équilibre de la chaleur rayonnante dérivent de mêmes principes et sont encore plus manifestes. Dans l'une et l'autre question, nous ne considérons point les propriétés de la chaleur lumineuse.

Non seulement on déduit du seul fait de l'équilibre des températures l'expression mathématique de la loi du rayonnement; mais on reconnaît les trois causes physiques qui déterminent cette loi. La première est la propriété qu'a chaque molécule intérieure d'un solide d'envoyer dans tous les sens des rayons de chaleur d'une égale intensité. La seconde est l'extinction graduelle que ces rayons subissent dans l'intérieur de la masse, et qui est opérée totalement lorsque l'intervalle parcouru a une certaine valeur extrêmement petite. La troisième cause est l'égalité qui subsiste toujours, à la surface, entre le pouvoir d'émettre la chaleur intérieure, selon une direction quel-

conque, et le pouvoir d'absorber la chaleur extérieure qui arrive sous cette même inclinaison. Quant à la question de savoir si cette faculté d'émettre et d'absorber varie avec la direction ou avec la température, elle n'est nullement décidée par la considération de l'équilibre; il faudrait y joindre des expériences variées et très précises sur le refroidissement des corps dans des enveloppes fermées et vides d'air. Chaque observation de ce genre a l'avantage de comprendre une série de faits qui se rapportent à des températures différentes. On ne peut donc point affirmer, dans l'état actuel de nos connaissances physiques, que la quantité de chaleur intérieure qui est projetée selon différentes directions, à travers une même particule de la surface, décroît précisément en raison directe des sinus des inclinaisons : mais il est certain que, pour une même direction, les deux effets de l'émission et de l'absorption sont précisément égaux.

La Théorie mathématique de la chaleur rayonnante a commencé à se former lorsqu'on a appliqué le calcul au fait général de l'équilibre; elle ne comprend encore que la statique de la chaleur, et elle est beaucoup moins étendue que celle de la propagation dans les solides; mais elle a l'avantage d'être fort simple et de n'exiger que les règles élémentaires de l'Analyse.

Nous regardons comme un fait constant et universel que l'équilibre de la chaleur s'établit dans une enceinte fermée dont on maintient la température, et que cet équilibre subsiste quelles que soient la nature des corps, leur forme, leur situation, et quel que soit l'état physique des surfaces. Ce fait est clairement expliqué par les trois propriétés que l'on a énoncées, savoir : l'égale irradiation, l'extinction à très petite distance, et l'égalité de l'émission et de l'absorption.

11 suit rigoureusement de cette troisième propriété que l'équilibre de la chaleur rayonnante dans un vase fermé ne peut être troublé par aucun changement de l'état des surfaces. La chaleur totale qu'un élément de l'enceinte envoie à un point de l'espace intérieur est exactement la même après le changement que celle qui était envoyée auparavant. Or ce rayon reçu par un point de l'espace se forme : i° de la

chaleur projetée à travers l'élément de la surface; i° de la chaleur réfléchie par cet élément. On peut, dans ce second effet, distinguer les produits d'une seule réflexion, ou de deux, ou d'une infinité de réflexions successives. Il est facile d'exprimer la valeur de tous ces effets partiels, et de reconnaître que leur somme équivaut au rayon qui serait envoyé par le même élément si la réflexibilité de la surface était nulle. Toutefois cette égalité n'aurait point lieu si la réflexibilité pouvait devenir totale sous de certaines incidences. Mais on ne pourrait pas en conclure, dans ce cas même, qu'un changement d'état des surfaces trouble l'équilibre de la chaleur rayonnante, et rend inégaux les rayons qu'un point de l'espace reçoit en différentes directions; car l'uniformité de la distribution serait conservée par la chaleur contenue, qui subirait des réflexions continuelles dans l'intérieur du. vase.

Pour rendre plus sensible l'ordre des propositions qui font l'objet de ce Mémoire, nous le terminons par la Table suivante, qui contient le sommaire de chaque article :

I. Les rayons de chaleur qui tombent sur la surface d'un corps se divisent en deux parties, dont l'une est absorbée et l'autre réfléchie.

La chaleur rayonnante envoyée par chaque élément d'une surface se compose de la chaleur émise directement et de la chaleur réfléchie.

II. Définition mathématique de la quantité de chaleur contenue dans les rayons qu'un même élément de la surface envoie selon différentes directions.

III. Notion générale de l'équilibre de température qui s'établit dans l'intérieur d'une enceinte fermée dont toutes les parties ont une température commune et invariable.

IV. Ce fait général sert à déterminer la loi du rayonnement, principe qui sert de fondement à ce calcul.